请教Dixit-Stiglitz模型的FOC是怎么推出来的？

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小生初学宏观，最近刚好学到Dixit-Stiglitz模型。原始论文是离散的，而后来出现了连续版本

譬如说版主的DSGE模型讨论之五——CES functions and Dixit-Stiglitz Formulation
https://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthread&tid=1303070&from^^uid=2734605

或者Dingel的这篇The basics of "Dixit-Stiglitz lite", 见
http://www.columbia.edu/~jid2106/td/dixitstiglitzbasics.pdf


两篇文章基本一致，就是
\[    \mathscr{L} = \int_0^n q(\omega)^\rho d\omega - \lambda \left( \int_0^n p(\omega) q(\omega) d\omega  - I \right)\]


然后FOC变成
\[        \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q(\omega)} = \rho q(\omega)^{\rho - 1} - \lambda p(\omega) = 0\]

有哪位大神能告诉我这个关于被积函数求导数的FOC是怎么来的？
看了这篇Dixit-Stiglitz (1977) 模型的详细推导
https://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthread&tid=704094&from^^uid=2734605
的44楼，还是觉得不严谨。这种求导完全没见过，敢问版主当时是怎么推出来的？谢谢~


P.S. 如有重复发帖，请指明~小生立即道歉……

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关键词：Stiglitz Dixit dix FOC STI 模型

看到这个帖子，我也在认真思考这个积分怎么求出来的，另外，你第一个式子的dx应该是dw，写错了。我暂时也没好的办法，等想出来了大家一起来交流

bluce-lee 发表于 2014-5-9 22:46
看到这个帖子，我也在认真思考这个积分怎么求出来的，另外，你第一个式子的dx应该是dw，写错了。我暂时也没 ...

已改正，谢谢提醒~

我在怀疑这个是不是和连续统有关……
这个导数应该是可微的，不会是0
但是为啥是直接无视，就不得而知了=。=

考虑积分的定义中……

其实，不能从严格的微积分意义上对此进行理解，因为是连续统，现在是对某一个omega进行求导，其余的omega都认为是常数，你把积分符号看作是连加号就行了。其实宏观经济学中的积分没有实变函数和数学分析中那么严谨，只是加法号而已罢了！

感谢楼上的建议，我一开始也是按照求和号来理解的

不过天蝎座的天性告诉我要把它搞下去
我有一个相应的解释，不知道对不对

其实我觉得可能是作者的符号不严谨，我查了一下相关的资料
我觉得这个其实就是连续时间优化问题（Dixit自己就有写类似的东西）
因此，这个应该从优化的思维而不是微积分的思维来思考

简单而言，就是原拉格朗日乘子所表述的问题，写全了就是拉格朗日函数无条件最大化
\[    \max \mathscr{L} = \int_0^n q(\omega)^\rho d\omega - \lambda \left( \int_0^n p(\omega) q(\omega) d\omega  - I \right)\]
也即\[    \max \mathscr{L} = \int_0^n \left( q(\omega)^\rho - \lambda p(\omega) q(\omega) + \lambda \frac{I}{n} \right) d\omega\]

注意到被积函数恒为正数，因此对拉格朗日函数所表示的积分求最大值相当于对被积函数求最大值
\[    \max  q(\omega)^\rho - \lambda p(\omega) q(\omega) \]

所以FOC就可以写成下面的形式了
\[        \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q(\omega)} = \rho q(\omega)^{\rho - 1} - \lambda p(\omega) = 0\]

【注】更严谨地说，个人认为从连续时间优化而言，可以看做是一个Hamilton函数。整个问题是HJB方程的一个应用，把\[\omega\]看做时间参量，而\[q(\omega)\]是一个控制变量（还停留在猜测中），只不过这个控制变量有点特殊……
以上都是基于自己不扎实的本科数学功底研究出来的
敢抛砖引玉，还请各位路过的大神指点~小生在此拜谢了~~

ahnulxy 发表于 2014-5-13 09:26
其实，不能从严格的微积分意义上对此进行理解，因为是连续统，现在是对某一个omega进行求导，其余的omega都 ...

感谢您的回复~

确实经济学里很多东西从直觉里可以得到相应的理解~
不过小生也做了一个小证明~
还请大大过目~

祝好

bluce-lee 发表于 2014-5-9 22:46
看到这个帖子，我也在认真思考这个积分怎么求出来的，另外，你第一个式子的dx应该是dw，写错了。我暂时也没 ...

有个粗糙的想法，欢迎批评指正~
祝好

Benlaron 发表于 2014-5-13 15:32
有个粗糙的想法，欢迎批评指正~
祝好

我觉得板凳的解释是有可能的，经济学里的这种分析比不上纯数学的证明，把它理解成连续的加法就很容易了

bluce-lee 发表于 2014-5-13 22:49
我觉得板凳的解释是有可能的，经济学里的这种分析比不上纯数学的证明，把它理解成连续的加法就很容易了

嗯，我也觉得这是最经济的方法

BTW，冒昧问一句，小龙哥（Bruce Lee）您是不是最后去了暨大啊？

Benlaron 发表于 2014-5-14 22:19
嗯，我也觉得这是最经济的方法

BTW，冒昧问一句，小龙哥（Bruce Lee）您是不是最后去了暨大啊？

呵呵，这都能被你发现啊！