数学分析考研真题练习二

南京理工大学2019年数学分析试题




  2、解：令
                               $t=\frac{x^2}{2019},$

                               $|R|=1,$

                               $\therefore -\sqrt{2019}< x< \sqrt{2019},$

                               $\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2019^n}x^{2n}&=2\sum_{n=1}^{\infty }(n+1)t^n-3\sum_{n=1}^{\infty }t^n\\\\&=2(\sum_{n=1}^{\infty }t^{n+1})'-3\sum_{n=1}^{\infty }t^n\\\\&=2(\frac{t^2}{1-t})'-\frac{3t}{1-t}\\\\&=\frac{4t-2t^2}{(1-t)^2}-\frac{3t}{1-t}\\\\&=\frac{t(1+t)}{(1-t)^2}\\\\&=\frac{2019x^2+x^4}{(2019-x^2)^2}.
\end{align*}$

南京理工大学2019年数学分析试题


证明：
              因为函数在$(x_0,y_0)$可微，所以其徧导数存在。而沿$\vec{e}$方向的导数为：

                                                              $\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}=\sqrt{f^2_x+f^2_y}\cos\theta ,$

                        所以，方向导数存在。

南京理工大学2019年数学分析试题


解：作变量变换：
                            $\begin{cases}
x &=ar\sin\theta \cos \varphi ,0\leq r\leq 1, \\
y &=br\sin\theta \sin \varphi ,0\leq \varphi \leq 2\pi, \\
z &=cr\cos \theta ,0\leq \theta \leq \pi/2.
\end{cases}$

                             $|J|=abcr^2\sin\theta .$

           则
                    \begin{align*}I&=\iiint_\Omega  z^2dxdydz\\\\&=abc^3\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^2 \theta  d\theta \int_{0}^{1}r^4dr\\\\&=\frac{2\pi}{15}abc^3.\end{align*}

南京理工大学2019年数学分析试题


解：添加$z=1$平面，方向向下，使之与原积分区域组成一个闭合区域，由高斯公式：

                                   $\begin{align*}I&=\iint_{S+z=1}(2x+y)dydz+zdxdy -\iint_{z=1}dxdy\\\\&=\iiint_\Omega (2+1)dxdydz-\pi\\\\&=4\pi-\pi=3\pi.
\end{align*}$  

南京理工大学2019年数学分析试题


解：
                          $I=\oint \frac{xdy-ydx}{3x^2+4y^2}=\oint \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2+1},$

                          $P=\frac{-y}{x^2+y^2+1},\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^2-y^2-1+2y^2}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{-x^2+y^2-1}{(x^2+y^2+1)^2},$

                          $Q=\frac{x}{x^2+y^2+1},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2+y^2+1-2x^2}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{-x^2+y^2+1}{(x^2+y^2+1)^2},$

                  由格林公式：

                          $I=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint_D\frac{2}{(x^2+y^2+1)^2}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}}\frac{2r}{(6r^2+1)^2}dr=\frac{\pi}{6}.$

南京理工大学2019年数学分析试题



此题常考，是教程上的原题，已经解过。略

南京理工大学2019年数学分析试题


证明：
              由已知，$f(x)$连续可微。利用积分中值定理：

                                      $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)=f(\xi),\xi\in(a,b)$

                                       $\because f(\xi)-f(x)=\int_{x}^{\xi}f'(t)dt,$

                                      $\begin{align*}\therefore |f(x)|&=|f(\xi)-\int_{x}^{\xi}f'(t)dt|\\\\&\leq |f(\xi)|+|\int_{x}^{\xi}f'(t)dt|\\\\&\leq |\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)|+\int_{a}^{b}|f'(x)|dx.
\end{align*}$

                  又因为$x$的任意性，所以此不等式对$[a,b]$区间内的最大值也成立。故有

                                        $\displaystyle \underset{a\leq x\leq b}{Max}|f(x)|\leq |\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)|+\int_{a}^{b}|f'(x)|dx.$

南京理工大学2019年数学分析试题


证明：
                维尔斯特拉斯聚点定理.

            设$S\subset [a,b],$将有界区间一分为2，即$[a,b]=[a,\frac{a+b}{2}]\cup [\frac{a+b}{2},b]$,则两个区间中其中必有一个包含$S$的无穷个点，不妨令其为$[a_1,b_1]$,此时

                                   $[a_1,b_1]\subset [a,b],b_1-a_1=\frac{a+b}{2},$

             再将  $[a_1,b_1]$一分为二，将其中含$S$的无穷个点的那个区间令其为$[a_2,b_2]$，此时有

                                   $[a_2,b_2]\subset [a_1,b_1]\subset  [a,b],b_1-a_1=\frac{a+b}{2^2},$

            同理，一直分割下去，有

                                    $[a_n,b_n]\subset[a_1,b_2]\subset \cdots \subset  [a,b],b_n-a_n=\frac{a+b}{2^n},$

            最后有：
                                    $b_n-a_n=\frac{a+b}{2^n}\rightarrow 0,$

               由极限定理，必有：

                                     $\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_n=\lim_{n \to \infty }b_n=\xi.$

                      显然
                                     $\xi\in S\subset [a,b]$

                      $\xi$即为$S$的聚点。

安徽师范大学2019年601-数学分析


解：
     （1）、当$x=1,2,\cdots ,2018$时，函数有相同的极大值

                                      $f_{Max}(x)=1+2+\cdots +2017=\frac{2017\cdot 2018}{2}=2017\cdot 1009.$



       （2）、令
                               $f(x)=\arcsin x$

                  则
                               $f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}},$

                                $f(0)=0,f'(0)=0.$

                                $\frac{\mathrm{d} f^2}{\mathrm{d} x}=2ff',\frac{\mathrm{d} f^2}{\mathrm{d} x}|_{x=0}=0,$

                               $\frac{\mathrm{d}^2 f^2}{\mathrm{d} x^2}=2ff''+2f'^2,\frac{\mathrm{d}^2 f^2}{\mathrm{d} x^2}|_{x=0}=0.$

                   由上面的各阶微分，可以推知$n$阶微分是一个含有$f$和$f'，f'',f''',....$奇次微分因子的项的组合。而$f,f'，f''',....$各奇次阶微分在$x=0$处的值均为$0$,故

                                $\frac{\mathrm{d}^n f^2}{\mathrm{d} x^n}|_{x=0}=0.$

安徽师范大学2019年601-数学分析


解:
                        $\inf\{x_n\}=0,\sup\{x_n\}=1.$

                        $\displaystyle {\underline{\lim}}_{n \to \infty }x_n=0,$

                        $\displaystyle \overline{\lim}_{n \to \infty }x_n=1.$