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雷达卡
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线性回归和机器学习 -- 经济和金融的应用 （1）
线性回归发展史
-- 1795年，Carl Friedrich Gauss将最小二乘(Ordinary Least Square)应用在测绘和天文学
-- 1886年，生物统计学家Francis Galton明确定义了回归(regression)
-- 1900年，生物统计学家Karl Pearson引入了线性相关，回归系数的概念，以及统计矩(moments)
-- 1920年，生物统计学家Ronald Fisher发展了最大似然估计(maximum likelihood estimation)，统计显著性(statistical significance)，并引入了p-value的概念。
从统计学的发展可以看出，统计学的发展促进了生物统计的应用，同时生物统计的应用推动了统计理论的发展。得益于统计在生物学的发展，1930年一群经济学家在Cleveland, Ohio成立了Econometric Society，即计量经济学会。统计方法于是被大量应用于经济，一直延续到当前的量化交易。
与统计在生物以及其他领域的应用相比较，比如化学，在计量经济领域一直缺乏沟通职业数学家，统计学家和实际经济问题的人才。其中一个重要原因是教育的匮乏。在生物统计和化学的入门教材中常常包含当代流行的话题诸如聚类，分类，图论，模式识别，数值计算等等。而在经济领域和金融领域，基于2018年的一项调查，13,772篇经济和统计相关的文章中，只有0.65%提到了分类，聚类，神经网络，机器学习等当代流行的话题。
这种现象导致的结果是统计概念在经济和金融中的误用，和流行工具的缺失。其中最明显的例子就是线性回归。金融数据往往体现复杂的非线性关系。除了数值类型，数据本身可能是非结构化的，比如文本，图形，语音记录，图像记录等。另外，金融数据往往是高维度的，包含了大量的变量。
线性回归模型的误用可以归结为几个误区。
数据源
大数据时代的数据具有以下几个显著特征，这些特性使得线性模型难以适用。
-- 线性回归模型处理的传统的结构化数据不适合机器学习模型使用，而80%以上的有价值的信息来源于非结构化数据
-- 变量的数量往往大于观测样本的数量，即数据是高维度的
-- 稀疏性，即含有大量的0，并且夹杂大量的噪音
-- 分层结构，或者网络型的结构，数据中存在聚类特征
线性相关性
线性相关性作为一个度量，其正确应用基于合理的假设，在实际使用中是具有缺陷的：
-- 经济和金融的数据之间的关系往往是非线性的
-- 线性相关对离群值是高度敏感的，而经济和金融数据常常包含离群值
-- 线性相关性的使用假设数据具有正态分布，除此之外线性相关性的使用受到限制
-- 当数据具有明显的状态区间(regimes)时，线性相关性的值有误导作用
p-value
p-value用于模型的检测和参数的检测，在流行的因子投资中，比如value, momentum, quality, size等因子的研究中，p-value有着广泛的应用。然而，在典型的金融应用中，比如交易策略的设计，我们知道成功研发可长期获利的交易策略的概率是很低的。在这种情况下，使用p-value对回测的各种交易策略进行筛选，其结果是最终选择的策略大概率是错误的。
导致p-value使用误区的主要原因是：
-- p-value的正确使用需要较强的假设条件：不相关的回归变量，残差符合正态分布等
-- p-value估算于零假设相关的概率，我我们真正关心的是和对立假设相关的概率
-- p-value的估算是针对样品中的 in-sample，而我们关心的是样本外 out-of-sample
错误使用p-value的现象很普遍，以至于2019年美国统计学会不鼓励使用p-value作为统计显著性的度量。
过度拟合
一个统计模型可能在两种情况下出现过度拟合：
-- 训练数据的过度拟合，模型专注于解释无关信息而并不是有用的信号
-- 测试数据的过度拟合，模型的选择基于在测试数据的性能
线性模型缺乏有效的方式避免过度拟合，而机器学习模型对于不同类型的过度拟合有多种解决方案。
-- 待续
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