边际替代率递减的证明

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边际替代率递减规律是说，其他事情相同，X的数量x增加，边际替代率MRSXY递减。这一规律的重要性在于它意味着无差异曲线凸向原点，而无差异曲线凸向原点保证消费者最优消费组合唯一（假设预算线是线性的）。 在大多数教科书中，这一规律的一个貌似合理的证明是：当越来越多地用X替代Y时，X的边际效用（MUX）随x增加而递减，Y的边际效用（MUY）随y减少而递增，所以，边际替代率MRS=MUX/MUY递减。        然而，上述证明并不严格。这是因为，按照正确陈述的边际效用递减规律，当y保持不变时，MUX随x增加而递减；当x保持不变时，MUY随y增加而递减，或MUY随y减少而递增，而在上述证明中，x增加，同时y减少。       要严格证明边际替代率递减规律，我们必须证明：x增加且y减少时，MUX仍然递减；类似，y减少且x增加时，MUY仍然递增。这一证明所依据的一个事实是，商品X和Y通常在一定程度上互补。由于X与Y在一定程度上互补，x增加且y递减时，MUX仍然递减，而且递减得更快。比如，X是面包片，Y是果酱。面包片数量x增加时，如果果酱的数量y保持不变，那么，MUX递减。由于面包片与果酱在一定程度上互补，在面包片数量增加时，如果果酱的数量同时减少，那么，MUX将递减得更快。类似，y减少时，如果x增加，那么，MUY递增得更快。这样，我们就严格证明了边际替代率递减规律。

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关键词：边际替代率 替代率 边际效用递减规律 边际效用递减 无差异曲线 消费者 教科书 预算

竹林细语 发表于 2016-4-17 17:10

尼科尔森上面的有严格的数学证明

于泽龙555 发表于 2016-4-18 06:45
尼科尔森上面的有严格的数学证明

他在英文版第81页的注中说的是无法严格数学证明。

竹林细语 发表于 2016-4-17 17:10

没看懂您说的。貌似很易啊，首先对效用函数求全微分，把mrs提出来，右边是（f1/f2），想证其单调递减，再对f1/f2求导，结果就是凸偏高的充要条件。

边际替代率递减和边际效用递减，这两个规律我认为是无法证明的，又或者是不证自明的。如果用边际效用递减来推导边际替代率递减，那肯定是能推导出来的，但是边际效用递减又如何推导呢？我认为这两种实际上都是等同的，不过就是表达的方式不同罢了。不足楼主是否认同我的观点？

冥想苦行者 发表于 2018-2-27 21:48
边际替代率递减和边际效用递减，这两个规律我认为是无法证明的，又或者是不证自明的。如果用边际效用递减来 ...

其实在序数效用中，边际效用是被忽视的，或者说边际仅仅被试做导数这一数学意义，作为中间变量分析边际替代率而已，由多元函数求导得边际替代率

unifor 发表于 2018-10-7 08:50
其实在序数效用中，边际效用是被忽视的，或者说边际仅仅被试做导数这一数学意义，作为中间变量分析边际替 ...

         对于研究消费者行为而言，希克斯和艾伦主张用边际替代率递减规律来取代边际效用递减规律，但就其两者的实质来说，其实是等价的，只不过是形式上的不同而已。而且在解释边际替代率递减规律成立的原因时，却又总是要用到边际效用递减规律来解释。

竹林细语 发表于 2016-4-17 17:10

我并不这么看，何谓边际？无非就是个导数么。在序数效用论里头，可以做单调变换的，边际效用可不变，可以递减甚至于递增，举个例子u＝lnx＋lny，变换以后u＝x＋y，再变u＝x2+y2，你算算边际值，再算算边际替代率。边际替代率是两个商品边际效用的商，边际效用函数本身性质已经不重要了，他在变换中可以被遗失

竹林细语 发表于 2016-4-17 17:10

再多说一句完全替代偏好之中，边际替代率并未递减哦。具体偏好具体分析，边际替代率按照定义来就行。至于边际替代率递减也就是一种情况，经验罢了，不必当作真理

楼主的标题漏掉了一个字。
边际替代率递减律
边际替代率递减无需证明，而边际替代率递减律则需要证明。
边际效用递减律当然是假定其他消费品的消费量一定，某种消费品的消费量递增后，边际效用变化的规律是递减的。
那么，当两种及两种以上的消费品都改变消费量时，为保证无差异曲线的成立，多消费一种消费品，则其他消费品的消费量需要减少。
边际替代率递减律，是说当多消费一种消费品时，被替代的另一种消费品的消费减少量是减少的趋势。
而楼主的所谓严格证明，无非是说，两种消费品的消费量增减方向相反，那么，一种消费品增加消费量从而边际效用递减的同时，另一种消费品减少消费量从而边际效用递增，使得增加前一消费品的消费量所要求的后一种消费品的减少量更快地减少。因此，只要边际效用递减律成立，边际替代率递减律就成立。