关于拉格朗日最优化的疑惑

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假设效用函数是U=U(x,y),约束条件是z=f(x,y)，则可以构造拉格朗日函数为L=U(x,y)+r[z-f(x,y)]，然后让L对x,y,r分别求导。
我的疑惑是：（1）对x求导时需要考虑y是x的函数吗？（2）为什么可以认为z是常数？万一z是变量怎么办？况且z本来就是x,y的函数，为什么在求导时可以当做常数对待呢？

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关键词：拉格朗日 最优化 拉格朗 效用函数 约束条件

1.不需要考虑（如果考虑的话，就是比较静态分析了，这是另一块内容）。
2.如果z是变量，那就是0=f(x,y)-z
约束条件是是z=f(x,y)并不是说z是x,y的函数。z就是个常数。例如2 =  x+lny。这样的约束条件（暗含了x是y的函数）。

newhotter 发表于 2016-1-21 21:44
1.不需要考虑（如果考虑的话，就是比较静态分析了，这是另一块内容）。
2.如果z是变量，那就是0=f(x,y)-z
...

谢谢这位同学的答复，我是这么认为的：
1.y可以是x的函数，从数学上的隐函数求导规则来说是必须考虑这一点
2.z可以是变量，但是如果是变量的话必须加上另外一个等式才能求出z关于x的函数形式

这个主要谈的是optimization 中的comparative study。
经济学家通常研究一个因素对另一个因素的影响，比如利息对房价的影响。在这个分析的过程中，其他的影响因素，比如证券价格，房屋供给等就得被控制住。因为如果有两个因素都在变，你怎么知道房价到底是被哪个影响的？
在这个方程中，求导应该是求 偏微分。x诚然会影响y，但是我们关心的是y怎么影响u。你也可以分析x怎么影响y的，这时候就要把u控制住，也就是令其为某一常数水平。MRS就是y对x的导数。
至于z，此为外生变量，当然应该理解为常数。不然还怎么约束x和y呢？

cbw1243 发表于 2016-1-22 11:01
这个主要谈的是optimization 中的comparative study。
经济学家通常研究一个因素对另一个因素的影响，比如 ...

假设抽象约束条件z=f(x,y)，设z=2x+3y+5等价于z-x=x+3y+5
那么我也可以把上述约束条件写成z'=x+3y+5
再变换成抽象式子：z'=z-x=f'(x,y)
那么现在还能认为z‘是常数吗？

z可以是变量。就看你怎么看。求偏导的本质是只有求到的变量才是变量，其他字符都是常数。这是偏导数定义。对x求导，y就是常数。对y求导，x就是常数。拉格朗日里z是常数，但是对应拉格朗日定理的信封定理中z就是变量。所以变量和常数没有明确界限。

zerana 发表于 2016-1-22 19:38
z可以是变量。就看你怎么看。求偏导的本质是只有求到的变量才是变量，其他字符都是常数。这是偏导数定义。对 ...

cyt205 发表于 2016-1-22 12:31
假设抽象约束条件z=f(x,y)，设z=2x+3y+5等价于z-x=x+3y+5
那么我也可以把上述约束条件写成z'=x+3y+5
再 ...

变量和常数必须有明确界限。因为无论是在经济学研究还是数量研究，或者是programming中，我们都要区分什么是constraints，什么是decision variable。
你提出的z‘＝z－x。我要提出两点质疑。
一是从经济学角度，假设这个问题是max utility问题，z则是收入约束，你把收入减掉对一部分商品的消费，重新设定问题，是没有理论依据的。
二是从数学角度，你把z’＝z－x，那么约束条件函数f也应该变。此时就有两个约束条件。z‘＝z－x， z＝2x+3y+5. 此时，要看你是给定z‘还是z。如果给定z‘，那么z’就是常数，属于外生变量，z就是内生变量。反之则反之。当然，如果你不给定z或z‘，那么这时约束条件就是（x，y）属于二维全空间。也就相当于没有约束了。