田忌赛马有无纳什均衡？

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田忌赛马

齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次，田忌都失败了。 田忌觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地离开赛马场，这时，田忌抬头一看，人群中有个人，原来是自己的好朋友孙膑。孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少呀。” 孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，我是说你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马来？”孙膑摇摇头说：“连一匹马也不需要更换。”田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地说：“你就按照我的安排办事吧。” 齐威王屡战屡胜，正在得意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来，便站起来讥讽地说：“怎么，莫非你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着，“哗啦”一声，把一大堆银钱倒在桌子上，作为他下的赌钱。齐威王一看，心里暗暗好笑，于是吩咐手下，把前几次赢得的银钱全部抬来，另外又加了一千两黄金，也放在桌子上。齐威王轻蔑地说：“那就开始吧！” 一声锣响，比赛开始了。孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局输了。齐威王站起来说：“想不到赫赫有名的孙膑先生，竟然想出这样拙劣的对策。”孙膑不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马对齐威王的中等马，获胜了一局。齐威王有点心慌意乱了。第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下等马，又战胜了一局。这下，齐威王目瞪口呆了。 比赛的结果是三局两胜，当然是田忌赢了齐威王。还是同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就得到转败为胜的结果。

请问, 这田忌赛马中有没有纳什均衡?[em06][em06]

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应该没有吧！不知道是田忌谙熟心理啊还是齐威王太过于自信呢

呵呵，好有意思的题目，我来看看！

我们在这里考虑博弈的时候最主要的就是考虑马的出场顺序，如果设上等马为a，中等为b，下等为c。由于齐威王的马都比田忌强，所以两个相同等级马相遇的话都是齐威王胜！

第二次田忌在孙膑的帮助下赢的原因是因为他们之间进行的是完全信息的动态博弈，而且田先动。

马出场的决策一共六种：abc, acb, bac, bca, cab, cba

由于齐威王的决策是固定的abc：

田 / 齐 abc

abc -1,1 acb -1,1 bac -1,1 bca -1,1 cab 1,-1 cba -1,1

如此可见，他只有一种获胜方式，即“下上中”，由于田先决定，孙作了正确的预测，他才能够在第二次取得胜利！

假设现在是静态博弈：

田/齐	abc	acb	bac	bca	cab	cba
abc	-1,1	-1,1	-1,1	1,-1	-1,1	-1,1
acb	-1,1	-1,1	1,-1	-1,1	-1,1	-1,1
bac	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1	1,-1
bca	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1	1,-1	-1,1
cab	1,-1	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1
cba	-1,1	1,-1	-1,1	-1,1	-1,1	-1,1

很明显，没有pure Nash，但有mixed nash！

田对六个决策选择的几率是均等的，即1/6，而齐也是！

田获胜的几率为：(1/6)(1/6) x 6 = 1/6，而齐为5/6，呵呵！

个人认为齐威王太自大了，而且也没有学过博弈论，导致散失如此的优势，哈哈！

[em01]

[此贴子已经被作者于2005-10-24 2:21:56编辑过]

三楼的分析很透彻，的确田忌赛马并不存在纯策略的纳什均衡，只存在混合策略的纳什均衡。即两人对六种策略的选择概率是一样的，都为1/6，并且选择要没有规律性。

再提一点，不知道算不算是题外话？博弈的均衡在数学上可以说是完美的，可惜在实际中就……

因为不是每个人都是理性的，而且也不是每个人都会老老实实地按游戏规则来玩，人是有智慧的动物，会在自己处于劣势的时候想到挽救的办法！

这里提一下神雕侠侣的第20回，因为说到这个赛马的故事便想起了这个！在英雄大宴中，中原武林与外帮因为争夺武林盟主之位而设定了三场比武，并且三局两胜！黄蓉占着聪明伶俐，想以孙膑的古法来取得胜利，结果却连失两场，还要杨过出来胡闹解围！因此，很多时候，学术的东西只能存在于理论模型中作为参考，要运用于实际中的话还得因地制宜、因材施教，不可拘泥于理论！否则只会一败涂地！这也就好象金老笔下的武林高手一样，一个武林高手并不全取决于他学会了多少种高深的武功，更重要的是他有多少实战经验，以及对世事的应变能力？因此，在金老的书中，一个刚出庐的学成了至高武功的年轻人常常打不过一个在江湖上混了几十年的二流高手，因为他现在只知道生搬硬套，而不懂得融会贯通……不好意思，扯远了！（神雕侠侣的具体故事请参考原著！）

以下是引用ceterisparibus在2005-10-26 0:20:08的发言：…因为不是每个人都是理性的，而且也不是每个人都会老老实实地按游戏规则来玩，人是有智慧的动物，会在自己处于劣势的时候想到挽救的办法！…

这时，博弈就要由另外一个博弈树来描述了（或者说，这时的博弈与原博弈不是同一个博弈了）。

博弈论是演绎性的，而不是归纳性的。博弈论研究的是，给出一个博弈树（从而一个博弈模型），当事人会如何行为；而不是研究对于某种现实情形，该如何画出描述它的博弈树（从而构建一个博弈模型）。

对于“同一现实情形”（这句话有太大的模糊性），不同的人可能画出不同的博弈树（从而将“这一情形”理解成不同的博弈），于是可能得到不同的结论。

斑竹说得很对，不过既然每个人的博弈树都不相同，也就代表了不同的人看待问题的不同方法，因此，对方为理性的假设本来就是不全面的，博弈也就无法演绎所有情况与行为了，只能有助于分析而已！

就某一具体博弈而言，博弈树应是所有参与人的共同知识。

上面各位所讨论的都是把田忌赛马当作完全信息静态博弈，我想问的是能不能从完全信息动态博弈的角度来分析田忌赛马？