要理解读懂爱因斯坦推导洛伦兹变换的方法和思想

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         要理解读懂爱因斯坦推导洛伦兹变换的方法和思想

                          于德浩

                        2021.2.25

我们现在的物理教科书在讲相对论的洛伦兹变换时，用了一种非常简洁的方法。因为，我们作为后来人，已经知道存在一种普适的一般的参照系变换叫洛伦兹变换，它可以包容以前的伽利略变换。于是，我们先根据第一个光速不变的假设，列出x=c*t及x’=c*t’这两个方程；然后假设一个更广泛的线性的伽利略变换形式，x’=gamma*(x-v*t);再根据第二个相对性假设，写出逆变换的对称形式，x=gamma*(x’+v*t’)。后面就是简单的解方程组的过程。这里有4个约束方程，把gamma,x’,t’这3个未知数用x,t这两个参数表示出来就行。

从物理思想来言，上面实际是根据一个特殊的光信号传播事件案例，去反推一般的普适的gamma参数，这个是可以的。但是，后面的“显然的线性变换”是不严谨的。为什么不是更复杂的形式？比如x’=gamma1*x^2+gamma2*v*t这个样子？ 我们现在可以勉强解释为，世界的本质是简单的，或者我们当然应该先试探猜想最简单的线性变换形式。

爱因斯坦本人在介绍相对论的书中，他推导洛伦兹变换的方法就是很严谨的。但是，他的方法更侧重物理思想，不好理解。你想想，在100年前的那么多学识渊博的物理学家都很难理解，更何况一个20岁刚接触大学物理的本科生呢？所以，现在的物理教科书用了一种，我们现代人更好理解的求解三元一次方程组的代数方法，这可以直接略过其中的物理思想讨论过程。但前提是，你得相信那几个假设都是合理的，不容置疑的才行。

我看了好几遍爱因斯坦的推导过程，基本理解了他的物理思路。

如果一束光沿着x轴正向传播，那么在实验室坐标系K中就有x=c*t；在运动参照系K’中就有x’=c*t’。不失一般性，他假设(x’-c*t’)=λ*(x-c*t)。在爱因斯坦的原文中，这个简单的正比例关系假设，没有做过多解释，他认为是显然的。

我来详细解释说明一下。这里x-c*t是描述的一个事件的关联性或因果律，如果认为两个参照系是“相对的”，平权的，那么这个数学表达形式应该是一样的。不可能出现，这个参照系里是函数一次方，那个参照系里是函数二次方。定量可以不同，但定性必须一致。打个比方，“两辆汽车擦肩而过”这个客观事件，在一个人眼里是，“太危险了，差点撞上”；在另外一个人眼里是，“技术高超，根本不会相撞”。描述可以很大不同，但不可能是在这个参照系，两车相撞；而在另一个参照系，两车没有相撞。

如果一束光沿着x轴负向传播，就有-x=c*t及-x’=c*t’。不失一般性，爱因斯坦假设为(x’+c*t’)=μ(x+c*t)。这里用了另外一个不一定相等的，无量纲的参数μ，这就更让人信服。

这样，把两个方程相加，就有x’=x*(λ+μ)/2-c*t*(λ-μ)/2。两个方程相减，就有c*t’=c*t*(λ+μ)/2-x*(λ-μ)/2。我们再令a=(λ+μ)/2，b=(λ-μ)/2，显然只要能求得两个参数a和b，就能得到坐标系变换方程x’=a*x-b*c*t。这就是线性变换形式的由来。而且，此时的a和b是两个不相干的参数。

下面要通过物理思想的讨论，去确定这两个参数。我们知道，在K’系，坐标原点总是静止的，x’=0。所以，0=a*x- b*c*t。这里就有，x=(b*c/a)*t。在我们熟知的K参照系，有x=v*t这个关系式。所以b*c/a=v，物理意义是两个坐标系的相对运动速度。这里就知道参数a和b是有关联的，b=a*（v/c）。

在K’系中有一根长度Δx’=1的静止杆子，我们在K系中怎么去观察测量呢？我们在t=0时，对杆子“拍照”，同时记录下两端的x坐标，然后相减就是了。这里，x’=a*x-b*c*0=a*x。所以，当Δx’=1时，Δx=1/a*Δx’=1/a。

我们再反过来看，如果在K系中有Δx=1的静止杆子，在K’系中看到什么情形呢？我们在t’=0时“拍照”。这里，c*0=a*c*t-b*x，我们求出t=b*x/(a*c)。从而，x’= a*x-b*c*t=a*x-b*c*(b*x/(a*c))=x*(a-b^2/a)。再把b=a*（v/c）代入，就有，x’=a*x*(1-v^2/c^2)。就是说，当Δx=1时，Δx’= a*(1-v^2/c^2)。

因为，都是客观长度为1的静止杆子，而两个参照系又是平权的，所以，两个“拍照”应该是相同的。从而，1/a= a*(1-v^2/c^2)。我们就得到了参数a=1/(1-v^2/c^2)^(1/2)，参数b=(v/c)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)。即洛伦兹变换，x’=(x-v*t)/(1-v^2/c^2)^(1/2)，与t’=(t-v*x/c^2)/(1-v^2/c^2)^(1/2)。

我再说明一下，“两个拍照相同”，爱因斯坦没有做更多的解释，好像也没法再做更好的解释。所以，在100年前，人们是很难想象的。明明都是静止长度相等的杆子，却出现，我说“我看到的杆子比你说的更短”；你说“对，我看到的杆子也比你所说的要短”。这有些反直觉，或者人们对“相对性”及平权的理解不够深。

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关键词：爱因斯坦 因斯坦 洛伦兹 gamma 线性变换