数学分析考研真题练习二

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


解:
                    $\because |R|=1,$

                    $x-1=1,a_n\nrightarrow 0,(n \to \infty )$

                    $x-1=-1,a_n\nrightarrow 0,(n \to \infty )$

                    $\therefore 0< x< 2,$

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


解:
                     $\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty }nx^{2n-1}&=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty }nx^{2(n-1)}\\\\&=\frac{1}{x}(\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{x}kx^{2(k-1)}dx)'\\\\&=2(\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}x^{2k})'\\\\&=2(\lim_{n \to \infty }\frac{x^2-x^{2(n+1)}}{1-x^2})'\\\\&=2(\frac{x^2}{1-x^2})'\\\\&=\frac{4}{(1-x^2)^2}.
\end{align*}$

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)

证明：
                             $\because a< b,$

                             $\therefore a< \frac{a+b}{2}< b,$

             由已知，$f(x)$在实数域上连续，由连续函数的介值定理，

                              $\exists \xi \in (-\infty ,+\infty )=R,s.t.f(\xi )=\frac{a+b}{2}.$

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)

证明：
            将实轴分为三段，分别讨论函数的性质。

                             当$\forall x\in [a,b]$,由已知，函数连续，所以在闭区间上一致收敛；

                             当$\forall x\in (-\infty ,a]$,由于函数连续，且$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)< M,$,故可导。

                      利用中值定理，有：
                                        $\forall x_1,x_2\in (-\infty ,a],\varepsilon > 0,\exists \delta > 0,|x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                                        $|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)(x_1-x_2)|< L|x_1-x_2|<\varepsilon $

                                 由此，函数一致连续；

                           同理可知，当$\forall x\in [b,+\infty)$,函数也一致连续。

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


证明：
                      $\because f'(x)=2x+\cos x,$

                      $\therefore f''(x)=2-\sin x> 0,\rightarrow f'(x)\uparrow ,$

                       $\because f'(0)=1,$

                       $\therefore f'(x)\geq f'(0)=1> 0,\rightarrow f(x)\uparrow ,$

                   而由
                        $f(0)=-2< 0,f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi^2}{4}-1> 0$

                 可知，在区间内函数至少存一个点使得函数值为零，即方程有零解。另一方面，由函数的单调性知，只能有唯一一个零点，方程有唯一解。

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)



证明：
                      $\because |\frac{(-1)^n}{x+n}|< \frac{1}{n}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                       故由级数判别法知，一致收敛。

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


解：
                  $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} .$

                  $\ln^2(1+x)=(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n})^2=2\sum_{n=1}^{\infty }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{n+1}.$

              当$x=1$ 时，我们有
      
                                  $\sum_{n=1}^{\infty }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}\ln^22.$
                                    


参见：《数学分析中的典型问题与方法 （第2版）》裴礼文，p556,例5.3.06.

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


解：
                      $\begin{align*}\oint_L\frac{(x+y)dx+(y-x)dy}{\sin(x^2+y^2)}&=\frac{1}{\sin1}\oint_L(x+y)dx+(y-x)dy\\\\&=\frac{1}{\sin1}\iint_D(-1-1)dxdy\\\\&=-\frac{\pi}{\sin1}.
\end{align*}$

中山大学2019年考研试题682数学分析(A)


解：
                   $\iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=\iiint_\Omega (1+1+1) dV=3\iiint_\Omega dV,$

                    $\Omega :(x-2)^2+y^2=4,0\leq z\leq 4.$

                    $\therefore \iint_Sxdydz+ydzdx+zdxdy=3\cdot \pi\cdot 4\cdot 4=48\pi.$

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数



解：
                             $\begin{align*}\because a_n&=\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{n}{n+1}}x^{n-1}\sqrt{1+x^n}dx\\\\&=\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{n}{n+1}}\frac{1}{n}\sqrt{1+x^n}d(1+x^n)\\\\&=\frac{1}{n}(1+x^n)^{\frac{3}{2}}|_0^{\frac{n}{n+1}}\\\\&=\frac{1}{n}(1+(\frac{n}{n+1})^n)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{n}.
\end{align*}$

                              $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }na_n=\lim_{n \to \infty }((1+(\frac{n}{n+1})^n)^{\frac{3}{2}}-1)=(1+\frac{1}{e})^{\frac{3}{2}}-1.$