映射连续性对于定义域的要求

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        映射连续性对于定义域的要求

                                                                                                                                                                                                              　文/更远大侠
　我们知道，数学分析必须至少建立在实数集上而不能建立在有理数集上，原因在于有理数不具有完备性，即一个有理数集中的柯西列并不一定在有理数集中收敛，那么这时有理数集上的函数，就很难定义连续性。连续性意味着自变量点列趋于一个极限点时，函数值也趋于一个极限点，而且函数值的极限刚好等于在自变量极限点上的函数值。这样做至少得有一个前提，那就是自变量与因变量的柯西序列的极限至少在定义域与靶集中存在，而这正需要定义域与靶集的完备性。这里的极限运算完备性是指一个集合对于极限运算是封闭的。在数学上存在很多这样的运算封闭性，无论什么运算封闭性，其基本动机都与实数完备性是数学分析的基础完全一样。
　　测度是一种集函数，即自变量一集合，因变量是实数。测度要具有连续性，就是一列自变量集列存在极限时，这个极限集的测度刚好等于集列的测度的极限。这种连续性需要一个前提，那就是定义域中的集列的极限仍然位于定义域之中，或者说要求定义域具有集列极限运算的完备性。这正是定义域必须是单调类的概念。而为了测度的可数可加性，还需要定义域中的集列具有可数并的封闭性，这正是把测度的定义域设成一个西格马代数的动机。一个西格马代数就称为可测空间，可测空间，实际上是对于单调集列极限运算封闭性与集合可数并封闭性的要求。在数学分析中，对于定义域完备性的讨论，实际上正是实数理论，是从有理数出发定义与构建实数的理论。而在测度研究中，对于定义域完备性的讨论，则是要求定义域必须是西格马代数。
　　在泛函分析中，为了讨论泛函的极限，需要对作为定义域的函数空间的极限进行讨论。同样道理，对于定义域的完备性，正是对泛函定义域的函数空间的完备性的要求。而函数空间的完备性，是指函数列的收敛性，是函数柯西列的极限应该位于定义域之中，这正是通常把泛函定义在完备线性度量空间上的原因。而函数列按照度量或距离收敛，在数学分析中则是函数列的一致收敛，这是一种整体收敛性，不同于函数列点式收敛。函数本质上是一个向量，一个实数上的函数，实际上是一个阿列夫1维的向量，因此函数之间的距离，其实就是向量之间的距离。通常的欧氏距离，在函数向量空间中则表现为函数的平方的定积分。
　　集函数与泛函的靶集都是实数，而实数自然是完备线性度量空间，因此在测度与泛函的研究中，就很少讨论靶集的完备性了。
　　但对于一般的算子，即从线性空间到线性空间的映射，则不仅要讨论定义域的完备性，而且还要讨论靶集的完备性。这就是为什么算子理论通常主要研究在完备度量线性空间之间的算子，因为只有完备度量线性空间之间的算子，才能定义连续性。连续算子毕竟是比非连续算子更好的东西，就好像连续函数是比非连续函数更好的东西一样。

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关键词：定义域 连续性 数学分析 泛函分析 一致收敛

witswang 发表于 2022-4-15 09:15
映射连续性对于定义域的要求                                                                          ...

定义域的极限运算完备性是函数极限的基础