elite7502 发表于 2013-10-10 08:07
楼主,能不能介绍详细一点,能贴一下该书的目录给大家看看吧
Contents
1 Introduction and Summary 2
1.1 The First Fixed Point Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 “Fixing” Kakutani’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Essential Sets of Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Index and Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 The Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 The Fixed Point Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Topological Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I Topological Methods 22
2 Planes, Polyhedra, and Polytopes 23
2.1 Affine Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Convex Sets and Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Polyhedral Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Computing Fixed Points 35
3.1 The Lemke-Howson Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Implementation and Degeneracy Resolution . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Using Games to Find Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Sperner’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 The Scarf Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Remarks on Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Topologies on Spaces of Sets 66
4.1 Topological Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Spaces of Closed and Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Vietoris’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Hausdorff Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Basic Operations on Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
iiCONTENTS iii
4.5.1 Continuity of Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Continuity of Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.3 Singletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5.4 Continuity of the Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . 72
4.5.5 The Action of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.6 The Union of the Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Topologies on Functions and Correspondences 76
5.1 Upper and Lower Semicontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 The Strong Upper Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 The Weak Upper Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 The Homotopy Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Metric Space Theory 85
6.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Topological Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Banach and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 EmbeddingTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Dugundji’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Retracts 96
7.1 Kino*****a’s Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Euclidean Neighborhood Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Absolute Neighborhood Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Absolute Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.6 Domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 Essential Sets of Fixed Points 106
8.1 The Fan-Glicksberg Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Convex Valued Correspondences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.3 Kino*****a’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 Approximation of Correspondences 114
9.1 The Approximation Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2 Extending from the Boundary of a Simplex . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3 Extending to All of a Simplicial Complex . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4 Completing the Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
II Smooth Methods 123
10 Differentiable Manifolds 124
10.1 Review of Multivariate Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127CONTENTS 1
10.3 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.4 Smooth Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.5 Tangent Vectors and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.6 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.7 Tubular Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.8 Manifolds with Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.9 Classification of Compact 1-Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11 Sard’s Theorem 149
11.1 Sets of Measure Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.2 A Weak Fubini Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.3 Sard’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.4 Measure Zero Subsets of Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.5 Genericity of Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12 Degree Theory 162
12.1 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.2 Induced Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.3 The Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.4 Composition and Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13 The Fixed Point Index 175
13.1 Axioms for an Index on a Single Space . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.2 Multiple Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.3 The Index for Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.4 Extension by Commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.5 Extension by Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
III Applications and Extensions 192
14 Topological Consequences 193
14.1 Euler, Lefschetz, and Eilenberg-Montgomery . . . . . . . . . . . . . 194
14.2 The Hopf Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
14.3 More on Maps Between Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.4 Invariance of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.5 Essential Sets Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
15 Vector Fields and their Equilibria 210
15.1 Euclidean Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.2 Dynamics on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
15.3 The Vector Field Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.4 Dynamic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.5 The Converse Lyapunov Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.6 A Necessary Condition for Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225