数学分析考研真题练习一

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浙江理工大学2018年601数学分析试题
暨南大学2018年数学分析709考研试题
山东科技大学2018数学分析712
四川师范大学2018年数学分析-628
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桂林电子科技大学2018年硕士初试试题
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重庆大学2004年数学分析330---------------------20#~21#
北京科技大学2014年研究生入学考试数学分析试题---21#~22#
杭州师范大学2019年722数学分析---------------22#~23#
中国计量大学2019数学分析713-----------------23#~24#
浙江师范大学数学分析2010真题----------------24#~25#
湘潭大学2017年601数学分析--------------------25#~26#



”数学分析考研真题练习二“参见：
https://bbs.pinggu.org/thread-7210706-1-1.html
数学分析习题练习三
https://bbs.pinggu.org/thread-7388050-1-1.html
数学分析习题练习四
https://bbs.pinggu.org/thread-7967903-1-1.html
数学分析习题练习五
https://bbs.pinggu.org/forum-61-1.html
数学分析习题题练习六
https://bbs.pinggu.org/thread-10261330-1-1.html
数学分析习题题练习七
https://bbs.pinggu.org/thread-10684099-1-1.html
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下面的解答，纯粹是做着玩的，欢迎指正。（纠错时请不单要指出错误，还要提供解答）



浙江理工大学2018年601数学分析试题




解：令$x=\frac{1}{t}$,则$dx=-\frac{1}{t^2}dt,[0,+\infty )\rightarrow (+\infty ,0].$
       $$\therefore \int_{0}^{+\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_{+\infty }^{0}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=-\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0.$$

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关键词：浙江理工大学 数学分析 理工大学 学分析

暨南大学2018年数学分析709考研试题









(1)解：$$\int x(1+x)^{2018}dx=\int ((1+x)^{2019}-(1+x)^{2018})dx=\frac{1}{2020}(1+x)^{2020}-\frac{1}{2019}(1+x)^{2019}+C.$$


(2)解：$$\because \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x+c}{x-c} \right )^x=\lim_{x\rightarrow \infty }\left (1+\frac{2c}{x-c} \right )^{\frac{x-c}{2c}\cdot \frac{2cx}{x-c}}=\lim_{x\rightarrow \infty }e^{\frac{2cx}{x-c}}=e^{2c}=4.$$$$\therefore c=\ln2.$$



(3)解：            
               利用二项乘积的求导公式，代入

                     $\begin{align*}y^{(20)}&=2^{20}x^2e^{2x}+20\cdot 20^{19}\cdot 2xe^{2x}+\frac{20\cdot 19}{2}\cdot 20^{18}\cdot 2\cdot e^{2x}\\\\&=2^{20}x^2e^{2x}+2\cdot19\cdot 20^{20}xe^{2x}+19\cdot 20^{19}e^{2x}.\end{align*}$

浙江理工大学2018年601数学分析试题




解：为使函数$f(x)$在$x=0$处连续，则必须满足左右极限相等，即有：$$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x).$$$$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}e^{ax}=1=\lim_{x\rightarrow 0^+}b(1-x^2)=b.$$
      为使函数$f(x)$在$x=0$处可导，则必须满足左右层数相等，即有：$$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{1-e^{ax}}{0-x}=a=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-x^2-1}{x-0}=0.$$$$\therefore a=0,b=1.$$

浙江理工大学2018年601数学分析试题





解：

        $\displaystyle \because |R|=\left | \frac{\frac{1}{n^2\cdot 2^n}}{\frac{1}{(n+1)^2\cdot 2^{n+1}}} \right |=2.(n \to \infty )$


        $\therefore -2\leq R\leq 2.$

        $\because x=\pm 2$时，原级数收敛，所以级数的收敛域为$[-2,2]$.

浙江理工大学2018年601数学分析试题




解：如果函数在$(0,0)$的偏导数都存在，且在该点连续，则函数在该点可微。
       显然函数在$(0,0)$不连续，题外话。$$\because \frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{|x\cdot 0|}-0}{x-0}=0,$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sqrt{|y\cdot 0|}-0}{y-0}=0,$$
       两个偏导数在$(0,0)$连续。所以，函数$f(x,y)$在$(0,0)$可微。


      

浙江理工大学2018年601数学分析试题






解：定义略

     令$x=\frac{1}{n}$,则$$f_n(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\nrightarrow 0.(n \to \infty )$$
      由Dirichlet判别法，知$\{f_n(x)\}$不一致收敛。

浙江理工大学2018年601数学分析试题





解：$$\because \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=2t\cos (t^4),\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=4t^3\cos (t^4),$$$$\therefore \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}=2t^2.$$$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}=\frac{4t}{2t\cos (t^4)}=\frac{2}{\cos (t^4)}.$$

浙江理工大学2018年601数学分析试题




解：1、由已知，函数在闭区间内有二阶导数，在开区间内取到最大值。因此，必有极值。所以

                       $\exists c\in (0,a),s.t.f'(c)=0.$（极值点）

       2、设：
                      $\xi_1\in(0,c),\xi_2\in(c,a),$

              分别应用拉格朗日中值定理：

                                            $f'(0)=f'(c)-f''(\xi_1)c=-f''(\xi_1)c,$

                                            $f'(a)=f'(c)+f''(\xi_2)(a-c)=f''(\xi_2)(a-c),$

                                     $\Rightarrow |f'(0)|=|-f''(\xi_1)c|\leq Mc,$

                                           $|f'(a)|=|f''(\xi_2)(a-c)|\leq M(a-c),$

                                       $ \therefore |f'(0)|+|f'(a)|\leq M(c+a-c)=Ma.$

浙江理工大学2018年601数学分析试题




证明：$\because a^x-1=x\ln a+o(x),$

          $\begin{align*}
\therefore f(x)&=\left ( \frac{a_1^x+a_2^x+\cdots +a_n^x}{n} \right )^{\frac{1}{x}} \\
&=\left (1+ \frac{(a_1^x-1)+(a_2^x-1)+\cdots +(a_n^x-1)}{n} \right )^{\frac{1}{x}} \\
&=\left (1+ \frac{x\ln a_1+x\ln a_2+\cdots +x\ln a_n}{n} +o(x)\right )^{\frac{1}{x}} \\
&=\left ( 1+\frac{x}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)+o(x) \right )^{\frac{1}{x}}.
\end{align*}$

          $\because \ln(1+x)=x+o(x),$

          $\therefore \ln f(x)=\frac{1}{x}\ln\left ( 1+\frac{x}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)+o(x) \right )=\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)+o(1).$

          $\rightarrow \ln f(x)=\frac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n),(x\rightarrow 0)$

      即有：$$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.$$


下面是其它解法：

浙江理工大学2018年601数学分析试题



解：因为$f(x)$是$\mathbb{R}$的连续周期函数。设周期为$T$,则由周期函数的性质可知，$[x,x+T]$内的最大（小）值也是$\mathbb{R}$上的最值。$$\because f(x)=f(x+T),\rightarrow f'(\xi )=0,\xi \in [x,x+T] (Rolle DL)$$
       $f(\xi)$为极大或极小值。在有界闭区间$[x,x+T]$内，将此值与端点比较，可取得区间内的最大和最小值。而此也是$\mathbb{R}$上的最值。