一道不知如何解的题?

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一纯交换经济,两个行为主体A和B,两种商品X和Y,经济中的资源禀赋为XA+XB=10,YA+YB=10. A和B的效用函数分别为UA(XA,YA)=3XA+5YA, UB(XB,YB)=9XB+2YB.

问假如初始财富配置为A和B各拥有5单位的X和Y,当经济达到竞争均衡时,两种商品的价格比例.

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关键词：行为主体 效用函数 如何 财富 资源

给你一个解决的提示：

用U^A（X^A，Y^A）表示消费者A的效用函数，U^B（X^B，Y^B）表示消费者B的效用函数，给定B的效用水平既定，为U^B₀，我们要在B的效用水平既定的条件下求A的效用的最大化。约束条件是：

U^B（X^B，Y^B）＝U^B₀

X^A + X^B = W_X

Y^A + Y^B = W_B

其中W_X =W_X^A + W_X^B，是X产品总量；W_X =W_Y^A + W_Y^B，是Y的产品总量。根据目标函数与约束条件，得到下列拉格朗日函数：

L＝U^A（X^A，Y^A）- λ[U^B（X^B，Y^B）-U₀]-μ₁[X^A + X^B -W_X]-μ₂[Y^A + Y^B -W_Y]

其中上式中的λ是效用约束条件的拉格朗日乘数，μ₁、μ₂是禀赋约束条件的拉格朗日乘数。对变量X^A、X^B、Y^A、Y^B求一阶偏导数，并令偏导数值等于0，得到下面的四个必要一阶条件：

∂L/∂X^A= ∂U^A/∂X^A-μ₁ =MU^AX^A -μ₁ =0

∂L/∂Y^A= ∂U^A/∂Y^A-μ₁ =MU^AY^A –μ₂ =0

∂L/∂X^B= - λ∂U^B/∂X^B-μ₁ =MU^BX^B –μ₁ 0

∂L/∂Y^B=- λ∂U^B/∂Y^B-μ₁ =MU^BY^B–μ₂ =0

从而可以得到：

MRS^A_XY＝（∂U^A/∂X^A ）/（∂U^A/∂Y^A） = MU^AX^A /MU^AY^A =μ₁/μ₂

MRS^B_XY＝（∂U^B/∂X^B ）/（∂U^B/∂Y^B） = MU^BX^B /MU^BY^B =μ₁/μ₂

综合上述两式，可以得到：MRS^A_XY＝MRS^B_XY

综合上述两式，可以得到：MRS^A_XY＝MRS^B_{XY ????}

_{这个结论大家都知道.但:}

_{两人都是完全替代偏好,且MRS不一样.}

MRS^A_XY＝3/5

MRS^B_XY ＝9/2

以下是引用torero在2006-2-25 8:58:00的发言：

一纯交换经济,两个行为主体A和B,两种商品X和Y,经济中的资源禀赋为XA+XB=10,YA+YB=10. A和B的效用函数分别为UA(XA,YA)=3XA+5YA, UB(XB,YB)=9XB+2YB.

问假如初始财富配置为A和B各拥有5单位的X和Y,当经济达到竞争均衡时,两种商品的价格比例.

　　由于本题目中，A经济主体与B经济主体的效用函数是线性的，因此不满足边际效用递减

规律，他们认为两种资源是完全替代关系。

　　考察到A，他始终认为，可以用3个Y换5个X，而总效用不变；考虑到B，他始终认为，

可以用9个Y换2个X，而总效用不变。

　　从而相比较而言，A认为单位Y的效用高于单位X的效用，而B认为单位Y的效用低于单位

X的效用，从而A和B可以相互交换X和Y。即A用他自己的X换取B所拥有的Y。

　　最后的价格充满了不确定性。但可以肯定的是，A最后完全掌握的是Y，而B完全掌握了X。

以下是引用万岁中国人在2006-2-25 19:18:00的发言：

　　由于本题目中，A经济主体与B经济主体的效用函数是线性的，因此不满足边际效用递减

规律，他们认为两种资源是完全替代关系。

　　考察到A，他始终认为，可以用3个Y换5个X，而总效用不变；考虑到B，他始终认为，

可以用9个Y换2个X，而总效用不变。

　　从而相比较而言，A认为单位Y的效用高于单位X的效用，而B认为单位Y的效用低于单位

X的效用，从而A和B可以相互交换X和Y。即A用他自己的X换取B所拥有的Y。

　　最后的价格充满了不确定性。但可以肯定的是，A最后完全掌握的是Y，而B完全掌握了X。

同意。

设Y价格为1，X价格为P，

对A来讲，只要P>0.6，他就会将全部X交换出去；

对B来讲，只要P<4.5，他就会换入X。

最终交换价格应该在0.6和4.5之间。

这类似于李嘉图比较优势理论的情形，

在线性生产函数下，最终交换价格在两国边际转换率之间，

但不确定。

[此贴子已经被作者于2006-2-25 20:50:27编辑过]

如果最后结果是Ａ完全占有Ｙ，Ｂ完全占有Ｘ，则双方的托改进不相等。Ａ的托改进等于10，Ｂ的改进等于35，这不是一个合理的解。从双方的效用函数来看，MU_Y^A=5，MU_X^B=9，由此可见，如果有合理解的话，Ａ并不愿意将自己的全部Ｘ与Ｂ的全部Ｙ相交换。应该是，双方持有两种商品的禀赋相交换后，双方的帕累托改进相等，否则可能是Kaldor-Hicks improvement。在纯交换经济中，不可能出现这样的改进。

本人思考出一个思路，大家讨论一下。

假定完全信息(complete information)，假定二人效用同质(homogeneous)，则二人经过讨价还价博弈之后，二人帕累托改进的效用应该相等。由双方效用函数看，Ｂ愿意将其所持有的全部Ｙ与Ａ交换Ｘ，而Ａ只愿意用部分的Ｘ交换Ｂ全部的Ｙ。令这部分Ｘ为ΔX，而ΔＹ＝５。

交换前:

Ｕ_Ａ^０＝４０，Ｕ_Ｂ^０＝５５

交换后：

Ｕ_Ａ^１＝３＊（５－ΔX）＋５*１０

Ｕ_Ｂ^１＝９＊（５＋ΔX）＋０

二人的帕累托改进应相等：

Ｕ_Ａ^１－Ｕ_Ａ^０＝Ｕ_Ｂ^１－Ｕ_Ｂ^０

计算得ΔX=25/12

故交换率Ｅ＝ΔY/ΔX=5/(25/12)=12/5

交换率Ｅ即是达到竞争均衡时的两种商品价格比率，即：P1/P2=E=12/5

你谈到的关于完全交换经济中，不存在卡尔多希克斯改进的问题，只是一个帕累托最优化的过程。另外，除非运用总效用函数，才可以求得最大化两个人的共同效用，但这是很难被承认的，因为A的效用与B的效用不能加总。

因此，此题的解就成为了多解问题。你可以参阅一下儿艾奇沃斯盒的构造过程，就知道了，它的解不是固定的。而且本题目中的等效用曲线都是直线型的，不满足边际效用递减的原理，因此也不会满足艾奇沃斯盒的交易模型。

我在这儿不是已经假定效用是homogeneous嘛,这一假定意味着人们的效用是可以相加的.边沁社会福利函数、罗尔斯社会福利函数等不都是这种假定嘛。虽然这种假定有不合理之处，但也有合理之处。

其实在edgeworth box分析中，双方的效用就是homogeneous，因为双方共用一效用轴。

以下是引用torero在2006-2-26 12:31:00的发言：

我在这儿不是已经假定效用是homogeneous嘛,这一假定意味着人们的效用是可以相加的.边沁社会福利函数、罗尔斯社会福利函数等不都是这种假定嘛。虽然这种假定有不合理之处，但也有合理之处。

其实在edgeworth box分析中，双方的效用就是homogeneous，因为双方共用一效用轴。

　　在edgeworth box分析中，双方的效用不是homogeneous，因为双方的共用轴不表示效

用的大小，而是资源的量的多少，即资源禀赋的总量和各自的量。而edgeworth box在分析

效用时，采用的是序数效用论和边际效用递减规律的等效用线分析。

再说，如果你认为这个题目中可以采取homogeneousr 的效用分析，那么只要在约束条件下，求两个效用的和函数的最大化就可以了。那就简单多了。但这只是最后的结果，并不表征价格，或者说你只能求出平均的交换率，而不能求出边际交换率，因为边际交换率对各自来说，都是定值。