数学分析考研真题练习二

山东大学2019年651数学分析考研试题


解：   令
                          $t=1+\cos x,dt==-\sin xdx,$

                          $\begin{align*}\int \frac{1}{\sin x(1+\cos x)}dx&=\int \frac{1}{t^2(t-2)}dt\\\\&=\frac{1}{4}(\int \frac{1}{t-2}dt-\int \frac{1}{t}dt-4\int \frac{1}{t^2}dt)\\\\&=\frac{1}{4}(\ln|t-2|-\ln t+\frac{4}{t})+C\\\\&=\frac{1}{4}(\ln(1-\cos)-\ln(1+\cos x)+\frac{4}{1+\cos x})+C\\\\&=\frac{1}{4}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}+C.
\end{align*}$

山东大学2019年651数学分析考研试题


解：
              $\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2}^{4-x^2}f(x,y)dy=\int_{0}^{2}dy\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+\int_{2}^{4}dy\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)dx.$

山东大学2019年651数学分析考研试题

解： 交线在$XOY$平面上的投影响为

                                    $L_{XOY}:x=1+\frac{1}{2}\cos t,y=\frac{1}{2}\sin t,$

               因此

                            $I=\int_Lxdy-ydx=\int_{0}^{2\pi} ((1+\frac{1}{2}\cos t)\frac{1}{2}\cos t+\frac{1}{4}\sin^2t)dt=\frac{1}{2}\pi.$

山东大学2019年651数学分析考研试题

解：
                   $\because |\frac{\frac{3^n+(-2)^n}{n}\cdot (x+1)^{n}}{\frac{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}{n+1}\cdot (x+1)^{n+1}}|=|\frac{1}{3(x+1)}|,(n \to \infty )$

                   $\therefore |x+1|> \frac{1}{3},$

                   $\Rightarrow x> -\frac{2}{3},x< -\frac{4}{3},$
      
       当
                    $x=-\frac{2}{3},-\frac{4}{3}$

             时，级数收敛。所以收敛域为

                    $x\geq -\frac{2}{3},x\leq -\frac{4}{3},$           

山东大学2019年651数学分析考研试题


证明：
                因为
                        $|a_{n+p}-a_n|=|\frac{1}{(n+1)^\alpha }+\frac{1}{(n+2)^\alpha }+\cdots +\frac{1}{(n+p)^\alpha }|< \frac{p}{(n+1)^\alpha }\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                因此，为柯西列，收敛。

山东大学2019年651数学分析考研试题


证明：
                 $\because \int_{0}^{+\infty }((1-\frac{\sin x}{x})^\frac{1}{3}-1)dx=-\frac{1}{3}\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x} dx,$

            而
                   $\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x} dx$

             条件收敛。因此，原积分条件收敛。

山东大学2019年651数学分析考研试题


证明：
            由已知，有
                                 $\forall \varepsilon > 0,\exists N\in \mathbb{N},n>N,s.t.$

                                 $|a_n-a_{n-1}|< \varepsilon,|b_n|\leq M,$

                 所以，
                                 $|a_nb_n-a_{n-1}b_{n-1}|\leq M|a_n-a_{n-1}|<M\varepsilon.$

                  此即$p=1$时的柯西列，因此级数$\sum a_nb_n$收敛。

山东大学2019年651数学分析考研试题


证明：
               因为
                            $\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin2x}{x+\alpha }dx < \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin2x}{x}dx=\frac{\pi}{2},$

               关于$\alpha $一致收敛，而函数$e^{-\alpha x}$单调降，有界。由Abel判别法，积分一致收敛。





                                             

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