【有奖讨论】怎样理解等价鞅测度以及P测度与Q测度，以及等价鞅测度与BS模型的关系？

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1、请问怎样理解等价鞅测度以及P测度与Q测度？
2、等价鞅测度与BS模型的关系？
3、等价鞅测度在现实生活中的应用？

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关键词：禁止灌水 现实生活 经验值 论坛币 模型 现实生活 经验值

     鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。测度是满足一定条件的取值为非负的集函数，两个测度等价是指这两个函数具有相同的支撑，支撑是指使函数值大于零的定义域。
    等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测试和原来随机过程伴随的测试等价。转化成鞅后，可是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如期权，而不用解偏微分方程了。也不知说清楚了没有，可以参见 John Hull 的书。

欢迎大家讨论与交流。

下面的这篇文章希望对楼主有帮助：

从期权定价中可知，所有产品的贴现率都是无风险利率，说明在期权定价中，与定价者的风险偏好无关，这样就解决了萨缪尔森的类似公式中贴现率无法求解的问题；而在推导BS公式时，可以使用构建无套利组合的方法来得到BS公式，说明两者之间的相通的，可以相互推导出来。两者的使用上有些不同，风险中性假设普遍用于产品定价，使得贴现率不随风险偏好发生改变，定价成为可能。而无套利均衡则经常用来构建不同的投资组合，通过金融工程的原理开发新的金融产品出来。如果有了风险中性原理，则可以有风险中性侧度，那么在现实侧度中无法定价的产品，则可以通过等价鞅侧度转换，从现实侧度转换到无风险侧度中去，这样使得定价原理可以大大扩大其实用范围。
          Black，Scholes于1973 年成功地给出了欧式期权（European option）的解析定价公式，这就激发了在理论和实际工作中大量运用这种方法的热情。尽管随机分析是他们最重要的技术手段和理论外观，但是合成不包含任何风险因素的投资组合和“一物一价法则”恰恰正是他们（经济学）思想的精华所在。这是非常有启发的，它导致了对于所谓金融基本原理——无套利（no arbitrage）原则的重新认识。遵循这条思路，Cox于1976年开创了基于无套利的风险中性（risk neutral）定价方法。紧接着，随着Harrison、Paliska在1979和Kreps在1981杰出论文的发表，进一步研究的基调被设定了：只要市场是完全的，即市场中不存在套利机会(No Arbitrage Opportunity)，对基本资产的价格过程加以一定的数学上的技术性条件，那么现代金融理论的一些基本假设，就等价于存在一个与原概率测度等价的新概率测度，使得折现的基本资产价格过程在这个新测度下为鞅(或局部鞅)，这就是数理金融的所谓的资产定价第一基本定理。这里的“折现价格”是指在市场中有一种作为价格基准的无风险证券，证券的折现价格就是证券的价格比上无风险证券的价格。尤其是无风险证券本身的折现价格在任何时候，任何状态下的价格都是1，这样就有一个基准来顾及其他证券的价格，所谓证券的折现价格的“鞅性质”意味着证券折现价格的水平始终不变。这一结果不仅使得1938年由Doob建立的鞅（martingale）数学在金融分析中占据了主导地位，也向无套利一般均衡迈出了重要一步，由此发展起来的一系列方法通常称为鞅方法，在资产定价定理的支撑下，通过强大的测度变换技术（Girsanov定理），我们可以使得所有金融资产价格运动具有鞅性特征，利用该方法，金融理论中的许多问题，如投资组合的优化选择，衍生资产的定价，都可以得到相对简洁明了的表示。在套利定价理论中，一个给定的欧式未定权益的公平价格可以表示成这个权益在等价鞅测度下的折现期望值，当基本的金融市场不完全时，由于等价鞅测度不唯一，一般来说一个给定的未定权益的无套利价格将构成一个区间(事实上这个区间的开闭与否是判定该未定权益是否可被复制的一个等价标准)。
         无套利均衡和风险中性分析是鞅定价理论的前身,虽然在完全市场的无套利均衡与唯一的鞅测度等价,但无套利均衡分析更具经济意义,是鞅定价的经济理论基础之一.
         根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构 决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P，为期权的风险中性定价服务。

等价鞅测度不能说明为什么BS中不含有预期收益和风险偏好的。如果市场是不完备的，期权定价公式很可能会出现预期收益和风险偏好。不出现预期收益和风险偏好的原因只能是完全动态复制。

等价鞅测度只是一个价格评价体系。可以这样理解：如果市场上所有资产都可以定价，等价鞅测度只是将这些在现有测度下按价格高低排排站好的资产进行一个平移，从而建立一个新的价格评价体系，在这个体系下，他们排排站的顺序不变。

平移的方法的方法各种各样，最重要的是我们要选取一个严格正的资产最为基准。如果你选择货币市场帐户，或者说是default-free bond作为基准，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。

其他的基准就不符合了。若选取某个股票作为基准，那么每种股票在以给定股票为基准建立的等价鞅测度下的预期收益率应该是该股票的预期收益率，而不是无风险资产的收益率
转自：
：http://www.pinggu.org/bbs/viewth ... amp;from^^uid=1306264

若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用P表示。

测度的定义
　　定义： 设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ → R∪{ +∽ } 是一集合函数，且P满足：
　　（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
　　（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；
　　（3）（完全可加性）对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
　　则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。
常见的测度
　　常见的测度有
　　（1）计数测度
　　（2）勒贝格测度
　　（3）哈尔测度
　　（4）所有的概率，都是概率测度

等价鞅测度只是一个数学工具，是一个人工创造出来数学对象。在一定得技术假设下，我们对期权的定价可以转化为求折现payoff在这个测度下的期望。不过我看不出来这个和风险有什么直接关系。
另外BS模型的一个推导就是用这个。
call 的 bs 公式可以分解成两个部分，就是那个 StN(d1)-Kexp(-r(T-t))N(d2), 其实就是 E[exp(-r(T-t))(ST-K)+|info at t]这个条件期望分解出来的。
而更加普适的BS 偏微分方程可以利用 期权价格的鞅性质和 Feyman-kac定理 推出。
详见 Martingale metods in financial modelling, page 83-114.
转自：
：http://www.pinggu.org/bbs/viewth ... amp;from^^uid=1306264

资产的未来收益是有风险的，风险的实际测度是P测度。在对资产定价的时候要进行折现，如果用P测度折现，折现利率就要用含风险的利率，通常高于r,因为假设人们是风险规避型的。但这个含风险的利率不好测量，可以用一个等价的测度——Q测度来代替。如果用Q测度，折现的利率就直接是r，很方便。B-S模型就是以这种等效鞅测度方法来定价的。
转自：
：http://www.pinggu.org/bbs/viewth ... amp;from^^uid=1306264

详见帖子：《关于等价鞅测度的问题》
：http://www.pinggu.org/bbs/viewth ... amp;from^^uid=1306264

鉴于上面已经将数学形式阐述的比较清楚，这里重点讲讲金融学直觉
1、请问怎样理解等价鞅测度以及P测度与Q测度？
P测度是股票价格变动的真实概率 可以想象一下如果股票价格有N个取值，那么对应N个概率,P1-PN 明显的是 P测度是未知的 并且不同的人对P测度有不同的看法 比如对每个值可能取的概率不同 Q测度是指这么一种概率测度，恰恰使股票未来价格的期望等于它今天价格的测度 （弱有效市场保证） Q测度一般与P测度是不同的，由于在这种测度下股票价格的随机过程满足鞅的定义 所以Q测度被称之为鞅测度。 等价鞅测度是指Q与P等价 P、Q两种测度对于同一种价格应该是同时大于0或者同时等于0 二者必居其一 市场完全性就是存在唯一的等价鞅测度
2、等价鞅测度与BS模型的关系？
BS模型在给出股票价格的几何布朗运动方程之后，运用伊藤引理得到衍生品的随机微分方程 通过无风险组合构造 得出B-S微分方程，再借助欧式未定权益的到期支付和解偏微分方程技术恰好得出欧式看涨无红利未定权益的显示解 上述即为欧式无红利未定权益的偏微分方程解法

偏微分方程法比较直观，但涉及解偏微分方程法，不利于实务界人士理解。但偏微分方程法可以得出期权价格不依赖于股票期望报酬率的结论，这种情况下，我们可以假定风险中性定价，即认为投资者是风险中性的，这样可以直接通过对欧式无红利看涨期权到期的pay off用无风险利率贴现并取期望即可 但是我们知道到期股票价格么？不知道，所以我们还是回归老路，假定股票价格服从几何布朗运动，根据伊藤引理逆推股票价格满足指数布朗，通过简单的数学代换可以求出到期股票价格满足的指数布朗，那么直接求个积分就完事了。以上用到鞅的概念没？没有 所以单就熟悉推导BS公式而言，鞅测度不是必要的。如果你承认股票价格服从几何布朗运动和伊藤引理的正确性，那么期权价格就是对到期支付的一个无风险利率贴现的期望

但是上述纯粹只是推导猜想，非常不严格，所以数学家发展了鞅的概念，严格的从概率空间入手，通过Girsanov定理制造鞅、Randyom导数进行测度变换、鞅表示定理构造自融资组合，然后得出同样的结论。鞅的金融学基础就是Fama的弱市场有效理论。在这么复杂的严格表述中，存在一个定理：任一欧式未定权益的价格等于其到期支付的贴现按照某个测度取期望，而这个测度使得标的资产股票的贴现随机过程是个鞅，那么这个测度被称为鞅测度。

等价鞅测度和偏微分方程法通过F-K方程统一。

3、等价鞅测度在现实生活中的应用？
如果满足BS公式的所有前提假定，那么市场的完全性保证等价鞅测度存在且唯一。我们就可以根据鞅定价的方法定未定权益的价格。等价鞅测度最多提供了我们一个分析问题的范式，现实的市场基本不满足BS公式的假定前提，至少存在利率随机扰动、波动率微笑、羊群效应等情况

看了大家的发言，也来讲一下自己的理解，我觉得首先有必要搞清楚两个概念；
1..什么是等价概率测度？
简单的来说假设P1和P2代表两个不同概率测度，A为任意一个随机事件，如果P1（A）=0是P2（A）=0的充分必要条件，则P1和P2为等价概率测度，也就是说等价概率测度对于概率为0和概率为1的事件看法是一致的。假设P1和P2为等价概率测度，则同一随机事件在P1和P2下的期望E1和E2，满足E1（A）=E2（A B），其中B为P1与P2的R-N导数。

2.什么是鞅？
正如一楼所说，鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于现在。但是由于概率期望是指一定的概率测度下的期望，因此鞅也是与概率测度相对应的，也就是说S（t）为概率测度P1下的鞅，并不能得出在概率测度P2下它也是鞅。

3.测度与资产定价？
假设S（t）表示资产在t时刻的价格，现在的时刻为0，要对该资产定价，也就是要求S（0）,设D（t）表示t时刻的贴现因子，也即表示t时刻的1块钱，在0时刻的价值是D（t），根据无风险资产的选取不同，D（t）就有所不同，例如可以选取货币市场帐户，或者说是default-free bond作为无风险资产，所谓的风险中性概率测度P1，就是指在测度P1下，随机过程D（t）S（t）为一个鞅，即E1(D(t)S(t))=D(0)S(0)=S(0)，这里需注意几点点：第一，如果无风险资产价格是随机的，那么D（t）本身就是随机变量，那么资产定价并不能简单理解为对未来价格求期望然后贴现。第二，根据选择的无风险资产选取的不同，对应的风险中性概率测度也不同。第三，之所以将P1称为风险中性概率测度是因为根据在P1下D(t)S(t)为鞅的性质可以倒推出S（t）在P1下的随机过程，该随机过程的漂移率为无风险利率R(t)，即投资者是风险中性的。第四，利用P1下D（t）S(t)为鞅，用随机微积分的方法推导D(t)S(t)满足的随机微分方程，并令漂移项为零，可以得到BS公式中同样的偏微分方程，只不过在BS公式中无风险利率R（t）为常数。可以看到利用这种方法，可以通过求D(t)S(t)的在P1下的期望求解，而不必去解微分方程。

4,风险中性概率测度与无套利以及市场动态完全的关系？
根据金融经济学第一基本定理，风险中性概率存在的充分必要条件是不存在无风险套利机会。要注意的是这里讲的无风险套利机会是指未来亏损概率为0,获利概率大于0的交易策略，概念上是大于我们通常理解的套利。
而根据金融经济学第二基本定理，风险中性概率唯一的充分必要条件是市场是动态完全的。关于这两个定理可以参考duffie的动态资产定价。

由于时间仓促，可能有的地方表达得不是很清楚，其实关于这一块，Shreve的金融随机微积分中介绍得十分清楚，大家可以翻看一下。

P和Q在数值上不一定统一，但是有两个极端情况，If P=1, then Q=1, vice-versa; If P=0, then Q=0, vice-versa.

一个简单的例子，unfair coin, head win 1, and tail lose 1. For physical probability, might be P(head)=0.4, P(tail)=0.6; However, for risk neutral probability, since expectation=0, P(head)=P(tail)=0.5.

对BS公式的推导，assume under physical probability , the mean of stock price move is "mu", use
Girsanov’s theorem, we can transfer mu to the risk free rate “r”, that is the stock price movement under risk-neutral measure.