数学分析考研真题练习二

杨州大学2019年840数学分析高等代数综合考研试题



解：隐函数求导。

杨州大学2019年840数学分析高等代数综合考研试题



证明：
                               $\because \int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx,$

                 对 上述第二部分进行变量变换，有

                                $x=\pi+t,dx=dt,$

                               $\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{-\sin t}{\sqrt{\pi+t}}dt,$

                              $\therefore \int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx+\int_{0}^{\pi}\frac{-\sin x}{\sqrt{\pi+x}}dx=\int_{0}^{\pi}\sin x(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{\pi+x}})dx> 0.$

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解：              收敛半经
                                         $|R|=1$

                    收敛域
                                          $[-1,1]$

                 令部分和为$S_n$，此时

                                            $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k+1}=\int_{0}^{x}(\sum_{k=1}^{n}x^{k-1})dx-(\sum_{k=1}^{n}x^{k+1}dx)',$


                   则级数和为
                                            $\begin{align*}S&=\lim_{n \to \infty }S_n\\\\&=\int_{0}^{x}\lim_{n \to \infty }(\sum_{k=1}^{n}x^{k-1})dx-\lim_{n \to \infty }(\sum_{k=1}^{n}x^{k+1}dx)'\\\\&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-x}dx-(\frac{x^2}{1-x})'\\\\&=\ln(1-x)+\frac{2x-x^2}{(1-x)^2}.
\end{align*}$

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证明：
             （1）、由泰勒公式，可以看出，当$g''(x)\neq 0$时，必有$g(x)\neq 0$。

              （2）、令：
                                      $\varphi(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x),$

                            由已知，可知有

                                       $\varphi(a)=\varphi(b)=0,$

                            由Rolle定理，

                                          $\exists \xi\in(a,b),s.t.$

                                          $\varphi'(\xi)=f'(\xi)g'(\xi)+f(\xi)g''(\xi)-f''(\xi)g(\xi)-f'(\xi)g'(\xi)=0,$

                                           $\therefore \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}.$
                                         

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此题与2016年天津市数学竞赛题十二（理工类）相同，不过顺序变了一下。现将网上解答帖于此

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解：（1）、若向量组$\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4$线性相关，则由该向量组组成的矩阵的秩必$\leq 3$。

                 因此
                           $\begin{pmatrix}
1+a & 1 & 1 &1 \\
2 & 2+a &2  &2 \\
3 & 3 &3+a  & 3\\
4 & 4 & 4 & 4+a
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
10+a & 0 & 0 &0 \\
2a & -a &0  &0 \\
3a & 0 &-a  &0\\
4a & 0 & 0& -a
\end{pmatrix}$

                             $\Rightarrow a=0,-10.$

     （2）、当$a=0$时，极大无关组是$\alpha _1$.其它向量可表示为

                             $\alpha _2=\frac{1}{2}\alpha _1,\alpha _3=\frac{1}{3}\alpha _1,\alpha _4=\frac{1}{4}\alpha _1.$

                当$a=-10$时，极大无关组是$\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4$,而$\alpha _1$可表示为

                              $\alpha _1=\alpha _2+\alpha _3+\alpha _4.$

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解：（1）、                       $\because 3=n-r+1,\Rightarrow r=2.$

         （2）、由增广矩阵
                        $\begin{pmatrix}
a & 1 & 4 & b &1 \\
1 & 1 & 1 & 1 &-1 \\
2 & 1 & 3 & -3 & 1
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
0 & 0 & 4-2a & b-5+4a &4-2a \\
0 & 1 & -1 & 5 &-3 \\
1 & 0 & 3 & -4 & 2
\end{pmatrix}$
      
                             $\because r=2,$

                              $\therefore a=2,$
                  又因为方程有解，故
                                $\Rightarrow b-5+4a=0,$

                               $\therefore b=-3.$

        （3）、方程组变为
                                 $\begin{cases}
x_1 &=-2x_3+4x_4+2 \\
x_2 &=x_3-5x_4+3
\end{cases}$

                   而方程的通解为：
                                     $\therefore X=c_1\begin{pmatrix}
0\\
4\\
1\\
0
\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}
6\\
-2\\
0\\
1
\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}
2\\
3\\
0\\
0
\end{pmatrix}.$

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解：（1）、是的。理由如下：
                                           $\because A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A\alpha_2=\lambda_1\alpha_2,$

                                           $\therefore A(\alpha_1+\alpha_2)=A\alpha_1+A\alpha_2=\lambda_1\alpha_1+\lambda_1\alpha_2=\lambda_1(\alpha_1+\alpha_2).$


          （2）、不是。理由：

                                           $\because A\alpha_2=\lambda_1\alpha_2,A\alpha_3=\lambda_2\alpha_3,$

                                          $\therefore A(\alpha_2+\alpha_3)=A\alpha_2+A\alpha_3=\lambda_1\alpha_2+\lambda_2\alpha_3\neq \lambda (\alpha_2+\alpha_3).$

          （3）、因为$A$的特征值为$\lambda=-1,1$，故$A^2$的特征值为$\lambda ^2=1,1$.此时有

                                           $|\lambda ^2E-A^2|=|E-A^2|=0,$

                              由此知方程
                                            $ (\lambda ^2E-A^2)\beta =(E-A^2)\beta =0.$
                                   即
                                            $A^2\beta =\beta,$

                              对任意不为零的列向量$\beta$均成立。

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解：（1）、                              $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1& a & 3\\
1& 3 & 5
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0& a-1 &2\\
0&2& 4
\end{pmatrix}.$

                               $\because r=2,$

                               $\therefore \frac{a-1}{2}=\frac{2}{4},\Rightarrow a=2.$

    （2）、先求矩阵的特征值
                                  $|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}
\lambda -1 & -1 & -1\\
-1& \lambda -2 & -3\\
-1& -3 & \lambda -5
\end{vmatrix}=0,$

                                $\lambda_1=1.\lambda_2=\frac{7+\sqrt{45}}{2},\lambda_3=\frac{7-\sqrt{45}}{2}.$

           标准形为
                                $f(x'_1,x'_2,x'_3)=x'^2_1+\frac{7+\sqrt{45}}{2}x'^2_2+\frac{7-\sqrt{45}}{2}x'^2_3.$

   （3）、

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证明：（1）、左边不等式

                                      $\because R(A)\geq 1,R(B)=R(C)=4,R(D)\geq 1,$

                                      $\therefore R(A)+R(B)+R(C)+R(D)\geq 1+4+4+1=10.$

                     右边不等式，由Sylverster公式，

                                       $R(A)+R(B)-n\leq R(AB),$

                    因此，有
                                      $\begin{align*}R(ABCD)&\geq A(A)+R(BCD)-4\\&\geq R(A)+R(B)+R(BC)-2\times 4\\&\geq R(A)+R(B)+R(B)+R(C)-3\times 4.
\end{align*}$
                          又
                                     $\because ABCD=0,\therefore R(ABCD)=0,$

                                     $\Rightarrow R(A)+R(B)+R(B)+R(C)\leq R(ABCD)+12=12.$

          （2）、给出$A,B,C,D$如下
                                    $A=\begin{pmatrix}
1 & &  & \\
& 0 &  & \\
&  & 0 & \\
&  &  & 0
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
1 & &  & \\
& 1 &  & \\
&  & 1 & \\
&  &  & 1
\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}
& &  &1 \\
&  & 1 & \\
&  1& & \\
1&  &  &
\end{pmatrix},D=\begin{pmatrix}
& &  &1 \\
& & 0 & \\
& 0 &  & \\
0 &  &  &
\end{pmatrix}.$

                            $AB=\begin{pmatrix}
1 & &  & \\
& 0 &  & \\
&  & 0 & \\
&  &  & 0
\end{pmatrix}.$

                          $ABC=0.$

                          $ABCD=0.$