数学分析考研真题练习二

云南大学2017年数学分析试题

解：
                      $f'(x)=n(1-x)^n-n^2x(1-x)^{n-1}=0,$

                       $\Rightarrow x=1,$（舍去）

                         $x=\frac{1}{n+1},$

                      $\therefore M(n)=\frac{n}{n+1}(1-\frac{1}{n+1})^n,$  

             故
                        $\displaystyle \lim_{n \to \infty }M(n)=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}(1-\frac{1}{n+1})^n=e^{-1}.$

云南大学2017年数学分析试题


解：
                $p> 1,|\int_{1}^{A}\cos xdx|\leq 2,\frac{1}{x^p}\downarrow \rightarrow 0,\therefore |\int_{1}^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx|< \infty ,$(Dirichlet判别法)

                $0< p\leq 1,\int_{1}^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}< \infty ,$(Dirichlet判别法)

                     $\because |\frac{\cos x}{x}|\geq \frac{\cos^2x}{x}=\frac{\cos2x-1}{2x},$

                      $\int_{1}^{+\infty }|\frac{\cos x}{x}|dx\geq \int_{1}^{+\infty }\frac{\cos2x-1}{2x}dx=\int_{1}^{+\infty }\frac{\cos2x}{2x}dx-\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{2x}dx.$

                        $\int_{1}^{+\infty }\frac{\cos2x}{2x}dx< \infty ,\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{2x}dx=\infty ,$

                        $\therefore \int_{1}^{+\infty }|\frac{\cos x}{x}|dx=\infty ,$

                  因此，为条件收敛。

                $p\leq 0,\int_{1}^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx=\infty .$

云南大学2017年数学分析试题

云南大学2017年数学分析试题


解：
                     $\begin{align*}\iint_D(\sqrt{x}+\sqrt{y})dxdy&=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})dy\\\\&=\int_{0}^{1}(y\sqrt{x}+\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}})|_0^{(1-\sqrt{x})^2}dx\\\\&=\int_{0}^{1}(\frac{2}{3}-\sqrt{x}+\frac{1}{3}x^{\frac{6}{2}})dx\\\\&=(\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{15}x^{\frac{5}{2}})|_0^1\\\\&=\frac{2}{15}.
\end{align*}$



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注：此题如果采用变量代换，计算也简单不了多少，都是有一定的计算量的，容易出错。

云南大学2017年数学分析试题


证明：
                         $\displaystyle \because \lim_{n \to +\infty }f(x)=A,$

                          $\therefore \exists X\in[1,+\infty ),\forall x> X,s.t.$

                                $|f(x)-A|< 1,\rightarrow A-1< f(x)< A+1,$

                            $\because f(x)\in C[1,X],\therefore f(x)< M,$
                 令
                               $B=Max\{M,A+1\},$

                     因此
                               $f(x)<B.$

                       有界。

云南大学2017年数学分析试题

解：
                      $\begin{align*}\because f(x)&=\frac{1}{(2+x)(\frac{1}{2}-x)}\\\\&=\frac{1}{(1+\frac{1}{2}x)(1-2x)}\\\\&=\frac{1}{5}(\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{1+\frac{1}{2}x})\\\\&=\frac{1}{5}(\sum_{n=0}^{\infty }(2x)^n+\sum_{n=0}^{\infty }(-\frac{1}{2}x)^n)\\\\&=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty }(2^n+\frac{(-1)^n}{2^n})x^n.
\end{align*}$

                       $\therefore f^n(0)=\frac{n!}{5}(2^n+\frac{(-1)^n}{2^n})$
             故
                       $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{f^n(0)}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{\frac{n!}{5}(2^n+\frac{(-1)^n}{2^n})}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{5\cdot 2^n}{2^{2n}+(-1)^n}.$

                       $\displaystyle \because \sqrt[n]{\frac{5\cdot 2^n}{2^{2n}+(-1)^n}}< 1,$

             所以，级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{f^n(0)}$收敛。



                       

西南大学2019年数学分析考研试题


解：（1）、
                              $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}&=4\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(\frac{2}{4})^n+(\frac{3}{4})^n+1}\\\\&=4\lim_{n \to \infty }(1+(\frac{2}{4})^n+(\frac{3}{4})^n)^{\frac{1}{(\frac{2}{4})^n+(\frac{3}{4})^n}\cdot \frac{(\frac{2}{4})^n+(\frac{3}{4})^n}{n}}\\\\&=4\lim_{n \to \infty }e^{\frac{(\frac{2}{4})^n+(\frac{3}{4})^n}{n}}\\\\&=4.
\end{align*}$

        （2）、
                             $\because e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+o(x^2),$

                             $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2),$

                              $\ln(1+2x^2)=2x^2-\frac{1}{2}(2x^2)^2+o(x^4),$

                             $\displaystyle \therefore \lim_{x\to 0}\frac{e^x-\sqrt{1+2x}}{\ln(1+2x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{1}{2!}x^2+o(x^2)-1-x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{2x^2-2x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2-2x^2}=\frac{1}{2}.$


          （3）、作变量代换。令
                                                $e^x-1=t^2,$

                               则
                                              $e^x=1+t^2,dx=\frac{2t}{1+t^2}dt,[0,5]\rightarrow [0,2],$

                                             $\int_{0}^{\ln5}\frac{e^x\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}dx=\int_{0}^{2}\frac{2t^2}{4+t^2}dt=\int_{0}^{2}(2-\frac{2}{1+(\frac{t}{2})^2})dt=4-\pi.$




                        

西南大学2019年数学分析考研试题

西南大学2019年数学分析考研试题

解：
                      先用$y=-x$将积分区域$D$分为$D=D_1+D_2$,其中 $D_1$关于$Y$轴对称，而$D_2$关于$X$轴对称。
         
             这样，利用积分区域的对称性进行积分计算。

                       $\begin{align*}\iint_Dy(1+xf(x^2+y^2))dxdy&=\iint_Dydxdy+\iint_Dxyf(x^2+y^2))dxdy\\\\&=2\iint_{D_1^+}ydxdy\\\\&=2\int_{-1}^{0}ydy\int_{0}^{-y}dx\\\\&=-\frac{2}{3}.
\end{align*}$


           
        

西南大学2019年数学分析考研试题

解：用参数方程法。设
                                  $x=1+\sqrt{2}\cos t,y=1+\sqrt{2}\sin x,$

                                   $0\leq t\leq 2\pi.$

                                   $\begin{align*}\oint_L(2x^2+3y^2)ds&=\int_{0}^{2\pi}(2(1+\sqrt{2}\cos t)^2+3(1+\sqrt{2}\sin x)^2)\sqrt{2}dt\\\\&=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}(10+4\sqrt{2}\cos t+6\sqrt{2}\sin t-\cos2t)dt\\\\&=20\sqrt{2}\pi.
\end{align*}$