对于这个生产函数的问题，我们可以按照以下步骤逐一解答：
### (1) 计算有效人均产出
首先，我们根据给定的生产函数计算总的产出。将K=43200和AL=200代入公式得到总产出Y。
\[ Y = \left(43200\right)^{\frac{1}{3}} \left(200\right)^{\frac{2}{3}} \]
计算这个表达式的值，我们先分别处理每个因子：
- \( 43200^{\frac{1}{3}} = (6^5)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{5}{3}} = 36 \)
- \( 200^{\frac{2}{3}} = (8*25)^{\frac{2}{3}} = 4*(5^2)^{\frac{1}{3}} = 4*(\sqrt[3]{125}) = 4*5 = 20 \)
因此，\[ Y = 36 * 20 = 720 \]
由于AL代表的是有效劳动力的总数量（这里为200），我们可以通过将Y除以AL来得到人均产出。
\[ \text{有效人均产出} = \frac{Y}{AL} = \frac{720}{200} = 3.6 \]
### (2) 稳态下有效人均资本水平
在稳态下，我们有储蓄率(s) * 总产出(Y) - 折旧率(δ) * 资本(K) = ΔK（即资本的变化量）= 0 （因为在稳态中资本存量不再变化）。这里，我们还引入了技术进步率(g)和人口增长率(n)，来更新资本-劳动力比k(= K/AL)的计算方式。
在稳态下：\[ sy^{\ast} = \delta k^{\ast} + nk^{\ast} \]
将生产函数代入上式，我们有：\[ s\left(k^{\ast}\right)^{\frac{1}{3}}\left(a\right)^{\frac{2}{3}} = (\delta + n)k^{\ast} \]
给定s=0.4, δ=0.05, g=0.03, n=0.02，我们解这个方程来找到稳态下的有效人均资本水平 \( k^{\ast}\)。
但是，由于没有直接的解析解，一般需要数值方法求解。不过，在此情况下，我们可以近似计算或利用图形方法寻找k*的具体值。
### (3) 稳态下产出、资本和人均收入增长率
在稳态条件下：
- 产出增长率 = 技术进步率(g)，即3%
- 资本增长率 = n + g，即2%+3%=5%
- 人均收入增长率等于技术进步率（g），这是因为经济已处于稳态。
### (4) 计算有效人均黄金资本存量与达到此水平的储蓄率
黄金规则（Golden Rule）资本量是指在稳定状态下能够实现最大消费的人均资本量。通常需要解方程来找到这一资本量，但由于模型的具体形式和给定值不同，我们不能直接给出解析表达式。
但我们可以利用以下关系：\[ \frac{dY}{dk} = \delta + n \]
这要求边际产出等于折旧率加上人口增长率（即在稳态条件下）。对于给定的生产函数，我们需要求出满足上述条件的k值。然后用这个k值来计算相应的储蓄率s。
由于黄金资本存量的具体解通常依赖于数值方法或图形分析，这里无法直接给出确切数字，但可以指导如何通过调整模型参数和使用相应数学工具来达到目标。
希望这能帮助你理解问题的解答过程！
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