数学分析考研真题练习二

西南大学2019年数学分析考研试题


解：函数极限存在的归结原理：对于任意子列$\{x_n\},$都有

                                              $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,0< |x_n-x_0|< \delta ,s.t.$

                                               $|f(x_n)-A|< \varepsilon .$

                                 任取$x$两个子列:

                                               $\{x_{1_n}\}:x_{1_n}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                                               $\{x_{2_n}\}:x_{2_n}=\frac{1}{n\pi}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                                   此时，两个子列的极限分别为：

                                                $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}=\lim_{x_{1_n}\to 0}\sin (2n\pi+\frac{\pi}{2})=1,$

                                                $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}=\lim_{x_{2_n}\to 0}\sin n\pi=0,$

                                不相等。故函数$x\to 0$时，极限不存在。
                                          

西南大学2019年数学分析考研试题

解：
                   当
                              $\alpha,\beta > 0,$

                    由莱卜尼兹判别法知，交错级数$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}$收敛。

                   当
                             $0< \alpha+\beta \leq 1,$
      
                   时，有
                              $|\frac{(-1)^n}{n^\alpha \ln^\beta n}|=\frac{1}{n^\alpha \ln^\beta n}=\frac{1}{n^\alpha \ln^\beta (1+(n-1))}=\frac{1}{n^\alpha (n-1)^\beta}\sim \frac{1}{n}=\infty ,$

                     发散。原级数条件收敛。

                    当
                              $\alpha+\beta> 1,$
           
                   时，有
                               $|\frac{(-1)^n}{n^\alpha \ln^\beta n}|\leq \frac{1}{n^{1+\varepsilon }}< \infty .$

                         原级数绝对收敛。

西南大学2019年数学分析考研试题



简单，略。

天津大学2019年数学分析考研试题


注：这道题似乎有误，这里采用的是“Hoganbin，八一考研数学竞赛”版本的。网上有的版本没有此题，如张祖锦。没有看到官方版本的试卷。
此题似乎应加上"$f(0)=1$"这个条件.

           由已知条件，得
                                     $f(\frac{k}{n^2})-f(0)=\frac{k}{n^2}f'(\xi ),\xi\in(0,\frac{k}{n^2})$

                                     $f'(\xi )\rightarrow f'(0),(n \to \infty ,\xi\rightarrow 0)$

                                      $\therefore f(\frac{1}{n^2})+f(\frac{2}{n^2})+\cdots +f(\frac{2n}{n^2})=2nf(0)+\frac{2n(2n+1)}{2n^2}f'(0),$

               因此
                                      $\displaystyle \lim_{n \to \infty }(f(\frac{1}{n^2})+f(\frac{2}{n^2})+\cdots +f(\frac{2n}{n^2})-2n)=\lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{n}f'(0)+2n(f(0)-1))=2f'(0).$

天津大学2019年数学分析考研试题


解：用stolz公式。

                $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n}}{\ln n-\ln(n-1)}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\ln(1-\frac{1}{n})^{-n}}=1.$

天津大学2019年数学分析考研试题

天津大学2019年数学分析考研试题



解：求导得，两个驻点分别为：$x=-3/2,f(-3/2)=\frac{4\sqrt[3]{50}}{9}.$

                                              $x=3,f(3)=\frac{5\sqrt[3]{4}}{9}$

                    分母最小值为$x=0$,此时$f(0)=\frac{10}{9}.$

             比较得，函数的最大值为：
                                                   $f(-3/2)=\frac{4\sqrt[3]{50}}{9}.$

天津大学2019年数学分析考研试题

天津大学2019年数学分析考研试题



解：
            $\displaystyle \lim_{n \to \infty }n^2\ln n\sin\frac{1}{n}=\lim_{n \to \infty }n^2(n\sin \frac{1}{n}-1)=\lim_{n \to \infty }n^2(n(\frac{1}{n}-\frac{1}{3!x^3})-1)=-\frac{1}{6}.$

天津大学2019年数学分析考研试题






已有解。参见：云南大学2017年数学分析试题，本帖“第13页”。


                     $（F'_x,F'_y,F'_z）=(2,2,-4\ln2).$