现代数学三大结构学习感悟

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现代数学三大结构学习感悟

文/更远大侠

      法国布尔巴基学派认为数学的研究对象是数学结构，他们提出了三大数学结构，序结构，代数结构与拓扑结构。
      三大数学结构中，序结构相对简单，代数结构是核心，这些概念都非常抽象，要理解深刻不容易，因此必须要从熟悉的例子出发去理解。学习过程中，对于概念含义的理解，一开始一定要从简单的例子中理解，但一定要从具体例子去思考其形式化的定义。比如群，要从众多的生动的实例中去领会群定义中运算的四个性质。特殊关系是从满足关系的性质进行定义的，特殊的代数结构也是从满足特定的运算性质去定义的。我们以前在学实数与复数等各种具体运算时，没有想到过要从具体的运算关系中抽象出群，环，域等抽象的概念，要真正的学习数学，就必须要这样做，不断从具体例子中抽象出一般的概念与结构。总体上讲，集合内部元素之间的运算关系与集合之间的映射关系保持集合内部的某种运算或结构关系，这两个方面是现代数学研究的核心。                     拓扑空间与可测空间类似。拓扑空间是一个底空间X的幂集上的运算关系，一个集合X上的一部分子集族T，T中集合满足（1）任意并运算封闭，即T中成员任意并运算结果还是T中成员，（2）有限交运算封闭 ，（3）全集X和空集Φ属于T。那么（X，T）就称为一个拓扑空间。拓扑空间T中的成员称为开集。
        可测空间是把拓扑空间定义中的有限交运算改成差运算就可以了。即X中的子集族M中成员满足（1）任意并封闭，（2）差运算封闭，（3）全集X和空集Φ属于M。则（X，M）称为一个可测空间，M中成员称为可测集。从可测空间定义可见，可测空间与拓扑空间具有非常类似的结构定义。
        拓扑空间与可测空间都基于X中子集的运算，这一点似乎与代数结构不同，因为代数结构是基于点之间的运算关系。但只要把T视为一个集合，T成员两种运算满足封闭性，这在运算性质上确实不如代数结构中群，环，域的运算性质丰富，但是也总算是运算关系。
         测度空间是从可测空间（X，M）出发，在M之上定义一个集函数即测度μ，测度主要是满足可数可加性，当然还有空集的测度μ（Φ）=0，不相交可测集并集的测度等于各可测集测度之和即可加性。从而（X，M，μ）称为测度空间。
         测度空间有点类似于度量空间。度量空间也是在一个集合X上建立起一个度量或距离d，（X，d）称为度量空间。度量空间定义中关键是从笛卡尔集X×X到非负实数集R＋的度量函数d：X×X→R+要满足三个条件，即（1）两个相同点之间距离d（x，x）=0，（2）对称性d（x，y）=d（y，x），（3)三角不等式，即任意三个点x，y，z满足d（x，z）＜d（x，y）＋d（y，z）。
        这个度量类似于测度。但度量是两点之间距离，测度是子集的一种大小，测度是从面积体积抽象出来，度量从距离抽象出来。
        度量空间定义时比测度空间定义时对于定义域集合的性质要求更少，因为测度空间定义要求定义域本身是可测空间。
        概率空间是测度空间特例，只是要求全集X的测度为1，因为全样本空间的概率为1。因此测度空间就是概率空间的基础，而可测空间是测度空间的基础。
        度量空间，赋范线性空间，内积空间，完备度量空间，完备赋范空间，完备内积空间，拓扑空间，可测空间，测度空间，概率空间，线性空间=向量空间，这些基本上就是经济学理论要用到的数学空间概念。
　　两个度量空间之间的关系，如果（X，d1)，（Y，d2)是两个度量空间，映射f：（X，d1)→（Y，d2)满足任给x,y属于X，有d1(x,y)＝d2(f(x),f(y))，则称映射f为保距映射，若这个映射还是一一映射，则称为保距同构映射。保距同构可以在度量空间之间建立一个等价关系。可以证明，刚体运动是保距同构，如平移，旋转。
　　两个序空间之间的映射如果保持序关系，则称为保序映射。
　　两个向量空间之间的关系是群同态关系的特例。通常是通过线性映射来实现，若满映射f是从线性空间V到线性空间W的线性映射，且对V任意两个向量x和y，有f(ax+by)＝af(x)+bf(y)，则称为线性映射或线性同态。线性同态通常用y=Ax来表示，即A是映射f的矩阵。线性同态的核即Ax=0的解空间，这是一个V的子空间，而V相对于这个解空间的商集实际上与W同构。这是同态同构的一般原理。在群论中一般是如下形式：设群同态f：(G,*)→（H,＋），即对任意x,y属于G，有f(x*y)=f(x)+f(y)，则同态的核为kerf是一个正规子群，则G相对于映射核kerf的商群G/kerf＝img f，或同态是满映射则有G/kerf＝H。线性映射是向量空间作为一个向量加法群的群同态，从而线性映射的核在V中的商空间V/kerf同构于线性映射的像空间。
　　群同态的神勇之处就在于，它保持了群结构的运算关系。
　　两个赋范线性空间之间映射可能是保范群同态，即这个映射既保持向量运算关系，即是群同态，同时也保持范数相同。赋范线性空间也是一个度量向量空间，此时保距线性同态映射则保持了距离关系、向量加法群运算关系。两个内积空间之间的映射同样可以保持内积关系，可称为保内积映射。完备内积空间是完备赋范空间和完备度量空间，之间的映射可以保持极限运算，从而定义一个保极限、保内积、保向量加群运算关系的映射，如果这样的映射还是一一映射，则是一个完备内积之间的同构映射了。
　　空间之间的同构映射（肯定是一一映射），使得定义域空间与靶空间两个空间的结构完全一样，这个同构关系是一个等价关系，这样一来，所有同构的空间就是一个等价类，本质上可以看作一个空间，这又是一个商集的概念。
　　可测空间之间的映射关系，如果保持集合之间运算关系，可以看作是一个可测空间同态，即从可测空间（X，M1)到（Y,M2)之间的满射f满足对于M1的任意成员（注意是X的子集）A和B，有f(AUB)＝f(A)Uf(B)，f(A\B)=f(A)\f(B)，且f(X)=Y，f(空集)=空集。即对于M1中任意成员A，f(A)j是M2中的成员，这是一处保可测集的映射，可以说是一个可测空间之间的同态关系。但可测函数的定义刚好相反，不是说在M1的可测集经过映射之后f(A)也是M2的可测集，而是说，对于M2中的任意可测集K，都能在M1中找到可测集A使得K=f(A)。可测函数的定义类似于连续函数的定义，下面详述。如果可测空间上面定义的测度在这个映射下也满足测度的相加关系，则可以说这个映射是一个保测度映射。即从测度空间（X，M1，μ1）到（Y，M2，μ2）的满射，满足f(AUB)＝f(A)Uf(B)，f(A\B)=f(A)\f(B)，且f(X)=Y，f(空集)=空集，这是测度的定义域空间－可测空间满足的关系，而且满足测度的运算关系，即对于（X，M1）中不相交的成员A与B，有μ1(A)＝μ2[f(A)]，μ1(AUB)＝μ2[f(A)Uf(B)]，若A是C的真子集，则有μ2[f(C)\f(A)]＝μ1[C\A]，则可称映射f为保测度映射。如果映射f还是一一映射，则这个映射就保持了测度定义域空间的可测集关系，以及保持了测度关系，这就是一个测度之间的同构关系了。
　　可以看到，度量空间与测度空间，都是把任何集合空间映射到正实数集上面，是对点点距离或子集体积大小的度量，因此在定义度量空间与测度空间之间的关系时，使用保距离与保测度来定义映射是最方便的。这一点不同于群同态。群同态不一定是群同构。
       拓扑空间之间的连续映射与可测空间之间的可测映射类似。从拓扑空间(X，T1)到(Y，T2)的映射f，若满足，对于T2中任意开集B,都可以在T1找到开集A使得B=f(A)，则称f为连续映射。如果从拓扑空间(X，T1)到(Y，T2)的映射f满足，任给T1中的开集A，f(A)也是T2中开集，则称f为开映射。可见，连续映射与开映射不同。开映射的定义方式与群同态的定义方式类似，可以说是正向保持性质。而连续映射与可测映射则是逆向保持性质。
      拓扑空间之间的连续映射如果是一一映射，则称为拓扑等价，或同胚。同胚建立起了拓扑空间之间的等价关系，从而可以对拓扑空间进行分类，把相互拓扑等价的空间视为同一个空间，即把拓扑等价的等价类视为一个。这还是一个商集的概念。
      线性空间同构，拓扑空间同构，群同构，可测空间同构，测度空间同构，同构这样一种等价关系把不同空间进行分类。我们在学习数学过程中，只要把这些概念都联系起来，许多数学概念就理解得更加深刻了。
       三大数学结构，法国布尔巴基学派的数学思想，虽然不能概括现代数学的全部，但对于理解现代数学的大部分内容还是非常有益的。

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关键词：学习感悟 代数学 经济学理论 真正的学习 赋范空间

      群同态，群同构，环同态，环同构，域同态，域同构。
      复变函数的保角映射(二维空间之间用复变函数表示的变换)，保距映射，保测度映射，这种映射之所以一定要保角、保距、保测度这样的“测量“性质，原因在于内积、度量、测度都不是向量空间、度量空间与可测空间本身内部的性质，而是从这些空间向实数或正实数所作映射或泛函后，由泛函或实数来定义的性质，因此这很难像群同态那样用空间内部元素之间的运算关系的保持来定义。而作为泛函映射结果的实数，最好是通过实数相等来定义最好，因为实数相等就是一种等价关系，每个实数实际上就是一个等价类。
      线性空间=向量空间之间的线性映射，是向量加群的同态，向量空间之间的同构。
      拓扑空间之间连续映射类似于同态。但连续映射之间的性质保持与可测映射一样，是逆向保持，而群同态的保持则是正向保持。开映射与群同态倒是一样，是性质的正向保持。这些微妙的区别，对于数学初学者而言估计是很困惑的，我也曾经对此大为困惑。
      

引用请注明出处。

      这是看完很多书之后自己随笔写的，我不知道你说的引用要求如何引用。列参考文献是可以，但引用通常是指原文照抄再需要标注。这些都是抽象代数、泛函分析、数学分析的教材中的观点，但并非任何已有著作的原话，因此算不上引用吧。
     参考文献如下：
    (1)Apostol：《数学分析》，机械工业出版社，2005
    (2)Rotman:《抽象代数基础教程》，机械工业出版社，2004年
    (3)Rudin：《实分析与复分析》
    (4)徐森林：《点集拓扑学》
   差不多就是这四本书，看完之后，你自己就能总结出这些道理。

这些知识，数学教材上都有，几本书读了之后，自己稍微总结了一下，写的随笔。      引用应该有两种，一是借用别人的思想，通常在经济学上采取(人名，年份)的方式，二是原文引用注明出处。我这完全就是随笔，自己写着玩，这些思想都是从教材上看来的，但都并非原文，都是自己写的。而且每个数学概念，说到底，许多教材上都有，要说引用，我得列出这个概念我看过的所有教材，这确实有点多，有的根本记不清楚了。比如说，群的概念，几乎所有抽象代数的教材上都有，要说引用，得列出我看过的所有的抽象代数的教材。要是这样的话，我干脆还是别写的任何东西了。因为我脑袋中的所有知识都是从别人那里看来的，自己原创的东西还没写出来。如果每个概念我都要指明最初是在哪里看到的，我没有时间去搞这么多文献索引啊。不就写一个随笔嘛。所以，我也没有搞清楚，到底怎样情况下才需要引用，怎样情况下不需要引用。如果我写的思想只要来自于他人都需要引用，我认为我自己什么也不能写了，因为有些思想可能是几十年之前看过，连哪本书都记不起来，已经内化成自己的思想了。如果每个概念都要注明最初的作者，我这辈子干脆什么事情也别干了。

前面写的，有的可能是我自己瞎写的，比如保测度映射，因为我自己根本就没有看过，也许我看过的书上有，但我并非每本书都读完过。这纯粹是根据保距映射而类比提出来的，有没有这样的概念我也不知道呢。
      但拓扑空间的概念，哪本拓扑学教材上都有。其他各种空间的概念，哪本泛函分析的教材上都有。但这些教材我也没有读完过，我读这些数学教材相当于读小说，有必要每个字都读完吗？
      难道写一点心得体会并非学术文章也不行吗？      拓扑空间与可测空间的定义，哪本书上都有。比如那本Dudley的《实分析与概率论》上有。
      但把上面这么多有关空间的概念像我这样全部写在一起进行总结的书，还真没有看到过。所以，我引用谁去呢？的确，每个人概念都可以在其他教材上找得到，但是把所有这些空间的概念全部总结出来，是我自己今天上午随便写的，写的时候也没有看过任何一本书，因为这本身并非严格的学术写作，随便瞎写而已，我怎么引用呢？
       而且我看很多国内学者写的数学教材，我估计他们这些书的大多数概念都是国外学者提出来的，为什么他们没有处处写明出处呢？他们写的书，看起来好像那些概念是他们自己发明似的，果真如此吗？我想肯定不是。比如说徐森林《点集拓扑学》中的概念是他提出来的吗，我估计他也是把别人写的书看完之后，自己写的书。他不可能而且事实上也的确没有在《点集拓扑学》中注明所有概念思想的出处。
       所以，我没有搞明白，楼上的人叫我引用出处，是什么意思，难道我必须把每一个思想的出处全部注明吗？甚至连国外的许多教材都直接定义群的概念，也没有说这个概念是作者自己发明的，还是伽罗华发明的，没有写啊。

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witswang 发表于 2017-5-21 11:14
群同态，群同构，环同态，环同构，域同态，域同构。
      复变函数的保角映射(二维空间之间用复变函 ...

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