数学分析考研真题练习二

昆明理工大学2019年617数学分析


解：
                   $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

昆明理工大学2019年617数学分析


解：
        （1）、令
                           $x=R\cos t,y=R\sin t.-\frac{\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2},$

                      则
                             $\int_Lxds=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}R\cos t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}dt=2R^2.$

         （2）、
                             $\int_L(2a-y)dx+dy=\int_{0}^{2\pi}((a-a\cos t)^2+a\sin t)dt=3\pi a^2.$

昆明理工大学2019年617数学分析


解：（1）、令
                            $P=\frac{y}{x^2},Q=\frac{-1}{x},$

                             $\therefore \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{x}=\frac{\partial Q}{\partial x},$

                      即，积分与路径无关。积分值为：

                             $\int_{(2,1)}^{(1,2)}\frac{ydx-xdy}{x^2}=\int_{(2,1)}^{(1,1)}+\int_{(1,1)}^{(1,2)}=-3.$

        (2)、
                          $u(x,y)=\int_{(0,0)}^{(x,y)}\frac{ydx-xdy}{x^2}+C=\int_{0}^{x}0dx-\int_{0}^{y}\frac{1}{x}dy+C=-\frac{y}{x}+C.$

昆明理工大学2019年617数学分析


解：（1）、
                         $\iint_S\frac{1}{x^2+y^2}dS=\frac{1}{R^2}\iint_SdS,$

                         $x=\pm \sqrt{R^2-y^2},x'_y=\frac{-y}{\sqrt{R^2-y^2}},$

                         $\sqrt{1+x'^2_y+x'^2_z}=\sqrt{1+\frac{y^2}{R^2-y^2}}=\frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}.$

                         $\Sigma_1=\sqrt{R^2-y^2},\Sigma_2=-\sqrt{R^2-y^2}.$

                        $\therefore \frac{1}{R^2}\iint_SdS=\frac{2}{R^2}\iint_{D_Xy}\frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}dxdy=\frac{2H}{R}\arcsin(\frac{y}{R})|_0^R=\frac{\pi H}{R}.$

              注：此题也是典型的，对不是如$z=f(x,y)$形式的积分区域的处理方法

         （2）、
                        $\begin{align*}\iint_\Sigma xydydz&=\iint_\Sigma (1+y-z)ydydz\\\\&=\iint_\Sigma (y+y^2-yz)dydz\\\\&=\int_{-1}^{0}ydy\int_{0}^{1+y}(1+y-z)dz\\\\&=-\frac{1}{24}.
\end{align*}$

昆明理工大学2019年617数学分析


解：先用高斯公式，再用柱面坐标系计算

                   $\begin{align*}\iint_Sx^2dydz+y^2dzdx+z^2dydx&=\iiint_\Sigma 2(x+y+z)dxdydz\\\\&=2\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{0}^{1}(x+y+z)dz\\\\&=2\iint_{D_{xy}}(x+y+\frac{1}{2})dxdy\\\\&=2\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{1}r(r\cos t+r\sin t+\frac{1}{2})dr\\\\&=(\sin t-\cos t+t)|_0^{2\pi}\\\\&=2\pi.
\end{align*}$

北京邮电大学601数学分析-2019


解：
             $\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^2}dy=\int_{0}^{2}e^{-y^2}dy\int_{0}^{y}dx=\frac{1}{2}(1-e^{-4}).$

北京邮电大学601数学分析-2019


解：
             $\displaystyle \because a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2^K}}{1-x^{2^{k+1}}}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2^K}}{(1-x^{2^k})(1+x^{2^k}) }=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{1-x^{2^k}}-\frac{1}{1+x^{2^k}})$

北京邮电大学601数学分析-2019



解：
                     $\because \ln n\sim n,$

                     $\therefore \frac{\ln n}{n^p}\sim \frac{1}{n^{p-1}},$

                     $\Rightarrow p\leq 2,\frac{\ln n}{n^p}=\infty ,$

                               $p> 2,\frac{\ln n}{n^p}< \infty .$

北京邮电大学601数学分析-2019



隐函数链式求导。

北京邮电大学601数学分析-2019


解：
                  可以利用泰勒展开式系数项来求。$x^n$的系数为

                               $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},$

                               $\because f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\frac{x^2}{2})+\frac{1}{2!}(-\frac{x^2}{2})^2+\cdots +\frac{1}{n!}(-\frac{x^2}{2})^n+\cdots ,$

                  而$x^{2018}$项的系数为：
                                 
                                $a_{2018}=\frac{(-1)^{1009}}{1009!2^{1009}},$

                                 $\therefore f^{(2018)}(0)=\frac{-1}{2^{1009}},$

                                 $f^{(2019)}(0)=0.$