谁有关于公共物品无效率的数学证明

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我曾经在一本书上看到过，证明的很详细，都是数学推导而且没有复杂的，都是比较容易懂的，而且推导的很详细，我记得它是用公地 悲剧的例子推导的

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关键词：公共物品 效率 数学 物品

工地悲剧：一个村子里有一块公用草地，人们用来放羊（免费）。羊奶（还是羊肉。。不记得鸟）的需求曲线是P=A-B*X 。简单的假设一头羊1000元，这便是养一只羊的全部费用（AC=MC=1000）。羊奶的供给函数为Q=1000*X 。
由需求曲线：MR=A-2B*X。理想状态的利润最大化条件：A-2B*X=1000,X= (A-1000)/2B.
不幸的是，养羊个体户考虑的是个体MC和个体MR。
他的利润最大化分析如下： 设他的羊数为X1头,其他人共X2头
他的需求曲线为：P=A-B*(X1+X2),MR=A-2B*X1-B*X2=A-2B*X1-B*(X-X1)=A-B*X1-B*X,这里X是全村羊数。
再设X1=K*X 则P=A-B(1+K)X, 而MC=1000，利润最大化条件为A-B*(1+K)X=1000,所以X=(A-1000)/(1+K)B
到这里，可以看见，实际情况下，一般来说K是很小的，即个人所占市场份额很小。这时，X=（A-1000）/B
是理想情况下2倍。
综上所述呢，就悲剧了。

恩恩，谢谢了，我找到了，在高老师的书上～
谢谢

学习学习！呵呵！