数学分析考研真题练习一

杭州师范大学2019年722数学分析




此题前已有类似题，设辅助函数，利用邻域性质。

杭州师范大学2019年722数学分析



证明：由已知条件，有：
                                        $z_x=(1+e^y)\sin x=0,$

                                        $z_y=e^y\cos x-e^y-ye^y=0,$
                           
                                         $\therefore \sin x=0,$
                        
                                        $\cos x-1-y=0,$

                         因此，可能的极值点为：

                                            $\Rightarrow x=0,\pi,2\pi,\cdots . y=0.$


                        又因为，
                                             $A=z_{xx}=-(1+e^y)\cos x|_{(k\pi,0)}=(-1)^{k+1}2\cos k\pi=-2< 0,$
               
                                             $B=z_{yy}=e^y\cos x-2e^y-ye^y|_{(k\pi,0)}=-1,$

                                              $C=z_{xy}=e^y\sin x|_{(k\pi,0)}=0.$

                                              $\therefore D=AC-B=-2\cdot (-1)-0> 0.$

                          即，函数有极大值点，且无数多个，没有极小值点。

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证明：用反证法。假设
                                     $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx< \infty ,\Rightarrow \lim_{x\to 0}xf(x)\neq 0.$

              不妨设
                                    $\displaystyle \lim_{x\to 0}xf(x)=1,$

               此时有
                                    $f(x)=O(\frac{1}{x}),$

                                     $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=\infty ,$

               而这显然与假设矛盾，因此

                                    $\displaystyle \lim_{x\to 0}xf(x)=0.$

一道竞赛题：计算：
                                $\displaystyle \iint_Sx^2 dydz+y^2dxdz+z^2dxdy $


其中，$S$是球面$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2,$的外侧面。


解：由高斯公式：
                              $\displaystyle \iint_Sx^2 dydz+y^2dxdz+z^2dxdy=2\iiint_\Omega (x+y+z)dV,$


                            $\displaystyle \because \iiint_\Omega xdV =\iiint_\Omega (x-a)dV+\iiint_\Omega adV =0+\frac{4}{3}\pi R^3a ,$
           
                同理，有

                              $\displaystyle \iiint_\Omega xdV =\frac{4}{3}\pi R^3b,\iiint_\Omega xdV =\frac{4}{3}\pi R^3c.$


                            $\displaystyle \therefore 2\iiint_\Omega (x+y+z)dV=\frac{8}{3}\pi R^3(a+b+c).$

中国计量大学2019数学分析713
一、填空题


填空题比较简单，主要是考基础计算。选择两道极限计算题。

解：
                          $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x(\sqrt[3]{x+1}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x\cdot \frac{1}{3}x}=\frac{3}{2}.$

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解：
                  $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1+x}{\sin^2x}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{1+x}{\sin^2x}\ln \cos x}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{\ln(1-\frac{1}{2}x^2)}{x^2}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}.$

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解：

         （1）、
                         $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\int \frac{2d\sqrt{x}}{1+x}=2\arctan\sqrt{x} +C.$



          （2）、
                        $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x^2}t\cos tdt}{\ln(1+x^3)\cdot \sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x\cdot x^2\cdot \cos x^2}{\frac{3x^2}{1+x^3}\cdot \sin x+\ln(1+x^3)\cdot \cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x^3(1+x^3)}{3x^3+x^3(1+x^3)}=\frac{1}{2}.$

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解：
                $I=\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} dxdydz=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{3}^{0}r^2dr\int_{0}^{9-r^2}dz=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{3}r^2(r^2-9)dr=\frac{216}{5}\pi.$

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解：
                       $\begin{align*}I&=\oint ydx+\sin xdy\\\\&=-\iint (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\\\&=-\iint(\cos x-1) dxdy\\\\&=\int_{0}^{\pi}(1-\cos x)dx\int_{0}^{\sin x}dy\\\\&=\int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x\sin x)dx\\\\&=-2+\frac{1}{4}\cos2x|_0^\pi\\\\&=-2.
\end{align*}$

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解：
                    $\displaystyle \because \sum_{n=}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2n-1}=x\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.$

                    $\displaystyle \therefore |R|=|\frac{2n+1}{2n-1}|=1,(n \to \infty )$

                     $\displaystyle \Rightarrow -1\leq x< 1.$

            设：
                         $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{2k-1}}{2k-1},$         

                         $\displaystyle \therefore s_n=\int_{0}^{x}\sum_{k=1}^{n}(\frac{x^{2k-1}}{2k-1})'dx=\int_{0}^{x}\sum_{k=1}^{n}x^{2k-2}dx=\int_{0}^{x}\frac{1-x^{2k}}{1-x^2}dx,$

                         $\displaystyle \Rightarrow S=x\lim_{n \to \infty }S_n=x\int_{0}^{x}\frac{1}{1-x^2}dx=x\ln\frac{1-x}{1+x}.$