难题：证明风险偏好者的无差异曲线的形态

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在学习资产组合理论时想到的一个问题。
在一个由预期收益γ和标准差σ构成的“γ0σ”图形中，风险偏好者的无差异曲线U(γ,σ)满足一阶倒数小于零，二阶倒数也小于零。为什么会是这样的图形？
我只能证明一阶倒数dγ/dσ<0，即，但却没法算出二阶导数的结论。在此请教大家，最好给个证明。谢谢

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关键词：无差异曲线 风险偏好 资产组合 标准差 风险 难题 偏好 形态 无差异曲线

你好，我只是看过范里安中级微观，上面说的风险资产的内容相对比较简单。我很奇怪为什么你说的那个一阶倒数是小于零的呢？标准差也就是风险对消费者来说应该是厌恶品吧，那么我觉的dY/d#>0，#表示标准差。用几何来说就是那个无差异曲线是向右上角画的。你告诉我是那本书上的吧，我看看。如果愿意加我QQ 307990157

胡乐1430 发表于 2010-4-15 16:04
你好，我只是看过范里安中级微观，上面说的风险资产的内容相对比较简单。我很奇怪为什么你说的那个一阶倒数是小于零的呢？标准差也就是风险对消费者来说应该是厌恶品吧，那么我觉的dY/d#>0，#表示标准差。用几何来说就是那个无差异曲线是向右上角画的。你告诉我是那本书上的吧，我看看。如果愿意加我QQ 307990157

lz说的是风险偏好者，假设投掷硬币，收益组合（-100，100）肯定比（-1，1）好啊
U不变的话，期望收益降低，明显需要增加标准差来补偿，所以y和标准差的变动是反方向的，导数为负数

图形如上。风险厌恶与风险偏好者的曲线是不同的。
我们通常看到比较多的是收入效用函数U(x)的图形，纵坐标是U，横坐标是收入X。
继续请教：数学上怎么证明？

evio 发表于 2010-4-15 20:20

图形如上。风险厌恶与风险偏好者的曲线是不同的。
我们通常看到比较多的是收入效用函数U(x)的图形，纵坐标是U，横坐标是收入X。
继续请教：数学上怎么证明？

那你主贴里怎么说要证明风险偏好者的二阶导数小于0？

let U(x) = a + b*r+c*r^2

E(U) = E(a)+E(b*r)+ E(c*r^2)
         =  a + b E(r)  +c (E(r))^2 + c (σ(r))^2
E(r) = 预期收益
σ(r) = 标准差
E(u) = 某已知的效益水平

带数字应该可以算出来吧

看看尼克尔森的书，对消费的无差异曲线是凸的证明
和这个一样，只不过风险偏好者这个是凹的

xuxinyus 发表于 2010-4-16 12:54
看看尼克尔森的书，对消费的无差异曲线是凸的证明
和这个一样，只不过风险偏好者这个是凹的

我看了尼的第六版，其对无差异曲线的证明似乎是定性的，有没有这方面带数学推导的参考资料？

Austin_n 发表于 2010-4-16 10:07
let U(x) = a + b*r+c*r^2
带数字应该可以算出来吧

带数字的话，过于具体，就不是我的问题了。

根据这个吧：U（p1w1+p2w2）<p1U(w1)+p2U(W2)  其中p1+p2=1
这个式子和凹凸函数的定义本身就很像  凹凸函数意味着二阶导数的正负

evio 发表于 2010-4-17 21:04

xuxinyus 发表于 2010-4-16 12:54
看看尼克尔森的书，对消费的无差异曲线是凸的证明
和这个一样，只不过风险偏好者这个是凹的

我看了尼的第六版，其对无差异曲线的证明似乎是定性的，有没有这方面带数学推导的参考资料？

Austin_n 发表于 2010-4-16 10:07
let U(x) = a + b*r+c*r^2
带数字应该可以算出来吧

带数字的话，过于具体，就不是我的问题了。

尼克尔森的中文版第九版《微观经济理论》第72页注脚，是对无差异曲线凸性的证明
我记得高鸿业教材一本官方配套详解书也有类似的证明