线性回归基本假设：解释变量具有变异性？

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线性回归基本假设：解释变量具有变异性？
求教大神 怎么理解。
还有：对其样本方差为非零的有限常数假设，又是怎么回事？

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关键词：线性回归 解释变量 变异性 样本

考虑一个简单的回归模型：
\[Y_i=a+\beta*X_i +e_i\]
OLS 估计量可以写为：
\[\beta_{OLS} =(n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (Y_i-\bar{Y}) (X_i-\bar{X}))/(n^{-1}\sum_{i=1}^{n}  (X_i-\bar{X})^2 ) \]
于是得到
\[\sqrt{n}( \beta_{OLS} -\beta ) =(\sqrt{n}^{-1}\sum_{i=1}^{n} e_i (X_i-\bar{X}))/(n^{-1}\sum_{i=1}^{n}  (X_i-\bar{X})^2 ) \]
假设X是固定的，则 [LaTex]  \[ \sqrt{n}( \beta_{OLS} -\beta ) \] [/LaTex] 的方差为：
\[ \sigma^2 /(n^{-1}\sum_{i=1}^{n}  (X_i-\bar{X})^2 ) \]
所以，当
\[ n^{-1}\sum_{i=1}^{n}  (X_i-\bar{X})^2  \]
很小时，估计量的方差就会很大。


以上是数学公式的推导。直观来讲，当X的样本方差越小，X就越接近一个常数，这样X就不能和 constant term 有效地区分开来。


从另一个角度想，X越接近常数，multicolinearity的问题就更明显，因为在以上的简单模型里另外一个对应系数 a 变量就是常数。

真皮猫 发表于 2016-5-11 21:44
考虑一个简单的回归模型：

OLS 估计量可以写为：

万分感谢，虽然推导过程没有很懂，但是大概明白了。
主要就是为了和constant term 区分开来，是吗？