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科斯定理也叫不变性定理，内容是只要清楚界定权利，无论权利谁属，在交易费用为零的条件下，资源利用的效率不变。下面用数学证明这一定理。
牛肉短期生产函数为Q1=Q1（L），L为土地投入量，假定土地租金率为r，产权界定不同，牛麦双方对土地总供求不变，故r不变，由于成本函数为C1=C1（Q），则C1（Q）=rL+FC1（1），FC1为固定成本。（1）式两边关于Q1求导得MC1＝rdL/dQ1=r/MP1，其中MP1＝dQ1/dL。
麦子短期生产函数为Q2=Q2（L），L为土地投入量，假定土地租金率为r，成本函数为C2=C2（Q），则C2（Q）=rL+FC2（2），FC2为固定成本。（2）式两边关于Q2求导得MC2＝rdL/dQ2=r/MP2，其中MP2＝dQ2/dL。
根据短期要素生产理论，一种要素投入的厂商一定在平均产量与边际产量相交点平均即平均产量最大点到边际产量为零这段要素投入量之间进行生产（奈特所谓生产的第二阶段），此阶段平均产量与边际均递减且都大于零。
科斯举在<社会成本问题>文章中举的例子，是牛吃麦子减少麦子产量，可以理解为，土地投入改变导致牛肉产量与麦子产量的改变。假定牛肉与麦子市场为完全竞争市场，价格分别为P1与P2。
要是把产权界定给牛的主人，问题变为增加土地投入L增加产量使牛肉厂商利润最大化，均衡条件为：MR1＝MC1＝r/MP1＝P1＋K1，K1麦子主人给牛主人的赔尝，而K1＝MC2＝r/MP2，把K1代入前式得，r/MP1＝P1＋r/MP2，P1＝r/MP1- r/MP2（3）。土地投入增加，使牛肉边际产量下降，土地投入减少麦子边际产量上升，所以（3）具备经济意义。
要是把产权界定给麦子的主人，问题变为增加土地投入L增加产量使麦子厂商利润最大化。同理可得P2＝r/MP2- r/MP1（4）。
产权界定给任何一方，都不改变P1、P2、MP1、MP2，前者由产品市场供求决定，竞争市场中，单个厂商产量增减不影响价格，后者由生产函数性质决定，在交易费用为零假定下，生产函数与产权界定无关，所以科斯定理成立。
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