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支出函数e(p,u)定义为：

e(p,u)=min px s.t. u(x)>=u

如何才能证明：

（１）当直接效用函数u(x)是连续函数时，对于任意p>>0与任意u>=0，支出函数e(p,u)是定义良好的，也就是说对于任意p>>0与任意u>=0，必然存在一个x>=0成为消费者支出最小化问题的解：e(p,u)=px u(x)>=u．

（２）如果e(p,u)是定义良好的，如何证明当直接效用函数u(x)是严格递增且拟凹时，对于任意x>=0,必定存在一个p>>0，使得e(p,u(x))=px ．

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关键词：高级微观 效用函数 支出函数 消费者 Min 微观 求教 高级

varian的书里有证明

我看了教材后，还是不太明白，有哪位老师或同学可以指点一下啊？谢谢了！

设：向量y>>0，表示y中各分量均非负且至少一分量为正。

与此问题等价的是，对于任意给定的x*>>0，过点x*，总能找到一个满足p>>0的超平面p'x*=e，使得上截集u(x)>=u(x*)完全在该超平面正向的一侧。

由于u(·)拟凹，则其任一上截集必凸（其中没有“洞”），而任一超平面p'x=e都是凸集，故过点x*总存在一个超平面p'x*=e，使得上截集u(x)>=u(x*)完全在该超平面的一侧。

由于u(·)严格单调递增，对于任意给定的x0，集合{x:x>>x0}恒为上截集u(x)>=u(x0)的子集。

由于上截集u(x)>=u(x*)完全在超平面p'x*=e的一侧，故集合{x:x>>x*}也完全在超平面p'x*=e的这一侧。而仅当p>>0，集合{x:x>>x*}才能完全在超平面p'x*=e正向的一侧，故p>>0。

本题的证明其实就是利用了凸集的性质。而条件“直接效用函数u(x)是拟凹且严格递增”，就是保证了其任一上截集必凸，且对于任意给定的x0，集合{x:x>>x0}恒为上截集u(x)>=u(x0)的子集。

谢谢sungmoo版主的指教!

我懂了.正如你说的,凸集的性质是关键.我对一些数学性质的理解和运用能力还不够.版主是否能够给我推荐一些好的经济数学教材(中英文都可以)?谢谢!

我期待着你的回复.

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