数学分析考研真题练习一

四川大学2008年数学分析试题


解（1）、参见“南京理工大学2018年数学分析，七、”（52#）


    （2）、当$a=0,\Rightarrow f(x)=o(x),(x\to 0)$

                 此时有$f(\frac{1}{n})=o(\frac{1}{n})=O(\frac{1}{n^p}),(p> 1,n \to \infty )$

                   又$\because \sum \frac{1}{n^p}< \infty ,(p> 1)$

                   $\therefore \sum |f(\frac{1}{n})|< \infty .$

“《数学分析教程 下》（第三版）常庚哲，史济怀编著,2013”上问题10.6


解：先进行变量代换，令
                                     $\begin{cases}
x &=e^{r\cos \theta } \\
y &=e^{r\sin \theta }
\end{cases}$

               则：$|J|=re^{r\cos \theta }e^{r\sin \theta }.$

                积分区域满足：
                                        $\begin{cases}
e^{2r\cos \theta }+e^{2r\sin \theta } &=1 \\ \\
e^{r\cos \theta }+e^{r\sin \theta } &=1
\end{cases}$

     原积分变为：

                         $I=\iint_D=\iint_D\frac{1}{r}drd\theta.$

         确定积分区间，是此题的麻烦点。根据第二个条件，$\cos \theta<0 ,\sin \theta <0$只能同时成立。所以$\theta\in[\pi,3\pi/2].$

        接下来是亮点，设第二个条件的曲线为：$r=r(\theta)$,则第一条曲线为：$r=1/2r(\theta)$.
        
         计算比较简单。(这里巧妙地利用了同元消去法)

                  $I=\iint_D\frac{1}{r}drd\theta=\int_{\pi}^{3\pi/2}d\theta\int_{1/2r(\theta )}^{r(\theta)}\frac{dr}{r} =\frac{\pi}{2}\ln2.$

重庆大学2004年数学分析330


一、解：
                 令：$\displaystyle S_n=a+2a^2+3a^3+\cdots +na^n,$

                        $\displaystyle S_n-aS_n=a+a^2+a^3+\cdots +a^n-na^{n+1}=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}-na^{n+1}.$

                        $\displaystyle \because \lim_{n \to \infty }na^{n+1}=\lim_{n \to \infty }\frac{n+1-n}{\frac{1}{a^{n+2}}-\frac{1}{a^{n+1}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{a^{n+2}}{1-a}=0.$

                        $\displaystyle \therefore S=\lim_{n \to \infty }S_n=\frac{a}{(1-a)^2}.$


二、解：由已知条件，得：
        
                                        $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial \xi}+2x\frac{\partial z}{\partial \eta}.$

                                        $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial \xi }\frac{\partial \xi }{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial y}=2y\frac{\partial z}{\partial \eta}.$

                                   $\displaystyle \therefore y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=y\frac{\partial z}{\partial \xi}+2xy\frac{\partial z}{\partial \eta}-2xy\frac{\partial z}{\partial \eta}=y\frac{\partial z}{\partial \xi}=0.$

                                    $\Rightarrow z=C.$


（第三题是求二元极值，漏了，略去）

重庆大学2004年数学分析330


四、解：
                               $a_n=\frac{1}{n}((3+(-1)^n)x)^n.$

                               $|R|=|\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}|=1,(n \to \infty )$

                            $\therefore -1<((3+(-1)^n)x)<1,$

                                $\Rightarrow -\frac{1}{4}<x<\frac{1}{4}.$


五、解：先作变量变换，

                                 $u=xy,v=\frac{y^2}{x},$

                              $\therefore x=\sqrt[3]{\frac{u^2}{v}},y=\sqrt[3]{uv},$

                                 $|J|=\begin{vmatrix}
\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{uv}} & -\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{u^2}{v^4}}\\
\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{v}{u^2}} & \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{u}{v^2}}
\end{vmatrix}=\frac{2}{9v}+\frac{1}{9v}=\frac{1}{3v}.$
                    
                                $D\rightarrow D':1\leq u\leq 3,1\leq v\leq 3.$

                                 $\displaystyle I=\iint_D\frac{3x}{y^2+xy^3}dxdy=\iint_{D'}\frac{1}{v^2(1+u)}dudv=\int_{1}^{3}\frac{dv}{v^2}\int_{1}^{3}\frac{du}{1+u}=\frac{2}{3}\ln2.$

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五、解：先作变量变换，

                                 $u=xy,v=\frac{y^2}{x},$

                              $\therefore x=\sqrt[3]{\frac{u^2}{v}},y=\sqrt[3]{uv},$

                                 $|J|=\begin{vmatrix}
\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{uv}} & -\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{u^2}{v^4}}\\
\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{v}{u^2}} & \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{u}{v^2}}
\end{vmatrix}=\frac{2}{9v}+\frac{1}{9v}=\frac{1}{3v}.$
                    
                                $D\rightarrow D':1\leq u\leq 3,1\leq v\leq 3.$

                                 $\displaystyle I=\iint_D\frac{3x}{y^2+xy^3}dxdy=\iint_{D'}\frac{1}{v^2(1+u)}dudv=\int_{1}^{3}\frac{dv}{v^2}\int_{1}^{3}\frac{du}{1+u}=\frac{2}{3}\ln2.$

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解：添加一个平面：$z=0$，使之与原来曲面成一个闭合曲面。利用高斯公式：

                   $\begin{align*}I&=\iint_S=\iiint_V -\iint_\Sigma \\\\&=\frac{1}{a}\iiint_V(a+2z-2(z+a))dxdydz-\frac{1}{a}\iint_\Sigma a^2dxdy\\\\&=-\iiint_Vdxdydz-\pi a^3\\\\&=-\frac{2}{3}\pi a^3-\pi a^3\\\\&=-\frac{5}{3}\pi a^3.   
\end{align*}$
                                          

重庆大学2004年数学分析330

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证明：
                   $\displaystyle \forall x_1,x_2\in [a,+\infty ),\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,|x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                    $\begin{align*}|\sin\frac{1}{x_1}-\sin\frac{1}{x_2}|&=2|\cos\frac{1}{2}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})\sin\frac{1}{2}(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})|\\\\&\leq \frac{1}{4}|\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}|\\\\&\leq \frac{1}{4a^2}|x_1-x_2|\\\\&< \frac{\delta }{4a^2}=\varepsilon .
\end{align*}$

                  所以一致收敛。

                   下证在$(0,+\infty )$上非一致收敛。

                          $\displaystyle \exists \varepsilon_0=1,\forall N> 0,\exists n> N,\exists x_1=\frac{1}{（N+1）\pi+\frac{\pi}{2}},s.t.$

                           $\displaystyle |\sin\frac{1}{\frac{1}{（N+1）\pi+\frac{\pi}{2}}}|=\varepsilon_0=1\nrightarrow 0.$

                   由Cauchy定理，函数在$(0,+\infty )$上非一致收敛。

重庆大学2004年数学分析330


证明：
            由 $f ′(a) f ′(b) > 0$,知 $f (x)$在区间端点的某领域内异号，由连续函数介值定理知：

                 $∃ξ ∈(a,b)，有 f (ξ ) = 0 .$





注：此题的原型应该是这样 的：

                            设函数 $f (x)$在$[a,b]$具有二阶导数，且 $f (a) = f (b) = 0, f ′(a) f ′(b) > 0 $. 证明：
               
               $∃ξ ,η ∈(a,b)$，使得
      
                                              $ f (ξ ) = 0, f ′′(η ) = 0 .$

重庆大学2004年数学分析330


证明：
                    $\because \int_{0}^{a}\Phi(x)dx$为函数与$x$轴之间的面积，$x\in[0,a]$.

                    $\because \int_{0}^{b}\Psi (y)dy$为函数与$y$轴之间的面积，$y\in[0,b]$.

                    $\therefore \int_{0}^{a}\Phi (x)dx+\int_{0}^{b}\Psi (y)dy\geq ab.$(见下面所示)

                 显然当$a\neq b$时，不等式成立，而当$a=b$时，等式成立。其几何意义即：曲线在给定区域内分别

             与两个坐标轴之间所围的面积之和。





               上述图示可知，此题更一般的结果为：

                                          $\displaystyle \int_{a}^{b}\Phi (x)dx+\int_{c}^{d}\Psi (y)dy\geq bd-ac$.