数学分析考研真题练习二

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数


解：
                       $\begin{align*}df(1,1,1)&=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz|_{(1,1,1)}\\\\&=\frac{1}{yz}(\frac{x}{y})^{\frac{1}{z}-1}dx-\frac{x}{zy^2}(\frac{x}{y})^{\frac{1}{z}-1}dy-\frac{1}{z^2}\ln\frac{x}{y}\cdot (\frac{x}{y})^\frac{1}{z}|_{(1,1,1)}\\\\&=dx-dy.\end{align*}$

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数

解：
             $z$轴向量为$(0,0,1)$,梯度向量为

                            $u_x=2x-3yz,u_y=2y-3xz,u_z=2z-3xy,$

                  两个向量垂直，则有：

                            $z=\frac{3}{2}xy,$

                因此，满足上述方程式的点集，使得梯度垂直于$z$轴。

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解：变换积分次序，得

         $I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}dx\int_{x^2}^{x}e^{\frac{y}{x}}dy=\int_{\frac{1}{2}}^{1}x e^{\frac{y}{x}}|_{x^2}^xdx=\int_{\frac{1}{2}}^{1}x(e-e^x)dx=\frac{3}{8}e-\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}}.$

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数


解，作如下变量变换即可：

                                     $\begin{cases}
u &=x-y \\
v &=x+y
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
x &=\frac{u+v}{2} \\
y&=\frac{v-u}{2}
\end{cases}$

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解：

                       $\int_L|y|ds=\iint_D\sqrt{1-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dxdy=\iint_Ddxdy=\pi.$

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解：应用球面坐标
                               $\begin{cases}
x &=r\sin \theta \cos\varphi ,0\leq \theta \leq \pi \\
y &=r\sin\theta \sin\varphi ,0\leq \varphi \leq 2\pi \\
z &=r\cos\theta ,0\leq r\leq t
\end{cases}$

                                $|J|=r^2\sin\theta ,$

                             $\therefore F(t)=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi}\sin\theta \int_{0}^{t}f(r^2)r^2dr=4\pi\int_{0}^{t}f(r^2)r^2dr.$

                             $\Rightarrow F'(t)=4\pi f(t^2)t^2.$

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证明：用反证法。设调和级数收敛，且其和为$S$.则有：

                                $S_n\rightarrow S,S_{2n}\rightarrow S,(n \to \infty )$

                      而
                               $S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}> \underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}}_n=\frac{1}{2}\neq 0.$

                      与假设矛盾。因此，级数发散。

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数

解：
                        $S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n},$

                         $\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}},$
                       
                   $\therefore S_n-\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}},$

                       $\frac{1}{2}S_n=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}},$

                       $\displaystyle \Rightarrow S=\lim_{n \to \infty }S_n=2.$

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解：可令
                   $t=\frac{x-1}{x+1},$

          则有：
                   $x=\frac{1+t}{1-t},$

          从而：
                    $\ln x=\ln\frac{1+t}{1-t}=\ln(1+t)-\ln(1-t)$


         再依$t$展开即得。

中山大学2019年考研试题679数学分析与高等代数

解：对第一行提取公因式$1/a^2$,第二行提取公因式$1/b^2$,第三行提取公因式$1/c^2$,第四行提取公因式$1/d^2$,得：

                           $\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a^2+\frac{1}{a^2} & a & \frac{1}{a} &1 \\
b^2+\frac{1}{b^2} & b & \frac{1}{b} &1 \\
c^2+\frac{1}{c^2} & c & \frac{1}{c} & 1\\
d^2+\frac{1}{d^2} & d & \frac{1}{d} & 1
\end{vmatrix}&=\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}\begin{vmatrix}
a^4+1 & a^3 & a &a^2 \\
b^4+1 & b^3 & b &b^2 \\
c^4+1 & c^3 &c & c^2\\
d^4+1 & d^3 &d & d^2\end{vmatrix}\\\\&=\begin{vmatrix}
a^4 & a^3 & a &a^2 \\
b^4 & b^3 & b &b^2 \\
c^4 & c^3 &c & c^2\\
d^4 & d^3 &d & d^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 & a^3 & a &a^2 \\
1 & b^3 & b &b^2 \\
1 & c^3 &c & c^2\\
1 & d^3 &d & d^2\end{vmatrix}\\\\&=-abcd\begin{vmatrix}
1 & a^3 & a &a^2 \\
1 & b^3 & b &b^2 \\
1 & c^3 &c & c^2\\
1 & d^3 &d & d^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 & a^3 & a &a^2 \\
1 & b^3 & b &b^2 \\
1 & c^3 &c & c^2\\
1 & d^3 &d & d^2\end{vmatrix}\\\\&=0.\end{align*}$