数学分析考研真题练习一

湘潭大学2017年601数学分析




解：
                                $x\in [-\frac{1}{3},+\infty ).$

湘潭大学2017年601数学分析



解：
                              $\begin{align*}I&=\iiint_\Omega ze^{-(x^2+y^2+z^2)} dV\\\\&=\iint_\Sigma dxdy\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}ze^{-(x^2+y^2+z^2)}dz\\\\&=\frac{1}{2}\iint_\Sigma (e^{-(x^2+y^2+1-x^2-y^2)}-e^{-2(x^2+y^2)})dxdy\\\\&=\frac{1}{2}\iint_\Sigma (e^{-1}-e^{-2(x^2+y^2)})dxdy\\\\&=\frac{1}{4}\pi e^{-1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}re^{-2r^2}dr\\\\&=\frac{1}{4}\pi e^{-1}+\frac{1}{8}\cdot 2\pi\cdot (e^{-1}-1)\\\\&=\frac{1}{2}\pi e^{-1}-\frac{1}{4}\pi.
\end{align*}$

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证明：
                      $\because x\geq 0,e^{-t^2}> 0,$

                      $\therefore \int_{x}^{+\infty }e^{-t^2}dt\leq \int_{0}^{+\infty }e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

                      $\Rightarrow f(x)=e^{x^2}\int_{x}^{+\infty }e^{-t^2}dt\leq \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2}\leq \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

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一个网络解答：






这是一个非常经典的题，一般书上都有详细讲解。