VAR模型与VECM模型的相关疑问

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在论坛上看了一些太多的关于VAR，VECM，Grange因果检验与协整方面的帖子，故提出以下几个困惑，希望大家帮忙把这几个问题说清楚
1.昨天准备做一点实证，使用的两个序列都是单位根过程，并且具有协整关系，但是用VAR建模时，整个系统却是平稳的（没有大于1的特征根，有的时候对于两个序列都是平稳的，但是VAR系统却不是平稳的；当一个平稳，另一个不平稳时也可能出现VAR系统平稳的状况；当然我做实证的时候出现了两个数据不平稳，但是VAR系统平稳的状况），又因为两个单位根过程具有协整关系，那么就可以做VECM模型，但是做出来的VECM模型检验其稳定性时，却又发现模型出现了一个单位根，这就是说没有必要建立VECM模型，直接用VAR模型即可（与出现协整用VECM不用VAR的说法矛盾）。我想问一下，这是数据的问题，还是我做VECM模型时选择的数据形式与协整关系形式的问题？
2.VAR模型与Grange 因果检验之间有什么联系与区别？古扎拉蒂的书上说做grange 因果检验，数据必须是平稳的，但是对于VAR模型便没有说，是不是对于VAR建模只要整个系统是平稳的即可，没有对每个序列给出平稳性的限制？另外，现在很多的文章都喜欢用grange 因果检验，但是数据都是不平稳的，这与古扎拉蒂的说法是矛盾的啊。
3.在使用eviews6.0做JJ协整检验时，即使没有协整关系，软件仍然给出两组协整向量，并且通过“1 Cointegrating Equation(s):   Log likelihood”来选择一组向量进行标准化，请问最后结果应该怎么写？另外，就拿5组变量来说吧，有的时候理论上表明存在5个协整关系，但是实证检验的时候只有4组协整关系成立，但是软件依然会给出5组协整向量，请问最后写结果的时候是写4个协整向量还是写5个协整向量？

希望大家一起来把这几个问题弄清楚，在此先谢过！

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ECM怎么实现？

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一、从现有的国内教材看，普遍认为时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型，否则，只能建立VEC模型，但并没有有说服力的证明。因此，目前只能按教条行事。存在协整关系的时间序列变量应该可以建立VEC模型。若建立的VEC模型的AR Roots检验有大于1的单位根（即模型不平稳），则很可能是协整关系不存在（检验协整方程残差的平稳性）。
二、grange 因果检验，数据必须是平稳的，也是基于时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型的前提。而非平稳时间序列变量只能在VEC框架下作grange 因果检验，而不能在group下作grange 因果检验。
三、软件列出的协整方程，并不一定都是协整的，还必须检验协整方程残差的平稳性。

4# shando
感谢你的经典回答~

klsdyn 发表于 2011-4-8 12:45
在论坛上看了一些太多的关于VAR，VECM，Grange因果检验与协整方面的帖子，故提出以下几个困惑，希望大家帮忙把这几个问题说清楚
1.昨天准备做一点实证，使用的两个序列都是单位根过程，并且具有协整关系，但是用VAR建模时，整个系统却是平稳的（没有大于1的特征根，有的时候对于两个序列都是平稳的，但是VAR系统却不是平稳的；当一个平稳，另一个不平稳时也可能出现VAR系统平稳的状况；当然我做实证的时候出现了两个数据不平稳，但是VAR系统平稳的状况），又因为两个单位根过程具有协整关系，那么就可以做VECM模型，但是做出来的VECM模型检验其稳定性时，却又发现模型出现了一个单位根，这就是说没有必要建立VECM模型，直接用VAR模型即可（与出现协整用VECM不用VAR的说法矛盾）。我想问一下，这是数据的问题，还是我做VECM模型时选择的数据形式与协整关系形式的问题？
2.VAR模型与Grange 因果检验之间有什么联系与区别？古扎拉蒂的书上说做grange 因果检验，数据必须是平稳的，但是对于VAR模型便没有说，是不是对于VAR建模只要整个系统是平稳的即可，没有对每个序列给出平稳性的限制？另外，现在很多的文章都喜欢用grange 因果检验，但是数据都是不平稳的，这与古扎拉蒂的说法是矛盾的啊。
3.在使用eviews6.0做JJ协整检验时，即使没有协整关系，软件仍然给出两组协整向量，并且通过“1 Cointegrating Equation(s):   Log likelihood”来选择一组向量进行标准化，请问最后结果应该怎么写？另外，就拿5组变量来说吧，有的时候理论上表明存在5个协整关系，但是实证检验的时候只有4组协整关系成立，但是软件依然会给出5组协整向量，请问最后写结果的时候是写4个协整向量还是写5个协整向量？

希望大家一起来把这几个问题弄清楚，在此先谢过！

第一、依照您问题一的描述，按协整理论言：若协整成立，2个单根变量构成的VECM(p-1)，当检查其AR特性方程式共2p个特性根，一定会有单根存在。

第二、Granger causality test，是基於所有纳入VAR(p)变量的t期(含t期)以前讯息，对於预测VAR内某变量第t+1期有帮助(根据MSE)，则称其馀变量 Granger cause 那个某变量，这个统计检定量使用的是F分配，所以，基本上变量要平稳，在VECM架构下，必须分两部分行统计检定；或可依照渐进性质，以VAR(p+1)来进行检定 (参考)。

另外要特别说明的是，没有所谓长短期Granger causality，但有所谓 第t+n期 的 Granger causality，这或可谓「长期」Granger causality，但绝不是当调整系数不为0时。

第三、您这个问题基本上根本不可能发生，按理论，n变量的VECM，至多仅有(n-1)条协整关系；而Johansen Methodology於EViews中，检定与估计是分开的，意谓检定时，显示所有特性根与特性向量，估计时，只有呈现那些通过检定成立所对应的特性跟与特性向量；

值得一提的是，这里的特性根与特性向量，与canonical correlation有关，也与还原成VAR模式，那些AR terms构成的 n by n matrix，它的rank有关。

应该换本教科书，您说是吧！

shando 发表于 2011-4-11 22:06
一、从现有的国内教材看，普遍认为时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型，否则，只能建立VEC模型，但并没有有说服力的证明。因此，目前只能按教条行事。存在协整关系的时间序列变量应该可以建立VEC模型。若建立的VEC模型的AR Roots检验有大于1的单位根（即模型不平稳），则很可能是协整关系不存在（检验协整方程残差的平稳性）。
二、grange 因果检验，数据必须是平稳的，也是基于时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型的前提。而非平稳时间序列变量只能在VEC框架下作grange 因果检验，而不能在group下作grange 因果检验。
三、软件列出的协整方程，并不一定都是协整的，还必须检验协整方程残差的平稳性。

第一、不对！

第二、不太通！

第三、不对！

7# gemini69 非常感谢前辈的指点。从中学习了不少有价值的东西，但也存在一些困惑，想请教前辈释疑。
一、“若建立的VEC模型的AR Roots检验有大于1的单位根（即模型不平稳），则很可能是协整关系不存在（检验协整方程残差的平稳性）。”的表述确实不准确。前提应该是在确定的时滞条件下。
二、“grange 因果检验，数据必须是平稳的，也是基于时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型的前提。”的表述也确实不准确。应该是“在group下grange 因果检验，数据必须是平稳的”。
以上表述对吗？除此之外，其他为什么不对？

shando 发表于 2011-4-22 04:53
7# gemini69 非常感谢前辈的指点。从中学习了不少有价值的东西，但也存在一些困惑，想请教前辈释疑。
一、“若建立的VEC模型的AR Roots检验有大于1的单位根（即模型不平稳），则很可能是协整关系不存在（检验协整方程残差的平稳性）。”的表述确实不准确。前提应该是在确定的时滞条件下。
二、“grange 因果检验，数据必须是平稳的，也是基于时间序列变量必须都是平稳时才能建立VAR模型的前提。”的表述也确实不准确。应该是“在group下grange 因果检验，数据必须是平稳的”。
以上表述对吗？除此之外，其他为什么不对？

大致简单地说，基本上，n个变量下，VECM(p-1)与VAR(p)，两者的表述是可以相通，透过简单的reparameterization，VECM与VAR彼此参数间存在互换关系；若协整，在VECM架构下，必须平稳，因为变量间有共同的随机趋势 (common stochastic trends)，根据既有协整理论，n个变量，存在 h 条协整向量，1<=h<=(n-1)，那么会有 n-h条 共同随机趋势；而若还原成VAR，会有 (n-h)个单根存在，这亦表示VAR呈现的是不平稳状态，进一步，若不分离 transitory and permanent 直接透过还原的VAR转成的VMA进行 impulse response，变量会呈现受到冲击 (shocks) 後，不会回复。

所以，
第一、在Johansen Methodology架构下，特性根的统计检定，概略说就已经是多变量单根检定，当由统计检定确认有h条协整关系存在，也同时确认还有(n-h)个单根存在，那 h 条协整关系，也就意谓着组成的变量是平稳的。也就是文献上，称那个coefficient matrix of VAR evaluated at L=1，为 reduced rank。换句话说，VECM还原成的VAR，np个特性根中，一定会有(n-h)个单根存在，
这让VAR是不平稳的，但在VECM下却是平稳的。EViews在VECM下所列出AR roots (特性根)，指的即是还原後VAR (level variables) 的特性根 。就我对您表述的认知，这似乎与您提的好像没什么关系，当然我的认知可能有误。

第二、Granger causality test，这个统计检定量参考的是F分配(当然可以依据Wald critera，也是 Chi square分配，以下同。)，所以当变量平稳时，直接参考F分配，但当变量不平稳时，因为涉及Brownian motion (还有 nuisance parameters)，使得传统概率分配不再适用於这个检定统计量。不平稳变量也不是一定不能透过VAR来进行Granger causality test，文献上 (Lutkepohl et al, 1992) 建议透过 VECM(p-1)还原成VAR(p)，以此VAR而为VAR(p+1)即可直接进行统计检定。

至於EViews相关功能，在group下那指的是平稳变量，在VECM下，基本上不是Granger causality test，这里简略说，先要单独检定调整系数，若为零，则相应变量为外生变量，VAR里其馀变量就不会 Granger-cause 这相应变量，也不需要再去看那些对应方程里的那些滞後差分项，更深一层，从那个reduced rank matrix 来看，相应的变量 (level)，coefficients of AR terms=0；而另一分面，若调整系数检定不为零，那么再去检定那些滞後差分项。

特别值的再提的是，没有所谓分别依据调整系数与滞後差分项，所衍生出的长短期Granger causality。

希望能对您的学习有某种程度的帮助，另外，称呼前辈，这太、很、极、非常沈重，万万承受不了。感谢！

9# gemini69
那么请问如果两个变量都是一阶单整，怎么做因果检验？难道是差分后做？