令我困惑的博弈问题

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1、哥哥和弟弟分割一块冰激淋。哥哥先提出如何分割（假设冰激淋是可以任意分割的），弟弟可以接受或拒绝。弟弟若接受哥哥的提议，他俩就按哥哥的提议分食冰激淋。弟弟若拒绝哥哥的提议，弟弟就可以提议分割量，但这时候，冰激淋化得只剩1/2了。然后哥哥可以接受或拒绝弟弟的提议。哥哥若接受，则按弟弟的提议分食；若拒绝，则两人什么也吃不到，博弈结束。求子博弈完美纳什均衡?

2、同上题，哥哥先提议，若被拒绝，弟弟提议，但此时冰激淋只剩下1/2。弟弟的提议若被拒绝，哥哥再提议，但此时冰激淋只剩下1/4。这时弟弟若拒绝，他便可以提议，但此时冰激淋只有1/8了。这时哥哥若拒绝，则谁也吃不到冰激淋，分割结束。求子博弈完美纳什均衡?

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关键词：纳什均衡 高手指点 冰激淋 子博弈 博弈 困惑

使用Backward Induction解得答案如下：

1、子博弈完美纳什均衡为第一轮哥哥提议各得1/2个冰激淋，弟弟当即接受。

2、若T轮后冰激淋化没了，如果T是一个奇数，则子博弈完美纳什均衡为第一轮哥哥提议他拿(2/3)(1+(1/2)^T),弟弟拿(2/3)(1/2-(1/2)^T),弟弟当即接受；如果T是一个偶数，则子博弈完美纳什均衡为第一轮哥哥提议他拿(2/3)(1-(1/2)^T),弟弟拿(2/3)(1/2+(1/2)^T)。

若冰激淋永远可分，则第一轮哥哥提议他拿2/3，弟弟拿1/3，弟弟当即接受。