关于标准布朗运动的一点疑惑！

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关于标准布朗运动{W(t),0<=t<=T}，定义中要求满足增量正态分布：即对任意的0<=s<t<=T,有W(t)-W(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布，这个是明确的。现在，如果假设标准布朗运动的极限形式为dW(t)=z*sqrt(dt),那么W(t)=z*sqrt(t),这个应该也没有问题。那么，仔细推导：W(t)-W(s)=z*(sqrt(t)-sqrt(s)), 均值为0，但方差严格来说应该是var(W(t)-W(s))=var(z*(sqrt(t)-sqrt(s))=(sqrt(t)-sqrt(s))^2=t+s-2sqrt(ts) 不等于t-s。这错在哪里呢？请教指点。

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关键词：布朗运动 布朗 运动

This an interesting question.

Think about this way:

W(t)=z1 * sqrt(t),

W(s)=z2 * sqrt(s)

Then

W(t)-W(s)=z1*sqrt(t) – z2*sqrt(s)  is new Brownian and has var = t-s and then  is written as

= z3 * sqrt( t- s)

Where z1, z2 and z3 are different.

Another way: Brownians have been defined for certain properties (including above) and then are proved mathematically that these properties do exists.

Hope this helps.

严格证明是这样的。
为了写得方便，我们假设t>s
var(W(t)-W(s))=E[(W(t)-W(s))^2]-{E[W(t)-W(s)]}^2
=E[(W(t)-W(s))^2]-0
=E[W(t)^2]+E[W(s)^2]-2E[W(t)W(s)]
=t+s-2s
=t-s
其中
E[W(t)W(s)]=E[[W(t)-W(s)+W(s)]W(s)]=E[((W(t)-W(s))W(s)]+E[W(s)^2]
=E[W(t)-W(s)]E[W(s)]+s
=s

LZ's proof basically says that z*sqrt(dt) is NOT Brownian Motion.

hao hao hao hao hao

Normally, using the theory of martingale, it is easy to improve.
And the problem of LZ, I think you had better not take a z normal standard like what you have done. It is not easy to solve those stochastic calculs problem.
Or W(t)=z1*sqrt(t),W(s)=z2*sqrt(s),and z1 z2 are not independent and not the same.
Now E(W(t)|W(s))=W(s) So, E((W(t)-W(s))^2)=E(E((W(t)-W(s))^2|W(s)))=E(W(t)^2-W(s)^2)=t-s
I hope it is clear.
I'm sorry I can not input chinese because I am in the entreprice.

不知道楼主的极限形式是哪里来的，
heuristics 不能够乱用的。

lz错误的关键在于“dW(t)=z*sqrt(dt),那么W(t)=z*sqrt(t)”。这样的推理即使在一般的条件下都无法成立，何况在随机的环境下呢？
下面我在附件中给出的离散情况下的推导过程（很容易推广到连续情况），没有真正涉及martingale之类的随机理论，相信学过一般概率论知识就很容易理解的。（在回复栏中输入公式不是很方便）

dW(t)=z*sqrt(dt),那么W(t)=z*sqrt(t),
后面那个明显错了嘛。
再把后面那个导一下，能得到前面吗?
这个才是对的：w(t)=sqrt(t) * z,
这个两边导，不是你的极限形式阿。

这个问题讨论的很有意义！