数学分析考研真题练习二

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题


解：
                      $S=\iint_\Sigma dS=\iint_\Sigma \sqrt{\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}+1}dxdy=\sqrt{2}\iint_\Sigma dxdy,$

                      $\Sigma :(x-1)^2+y^2=1,$

                       $\therefore S=\pi\sqrt{2}.$



                  

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题


证明：不失一般性，不妨设$f(a)<\mu<f(b)$.
          先考虑$\mu=0$的情况。此时有$f(a)<0,f(b)>0$.将$[a,b]$二等分，显然，其中必有一个区间其端点符号相反，取为$[a_1,b_1]\subset [a,b]$;再将$[a_1,b_1]$二等分，同理必有一个区间其端点符号相反，取为$[a_2,b_2]\subset [a_1,b_1]\subset [a,b],$而$f(a_2)f(b_2)<0$,.....,如此继续，形成一个收缩的区间套，由区间套定理，必存在一个公共点$\alpha $.假设$f(\alpha )\neq 0$.不妨设$f(\alpha )> 0$,而这是不可能的，因为在$[\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]$存在无数多个区间，按上面区间的取法，两个端点外必有一个函数值小于0，与假设不符。同理，$f(\alpha )< 0$也是不可能的，故只有$f(\alpha )=\mu= 0$.

          再考虑$\mu \neq 0$的情况。此时，只要对函数$f(x)-\mu$应用上面的结论，必有$f(\alpha )-\mu=0$,即$\exists \alpha \in [a,b],s.t.f(\alpha )=\mu$.

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题




此题为基本题，利用定义证明即可。与“暨南大学2019年数学分析709考研试题三、4题”类似。（略）

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题



解：
            $\because ｜R｜=|\frac{n^2}{(n+1)^2}|=1,$

            $\therefore -1< x< 1.$

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题


证明：
                    $\because x_n=\frac{1}{n}\in (0,+\infty ),$

                    $\therefore u_n=nx_ne^{-nx_n^2}=e^{-\frac{1}{n}}=1\nrightarrow 0,(n \to +\infty )$

             即，级数在$(0,+\infty )$上不一致收敛。

                    $\forall x\in [a,b]\subset (0,+\infty ),$

               有
                     $u_n=nxe^{-nx^2}\leq nae^{-na^2}\rightarrow 0,(n \to +\infty )$

                根据狄里赫莱特判别法，原级数内闭一致收敛、

浙江理工大学2019年601数学分析考研试题


证明：由拉格朗日中值定理，
                                   $\forall x_1,x_2\in(0,1),s.t.$

                                    $|f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi )(x_1-x_2)|< |x_1-x_2|,$

                        分两种情况：
                                     $1)、|x_1-x_2|< \frac{1}{2},\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|< \frac{1}{2},$

                                      $2)、|x_1-x_2|\geq \frac{1}{2}，$

                                    $\begin{align*}\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|&=|f(x_1)-f(0)+f(1)-f(x_2)|\\&=|f'(\xi)x_1+f'(\eta )(1-x_2)|\\&<| 1-(x_1-x_2)|<\frac{1}{2}.
\end{align*}$

                          故，结论成立。



       注：本题解答由网友提供。

河北大学2018数学分析624数学分析试题


解：
                        $\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\frac{1^k+3^k+\cdots +(2n+1)^k}{n^{k+1}}&=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}\frac{2}{n}((\frac{1}{n})^k+(\frac{3}{n})^k+\cdots +(\frac{2n+1}{n})^k)\\\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^kdx=\frac{1}{2(k+1)}x^{k+1}|_0^1\\\\&=\frac{1}{2(k+1)}.
\end{align*}$

河北大学2018数学分析624数学分析试题

解：
           $\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\frac{\int_{0}^{2x}(\arctan u)^2du}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to +\infty }\frac{2(\arctan 2x)^2}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}=\lim_{x\to +\infty }\frac{2(2x)^2(1+\frac{1}{2}x^2)}{x}=0.$

河北大学2018数学分析624数学分析试题




用隐函数求导，并注意链式法则。（略）

河北大学2018数学分析624数学分析试题


解：
          作变量代换：
                                   $x=2\sin t,dx=2\cos tdt,$

                           $\begin{align*}\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx&=\int \frac{4\sin^2t\cdot 2\cos t}{2\cos t}dt\\\\&=\int (1-\cos 2t)d(2t)\\\\&=2t-\sin 2t+C\\\\&=2\arcsin\frac{x}{2} -\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C.
\end{align*}$