√2是个无理数，没有尽头，为什么边长为1的直角三角形可以画出来？ 是悖论吗？

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恭喜你，不经意间发现了史上的第一次数学危机。如果在2500年前，你也许会被当作异端扔进海里哦。这事还得从公元前580~568之间的古希腊说起。

当时数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)建立了毕达哥拉斯学派。这一学派集宗教、科学和哲学于一体，他们认为万物皆数，即宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。但是该学派的成员希伯索斯(Hippasus)根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示的。希伯索斯的发现被人们看成是荒谬和违反常识的事。它不仅严重触犯了毕氏学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的传统见解，使古希腊的数学家们感到惊奇和不安，所以这一事件在数学史上称为第一次数学危机。希伯索斯的发现终没有被毕达哥拉斯学派的信徒们所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死。

越来越多无理数的发现迫使希腊数学家不得不研究这些数。欧多克斯(Eudoxus，约公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，这里的量不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间等。量与数的不同在于，数是离散的，即可数的，而量可以是连续的。欧多克斯由量的概念出发给出了一种新的比例论。欧几里得《几何原本》第五卷中引用了这种比例论，其定义为：设A，B，C，D是任意四个量，其中A和B同类(即均为线段、角或面积等)，C和D同类。如果对于任何两个正整数m和n，mA大于、等于、小于nB是否成立，相应地取决于mC大于、等于、小于nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A，B，C，D四量成比例。通过这一新的比例论，希腊数学家可以严格地将可公度量的证明推广到不可公度的量，从而解决了不可公度带来的逻辑上的矛盾。欧多克斯比例论实际上是为了避免把无理数当作数，这个理论给不可公度量的比例提供了逻辑依据，但是也将数同几何截然分开，而且使希腊数学的重点从数转向了几何，因为几何可以处理无理数。在此后的几千年间，几何学成为几乎是全部严密数学的基础，而算术和代数则没有取得独立的地位。

第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后，才被彻底解决的。

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关键词：三角形 无理数 Agora 几何原本 ASUS

无限有界

√2是个无理数，没有尽头，为什么边长为1的直角三角形可以画出来？ 是悖论吗？

不是悖论，但是内容里面有悖论。悖论，是真实的矛盾，对立的统一。


阿拉伯数字的1，从而所有自然数，就蕴含着悖论，建立在悖论之中之上：
数轴上有无限多、无限小的点，那么哪一个点，是1？



悖论问题

Rousseau大哥的一个逻辑

victorbian 发表于 2018-11-6 12:41
无限有界

这就是悖论的原因。悖论真实存在，也是真实的矛盾，人类无法消除。

1993110 发表于 2018-11-6 12:57
这就是悖论的原因。悖论真实存在，也是真实的矛盾，人类无法消除。

悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

victorbian 发表于 2018-11-6 13:03
悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

自然数的1，是数轴上的哪一个的点呢？
无理数，能离得开自然数吗？不是用自然数来构成、来表达的吗？
一个实数的集合，人类真能构建出来的吗？



阿拉伯数字的1，从而所有自然数，就蕴含着悖论，建立在悖论之中之上：
数轴上有无限多、无限小的点，那么哪一个点，是1？

悖论真实存在，也是真实的矛盾，人类无法消除，无法避免。
悖论的根源，就是无限有界，无限而有限，有限而无限，对立统一。

victorbian 发表于 2018-11-6 13:03
悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

任何小数，有限小数，无限小数，人类都是用自然数来构建来表达的。

例如，3.1415926，

其中的3，就是自然数，

其中的0.1，就是缩小的1，也是自然数。

其中的0.04，在更细小的刻度上，就是自然数的4，诸如此类。


那么，自然数的0，自然数的1，到底是哪一个的点呢？在无限多无限小的点上，是哪一个点？
这里，就蕴含着悖论。没有悖论，人类就没有自然数，无法构建自然数。
那么，自然数如上，整数如上，则其他的数呢？

victorbian 发表于 2018-11-6 13:03
悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

人类说，人们也说，自然数是一个集合，正整数是一个集合，


请问，上述集合作为无限集合，人类真的能构建出来吗？


请问，自然数的1，人类是怎么在数轴上标记出来的？

victorbian 发表于 2018-11-6 13:03
悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

数轴无限可分。

人类拿个针尖，去戳数轴，来确定一个点为1，有限的正整数的1，那么一戳，数轴就分散了，分散成更细小的无穷多个点。

人类拿个光子，去戳数轴，来标记一个点为1，正整数的有限的1，那么一戳，如上。
。。。。
。。。。
。。。。。
人类烦了，懒了，无可奈何了，精疲力尽了，就讲：这个点，这个有限的确定的又模糊的无穷可分的点，那就是1！

换言之，人类是讲：在无穷多个点上，在无限可分当中，限定这个点，这个无限且有限的点，那就是1。
再换言之，人类是说：无限可分，也是有限可数的。


那么，“无限可分，也是有限可数”，这就是人类的自然数的1，之由来。
那么，“无限可分，也是有限可数”，这就是悖论。

victorbian 发表于 2018-11-6 13:03
悖论不存在，无理数就是实数轴上一个确定的点。

自然数，整数，更是数轴上一个个的明确的确定的有限的完整的点啊。当然是。必须是。人人皆知。

但是，现在我问大哥，大哥你再问他们地球人类，人类再问数学家，数学家再问阿拉伯：
1（或者0，或者任何自然数），这个点，到底是哪一个的点？
本来，数轴上的点，无穷无尽，无限可分，现在是怎么搞成有限可数的？