数学分析考研真题练习一

四川大学2008年数学分析试题



解：
                 $\because (n!)^{n^2}=e^{\frac{1}{n^2}\ln n!},$

                $1=e^0=e^{n^2\ln 1}< e^{\frac{1}{n^2}\ln n!}< e^{\frac{1}{n^2}\ln n^n}=e^{\frac{1}{n}\ln n}\to 1,(n \to \infty )$

            由夹逼定理，得：

                                      $\displaystyle \lim_{n \to \infty }(n!)^{n^2}=1.$

四川大学2008年数学分析试题



解：
               $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2(x+\ln(1-x))}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}}{x^2(x-x-\frac{x^2}{2})}=\frac{5}{2}.$

四川大学2008年数学分析试题


解：试题应该打印错了，现将条件中$"="$改为$"-"$.由已知，有

                          当    $x\leq 2,f(x-2)=1-x^2,$

                              $\int f(x-2)dx=\int (1-x^2)dx=x-\frac{1}{3}x^3+C;$

                          当    $x> 2,f(x-2)=xe^{-x^2},$

                              $\int f(x-2)dx=\int xe^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+C.$



              

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解:（3）、
                             $\begin{align*}\iint_S(x++y+z)dS&=\iint_S(x++y+\sqrt{a^2-x^2-y^2})\sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}+1}dxdy\\\\&=a\iint_S(\frac{x+y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}+1)dxdy\\\\&=\pi a^3.
\end{align*}$

                   其中利用了积分计算的对称性原则。


       （4）、
                           添加$C(3,2)$,使ACB成一闭合区域，并利用格林公式：

                                               $\begin{align*}\int_{\overline{AmB}}&=\oint_{\overline{ACB}}-\int_{\overline{AC}}-\int_{\overline{CB}}\\\\&=\iint_{\sigma}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy-\int_{\overline{AC}}-\int_{\overline{CB}}\\\\&=m\iint_{\sigma}dxdy-\int_{1}^{3}\varphi (2)e^xdx-\int_{2}^{4}\varphi'(y)e^2dy\\\\&=2m-\varphi(2)e^3+\varphi(2)e-e^2\varphi(4)+e^2\varphi(2).
\end{align*}$

                           其值固定。

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解：由曲面的法向量：
                                  $n=\{-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\}=\{-2x,-2y,1\},$

      代入计算，并注意积分对称性，得

                                   $\begin{align*}
I &=\iint_S(-2x^3-2y^3+x^2+y^2)\sqrt{\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}+1}dxdy\\\\
&=\sqrt{2}\iint_S(x^2+y^2)dxdy\\\\
&=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{h}r^2\cdot rdr\\\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{2}\pi h^4.  
\end{align*}$

四川大学2008年数学分析试题


计算并代入，略。

四川大学2008年数学分析试题

证明：

                      $\begin{align*}
\lim_{n \to \infty }n\int_{0}^{1}x^nf(x)dx&=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}x^{n+1}f(x)|_0^1-\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n+1}f'(x)dx\\\\&=f(1)-\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{1}x^{n+1}f'(x)dx\\\\&=f(1)-\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n+2}x^{n+2}f'(x)|_0^1+\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n+2}\int_0^1x^{n+2}f''(x)dx\\\\&=f(1).\end{align*}$

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题目有错，应该为：

                      $f(a)-2f(\frac{a+b}{2})+f(b)=\frac{(b-a)^2}{4}f''(\xi ).$

此类题一般用泰勒公式，下面搬一个别人的解法：







注：此题用到达布定理，是一个亮点。

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