动态因子、杠杆作用与多元协方差 随机波动

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
在多变量股票日收益率的随机波动模型中，随着收益率维数的增加，参数估计变得不稳定。为了解决这一问题，我们将重点放在多重收益的因子结构上，并考虑了两个额外的信息来源：一是与市场因子相关联的已实现股票指数，二是由高频数据计算的已实现协方差矩阵。将所提出的考虑杠杆效应和实现措施的动态因子模型应用于与SP500指数投资收益挂钩的交易所交易基金中的10只股票，结果表明该模型在投资组合绩效方面具有稳定的优势。
---
英文标题：
《Dynamic factor, leverage and realized covariances in multivariate
  stochastic volatility》
---
作者：
Yuta Yamauchi and Yasuhiro Omori
---
最新提交年份：
2021
---
分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

---
英文摘要：
  In the stochastic volatility models for multivariate daily stock returns, it has been found that the estimates of parameters become unstable as the dimension of returns increases. To solve this problem, we focus on the factor structure of multiple returns and consider two additional sources of information: first, the realized stock index associated with the market factor, and second, the realized covariance matrix calculated from high frequency data. The proposed dynamic factor model with the leverage effect and realized measures is applied to ten of the top stocks composing the exchange traded fund linked with the investment return of the SP500 index and the model is shown to have a stable advantage in portfolio performance.
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (2.41 MB)

2022-4-20 21:59:30 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏1 回帖

关键词：动态因子 协方差 econometrics Multivariate epidemiology

动态因子、杠杆作用和已实现协变在多元随机波动中Yuta Yamauchi和Yasuhiro Omori对多元股票日收益率的随机波动模型进行抽象，发现随着收益率维数的增加，参数估计变得不稳定。为了解决这一问题，我们重点研究了多重收益的因子结构，并考虑了两个额外的信息来源：一是与市场因子相关联的已实现的股票指数，二是由高频数据计算的已实现的协方差矩阵。本文将所提出的具有杠杆率和可实现性的动态因子模型应用于与标准普尔500指数投资回报相关的交易所交易基金的10只股票，结果表明该模型在投资组合表现上具有稳定的优势。Jel分类:C15，C32，C38，C58，G11关键词：动态因子，杠杆率，马尔可夫链蒙特卡罗，投资组合表现，已实现协方差矩阵，随机波动率，股票收益*东京大学经济学研究生院，日本东京。电子邮件:mchyuta@gmail.com.|日本东京东京大学经济学院。电子邮件:omori@e.u-tokyo.ac.jp。电话:+81-3-5841-5516。传真:+81-3-5841-5521.1简介投资组合管理是构造统计模型的主要目的之一，该模型用于估计和预测金融计量学中资产收益的时变方差和协方差。在估计模型的基础上，选择资产的权重来优化投资组合的目标函数。单变量随机波动率(SV)模型是一种流行的统计模型，能够很好地描述资产收益的时变波动率的动态随机过程，对多元SV模型有多种扩展。随着资产数量的增加，模型参数和动态潜变量的数目也随之增加，导致估计结果的不稳定和不可靠。由于在实证研究中往往会发现少数市场因素的存在，为了克服这一问题，本文将杠杆E-ect模型应用于多因素随机波动的研究。FMSV模型描述了资产收益之间动态协方差的因子结构，并在过去的文献（如Pitt and Shephard(1999)、Aguilar and West(2000)、Chib et al.(2006)、Lopes and Carvalho(2007))中得到了研究，并将其扩展到杠杆E ect（Ishihara and Omori(2017))，该模型意味着股票收益中的波动性随之增加（见Yu(2005))，即使在这样一个简洁的模型中，也经常使用日收益信息来获得参数和动态潜在变量的精确稳定估计。将资产收益的波动性和共波动性的额外信息纳入的一种常见方法是使用高频数据，其中包括日内资产交易的信息。例如，已实现的随机波动率(RSV)模型就是这种类型的扩展，已知在没有实现的措施估计模型参数、预测挥发和投资组合绩效的情况下，其性能优于模型（Takahashiet al.(2009)、Hansen et al.(2012)、Koopman and Scharth(2013)、Takahashi et al.(2016)、Shirota et al.(2017)、Kurose and Omori(2019)、Yamauchi and Omori(2019))。

然而，使用已实现的协方差矩阵扩展FMSV模型并不简单，由于已实现的协方差矩阵并不直接对应于因子加载矩阵和因子不能解释的特殊波动率，本文在FMSV模型中建立了已实现的协方差矩阵与真协方差矩阵之间的适当关系，并将杠杆E-ect(FMRSV)模型作为FMSV和RSV模型的扩展，提出了动态因子多元已实现的随机波动率模型。需要指出的是，由于市场微观结构、非交易时间、非同步交易等因素，利用已实现的协方差矩阵和已实现的协方差矩阵估计真协方差矩阵存在偏差。虽然在一些RSV模型中引入相应的平差项可以消除偏差，但由于其因子结构的原因，在多元SV模型中，这种偏差是不受欢迎的。在预处理过程中，我们利用日收益信息来调整偏差，从而扩展了Hansen和Lunde(2005)的单变量SV模型的方法，并提出了一种新的方法，通过精度参数从已实现的度量中估计附加信息的相对权重。正如我们在实证研究中所看到的，已实现测度方程的权重较大，因此，FMRSV模型估计了潜在因素的杠杆率和资产之间的关系，绝对值小于FMSV模型。换句话说，如果没有来自已实现协方差的额外信息，我们往往会高估杠杆率和资产收益之间的线性关系强度。第二节介绍了具有日收益率、已实现因子和已实现协方差矩阵的因子多变量ESV模型。第3节介绍了利用马尔可夫链蒙特卡罗模拟的估计方法。第4节，我们将所提出的模型应用于10个美国股票收益率数据。2因子多元随机波动率与已实现度量2.1动态因子与随机波动率首先，我们描述了因子多元随机波动率(SV)模型。设yt=(y1t,...,ypt）和ft=(f1t,...,fqt)表示一个p×1的股票收益向量和一个q×1的潜在因子向量。正如我们将在实证研究中看到的那样，股票收益之间经常存在协同运动（见图1）。为了模拟协同运动，我们假设收益是因子和特质成分的总和，正如Chib等人所说的那样。(2002)who在不考虑杠杆作用的情况下考虑静态因素:yt=bft+v1/21t1t，t=1。..,T,(1)1TéN(0,Ip）,(2)v1t=diag(exp(h1t),...,exp(hpt)),（3）其中B是因子的p×q coe_cient矩阵，并表示p×p恒等式矩阵。设B=β...βp,βvec(B)=β...βp。进一步，我们考虑了潜在因子ft的一个动态过程（如Han(2006))。确定其遵循一定的阶平稳自回归过程:ft=γ+ψ(ft-1-γ)+v1/22t2t,t=1,。.，T，(4)2TéN(0,Iq),fγ,(5)v2t=diag(exp(hp+1,T）,...,exp(hp+q,T))，(6)其中表示Hadamard积，γ=(γ,...,γq)是ft的均值向量，而φ=(ψ,..,，θq)(θi<1,i=1,...,q）是自回归的Coe cient向量。对于初始因子f，为了简单起见，我们在方程（4）中假定fγ。假定对数挥发度Ht=(h1t,...,HP+Q,t）遵循一定阶平稳自回归过程SHT+1=μ+φ(HT-μ)+ηt,ηtηN(0,∑ηη),t=1,。.，t-1，(7)∑ηη=diag(ση)，ση=(ση,1,...,ση，p+q),(8)H=μ+η，ηηN(0,∑H,0)，∑H,0=diagση，11-φ，..，ση，p+q1-φp+q！，(9)其中μ=(μ，..，μp+q)是htandφ=(φ，..，φp+q)(φi<1,i=1,..）的平均向量。

p+q)是一个自回归向量，为了结合杠杆效应，我们给出了误差项的联合分布:1t2tηtηn0,iP+q∑η∑ηηη，∑η=diag(ρση，1，)。.，ρp+qση，p+q)，(10)其中ρi<0意味着它与hi，t+1之间存在一个杠杆e-ect。在经验研究中，杠杆e-ect通常只存在于要素过程中，尤其是代表市场要素（如。Ishihara and Omori(2017)，Yamauchiand Omori(2019))，因此，我们假设对于那些特殊成分，即ρ=..=ρp=0,∑η=diag(0,。.0,ρp+1ση,p+1,。.，ρp+qση,p+q)，(11)并表示ρ(ρp+1,。..,ρp+q)。2.2实现因子和实现协方差矩阵当多元SV模型中存在许多参数和潜在变量时，所需参数估计往往不稳定和不准确。通过在已实现测量的基础上引入额外的测量方程，克服了这些缺陷。首先介绍了因子FT的实现方法。在股票市场中，通常有一些主要指数代表市场因素的动态，如标准普尔500指数和行业指数的收益率。本文称它们为实现因子级数，并用一个q×1的观测实现因子向量xt来表示。在实践中，q被期望是besmall。由于已实现的因素被认为是相关的，我们假定=aft+ttN(0,∑),(12)∑=Diagσ),σ=(σ1,）。.，σvq，t=1，...,T，(13)其中加载矩阵a是一个q×q的下三角矩阵，如:1···0a.......................................................................................................................................................................被选择来代表市场整体动态的已实现因子的元素，如S&P500。已实现协方差矩阵。接下来，我们考虑了HT的实现措施。利用高频数据计算实现的协方差矩阵WT，该矩阵假定为:wtíIW(s,{kCov(ytht,θ)}-1)，Cov(ytht,θ)=bv2tb+V1t，(15),其中sand是常数超参数，wt的概率密度函数是给定参数和潜在变量isf(wt·)∞bv2tb+v1ts×wt-s+p+1×exp-tr k(bv2tb+V1t}w-1 t）的。（16）如何设置超参数取决于实现的协方差矩阵的信息在多大程度上被纳入。因此，我们引入了一个新的模型参数δ，其中S=δ+p+3和K=δ+2。Wtare givenbyE(Wt)=kcov(ythtθ)s-(p+1)=Cov(ytht，θ),(17)Var(wii,t)=δσii,t,Cov(wij,t,wkl,t)=2σij,tσkl,t+(δ+2)(σik,tσjl,t+σil,tσjk,t)δ(δ+3),其中wij,tandσij,t分别表示Wtand Cov(ythtθ)的第（i,j）个元素。在保持真协方差矩阵Cov(ythtθ)无偏估计的同时，利用精度参数δ控制其方差。较大的δ意味着实现的协方差矩阵的方差较小，因此我们对实现的协方差矩阵的信息赋予了更多的权重。2.3利用日收益率对已实现的挥发和相关性的偏差校正由于市场微观结构噪声、非交易时间、非同步交易等因素，已知已实现的协方差矩阵存在估计偏差。在预处理步骤中，我们利用日收益率信息对挥发物和相关矩阵进行偏差校正，分别对已实现挥发物进行偏差校正。我们修正了跟随Ghansen和Lunde(2005)的方差偏差。设siand～Wii，t，分别表示第i个股票回报的日回报的样本方差和时间t的已实现波动率。计算一个常数CI=SITPTT=1～Wii，t，i=1，....

,p,t=1,。..................................................，p，t=1，...,T,使得偏差校正后的已实现挥发的平均值等于日收益的样本方差。例如，如果我们忽略隔夜收益而计算开放到封闭的挥发物，我们往往会低估真实的挥发物。通过使用接近每日的回报，我们可以纠正上述偏差。在第4节中，我们举例说明了我们发现CI的大多数值大于1的例子。已实现相关矩阵的偏差校正。设R和～rt分别表示使用每日回报的样本相关矩阵和使用时间t的intradayreturns的样本相关矩阵。我们计算了经偏置校正的实现相关矩阵RT，其中保证其为正解：1。计算R和~rtasr=PλP，~rt=Ptλtpt的谱分解，其中P(Pt)的第i列是R(~rt)的本征向量，λ(λt)是对角矩阵，其第i对角元素是P(Pt)的第i列对应的本征值。我们定义了R和~rtaslr=P(logλ)P,~lrt=Pt(logλt)Pt的对数，其中logλ(logλt)表示一个对角矩阵，它的第i个对角元素是λ(λt)的第i个对角元素的对数。计算一个常数矩阵C，如atc=lr-ttxt=1～lrt，并计算经偏置校正的对数相关矩阵lrtaslrt=～lrt+C.3。从LRTA计算偏置校正相关矩阵RT，如下所示。如Archakov和Hansen(2018)所讨论的，算法的收敛速度通常很快：(a)集合k=0。(b)设xk表示第i个元素是LRt第i个对角元素的向量。(c)计算LRt=QtDtQt的谱分解，其中Qtis的第i列是LRt的特征向量，Dtis的第i个对角元素是QT的第i列对应的特征值的对角矩阵。则exp(LRt)为exp(LRt)=Qtexp(Dt)Qt，设i-f表示第i个元素是exp(LRt)第i个对角元素的对数的向量。(d)更新xk+1=xk-.用xk+1替换LRT(xk)的对角线元素。(e)设置kèk+1并返回(b)。重复直到收敛。(f)用exp(LRt)的非对角线元素替换单位矩阵的非对角线元素，并将所得矩阵保存为rt.4。利用偏差校正的实现挥发量(wii，T\'s)和偏差校正的相关矩阵(RT\'s)计算WT，在实证研究中，经常指出实现的相关依赖于数据采样频率。也就是说，由于市场微观结构噪声的影响，高频数据的相关性比日收益率的相关性要小。众所周知，这存在于股票市场，被称为Epps e ect(Epps(1979)，Yamauchiand Omori(2019))。3 Markov链Monte Carlo估计3.1参数的先验分布由于我们的FMRSV模型中有许多参数和潜在变量，因此需要对其进行似然估计和最大似然估计。因此，我们采用贝叶斯方法，利用aMarkov链蒙特卡罗模拟进行参数估计和统计推断。首先，我们设置参数θ(α，β，μ，γ，φ，φ，ρ，ση，σρ，δ)的先验分布。假定αj，βi，μ，γ的先验分布服从多元正态分布，φ，ρ，φ的先验分布服从β分布。我们确定ση和σ服从独立的反伽马分布。我们假设δ服从非信息性的不适当先验分布。概括地说，假定以下先验分布:μéN(Mμ，Sμ)，γéN(Mγ，Sγ)，βiéN(Mβi,Sβi)，i=1，..,p,αjéN(mαj,sαj),j=2,。.，q，1+φiéBeta(aφ，bφ),ση，iéig nη，dη，i=1，....

,p+q,1+ρjéBeta(Aψ,Bψ）,1+ρp+jéBeta(Aρ,Bρ),σv,jéig n,d,j=1,.3.2马尔可夫链蒙特卡罗算法f=(f,...,fT）,h=(h,...,hT）,x=(x,..,xT）,y=(y,..,yT）,W={Wt}tt=1。此外，设θ\\α表示不包括α的θ。我们实现了Markov chainMonte Carlo仿真，具体如下：1。初始化h，f和θ.2。生成hθ，f，x，y，w3。生成fθ，h，x，y，w4。生成αθ\\α,h,f,x,y,w5。生成βθ\\β，h，f，x，y，w6。生成μθ\\μ、h、f、x、y、W.7。生成γθ\\γ,h,f,x,y,w.8。生成φθ\\φ，h，f，x，y，w.9。生成φθ\\φ,h,f,x,y,w.10。生成ρθ\\ρ，h，f，x，y，w.11。产生σηθ\\ση，h，f，x，y，w.12。生成σvθ\\σv，h，f，x，y，w.13。生成δθ\\δ，h，f，x，y，w.14。返回步骤2。设h(1)t=(h1t,...,hpt)和h(2)t=(Hp+1,t,...,Hp+q,t）,并设h(1)={h(1)t}tt=1和h(2)={h(2)t}tt=1。我们在下面描述β和h(1)的世代。3.2.1β的生成已知其他参数和潜在变量的条件后验密度的对数为logπ(β·)=const+stxt=1gt(βi)-ktrtxt=1bv2tbw-1t！-txt=1(yt-bft)v-11t(yt-bft)。（19）式中gt(βi)logbv2tb+v1t。由于行列式分量gt(βi)的对数不能转化为某种已知的密度形式，我们可以构造Metropolity-Hastings(MH)算法的命题分布，而不需要这个项，并通过MH算法中的接受概率来调整它。然而，这会导致采样，我们需要用一些已知的密度来近似gt(βI)，以提高采样率。为了用法向密度来近似它，我们考虑了条件后验密度模式βi周围的泰勒展开，gt(βi)≈gt(βi)+gt(βi-βi)-(βi-βi)-(βi-βi)G-1T(βi-βi)=βi,G-1T=-gt(βi)βi=βi,gt(βi)βi=2V2tB(Bv2Tb+V1t)-1Ei,gt(βi)βiβi=2DiiV2T-V2Tb+V1t)-1Tb,gt(βi)βiβi=2Tb(Bv2Tb+V1t)-1Tb t)-1 B v2t-gt(βi)βi gt(βi)βi。其中eidene是p×1向量，第i个元素等于1，否则等于零，而diii是(bv2tb+V1t)-1的第（i,i）个元素（附录B.1的命题1给出了证明）。此外，设Wijt表示w-1 t的第（i,j）个元素。注意到ATTR(Bv2TBW-1T)=vec(B)(W-1T V2T)vec(B),=const+βi(wiitV2t)βi+2βi(V2TXI6=JWIJTβJ),(20)tr(FTBV-11TB ft)=tr(B FTFTBV-11T)=const+βi{exp(-hit)ftft}βi,（21）tr{ytv-11 tb ft}=tr{ftytv-11 tb}=vec(B)vec{ftytv-11 t}，=const+βi{yitexp（-hit）ft}，（22）我们得到了条件后验密度logπ(β·)≈const-(β-mβi)∑βi(β-mβi)+r(βi)的正规近似，（23）其中Mβi=∑βi Txt=1 SG-1 Tβi+GTGT-KTxt=1 V2T Xi6=JWijtβj+Txt=1Yitexp(-Hit)ft+S-1βimβi∑βi=“Stxt=1 G-1T+Ktxt=1Wiitv2T+Txt=1Exp(-Hit)FTFT+S-1βi#-1，r(βi)=Stxt=1 gt(βi)-gt(βi-βi)+(βi-βi)G-1T(βi-βi)+(βi-βi)G-1T(βi-βi).是βOI，我们从N(Mβi,∑βi)中生成βni，并以概率min{1接受βni，exp(r(βNi)-r(βOI))}.3.2.2 h(1)h(1)的对数条件后验密度给定其他潜在变量和参数为logπ(h(1)·)=const+stxt=1logb v2tb+v1t-ktxt=1tr(V1tw-1t)-txt=1logv1t+(yt-bft)v-11t(yt-bft)-{h-Ω)∑-1h,0(H-Ω)-t-1xt=1{ht+1-(I-Φ)Ω-Φht}∑-1ηηηht+1-(I-Φ)Ω-Φht}=const-P1 XI=1(1-φI)(HI1-ΩI)2ση，I-t-1xt=1pxi=1{hi,t+1-hit-(1-φI)μI}2ση，I+txt=1lt，(24)其中t=slogb v2tb+v1t-kwiitexp(hit)-pxi=1hit+(yit-βift)exp(-hit)，wiit表示w-1t的第（I,I）个元素。尽管实现一次生成单个状态变量hit（i=1,...,p,t=1,...,t）的单个移动采样器非常简单容易，但它将导致ine-cient采样。也就是说，在随机波动性模型中，当状态变量高度相关时，会产生高度自相关的样本。

多动采样器（Shephard and Pitt(1997)、Watanabe and Omori(2004))是产生具有高度自相关性的潜在状态变量的最有效的方法之一，它利用随机节点生成一个状态变量块（如Shephard and Pitt(1997)、Watanabe and Omori(2004))。在多动采样器中，我们将（hi,1,...,hi,T）分成K个块（hi,sk,...,hi,sk+1-1）,其中K=1,...,K与1=S<S<。.<sk+1=T+1。然后，利用线性高斯状态空间模型对非线性高斯状态空间模型进行近似，从每个块的状态变量的条件后验分布进行采样。为了从它们的条件后验分布E中对状态变量（hi,s,...,hi,s+m)进行采样，我们先对相应的扰动(ηi,S-1,...,ηi,s+m-1)进行采样。(ηi,s-1,..,ηi,s+m-1)，(i=1,..,p）的对数后向密度为log f(ηi,s-1,..,ηi,s+m-1·)=const-t=s+m-1xt=s-1ηit+s+mxt=slit-{hi,s+m+1-φihi,s+m-(1-φi)μi}2ση，iI(s+m<T)，(25)，其中=slogb v2tb+v1t-kwiitexp(hit)-hit+(yit-βift)exp(-hit)，并且i(A)是一个指示函数，使得i(A)=1，如果A为真，否则为0。通过对条件模式的Taylorexpansion,HIT,块的近似条件后向密度f*(ηi,s-1,...,ηi,s+m-1)由log f*(ηi,s-1,...,ηi,s+m-1)=const-t=s+m-1xt=s-1ηit+T=s+mxt=s lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hit)lit+(hit-hihi,（26）其中Litand LitareLit=sdiiexp(hit)-kwiitexp(hit)+-1+(yit-βift)exp(-hit)，lit=sdiiexp(hit)-sdiiexp(2hit)-kwiitexp(hit)-(yit-βift)exp(-hit)，分别在hit=hit，使用logB v2tb+v1 t hit=diiexp(hit)=diiexp(hit)=diiexp(hit)=v1 t hit=diiexp(hit)=diiexp(hit)=v1 t.，p和t=1，..T（附录B.2的命题2给出了证明）。为了构造近似的线性高斯状态空间模型，我们从该模型中取样(ηi,s-1,...,ηi,s+m-1)的建议，我们在下面定义了辅助变量Yitand vitas。s堡。.，s+m-1或t=s+m=t，yit=hit+vit lit，vit=-l00-1it，(27)并且对于t=s+m<t，yit=vithn lit-lit hito+φiσ-2η，i{ht+1,i-(1-φi)μi}i,vit=φiσ-2η，i-lit-1。（28）然后，考虑下面的线性高斯状态空间模型，yit=hit+t,téN(0,vit),(29)hi,t+1=(1-φi)μi+φihit+ηit,ηitéN(0,ση,i）。（30）给定hi，s-1,(yis，..，yi,s+m)等参数，我们可以生成(ηi,s-1,）的候选值。..,ηi,s+m-1)从近似密度f*使用模拟平滑器（如De Jong和Shephard(1995)、Durbin和Koopman(2002))，并进行MH算法，即当我们有当前样本(ηoi,s-1,）时。.,ηoi,S+M-1),我们接受新的样品(ηni,S-1,。.,ηNi,S+M-1)从f*(ηi,S-1,）产生。.，ηi,S+m-1)概率最小(1，f(ηni,s-1,...,ηni,s+m-1)f*(ηoi,s-1,...,ηoi,s+m-1)f(ηoi,s-1,...,ηoi,s+m-1)f*(ηni,s-1,...,ηni,s+m-1))。..,hi,s+m),我们选择一些初始模式值作为（his，.）的当前状态向量。..,hi,S+m)和重复干扰更平滑的几次（参见例如Shephard和Pitt(1997)，Watanabe和Omori(2004))。选取参数K以获得稳定且准确的估计结果。在研究中，我们使用K=470，但一般来说，可以使用更小的K。4经验研究4.1数据数据。在这一节中，我们将我们提出的模型应用于十只美国股票的日收益，并使用偏差校正的实现协方差矩阵。十个系列的股票回报是从交易所交易基金(ETF)的主要股票中挑选出来的，该基金旨在跟踪衡量标准普尔500指数投资回报的基准指数的表现。它们是1：苹果公司（Apple Inc.)，2:微软公司（Microsoft Corp.)，3:亚马逊公司（Amazon.comInc.）。4：摩根大通公司（JP Morgan Chase&Co.）,5：伯克希尔哈撒韦公司（Berkshire Hathaway Inc.）B类公司（BRKB）,6：Alphabet Inc.A类公司（GOOGL）,7：强生公司（Johnson&Johnson）,8：宝洁公司（Proctor&Gamble Co.）

9：埃克森美孚公司(XOM)，10:美国电话电报公司(AT&T)。federalfunds利率被用作无风险资产。第i只股票的日收益率为=100×(log pit-log pi，t-1)，其中pitis第i只资产在时间t的收盘价。所述（开-闭）实现的协方差矩阵被计算为ASPS=1RSTRST，其中rstis在从9:35到16:00的间隔为5分钟的t天期间的某物返回向量。样本周期为2004年9月1日至2013年12月31日，观测次数T=2350。实现因子。YIT的时间序列图如图1所示，它表明2008年是一个非常高的波动期（全球金融危机期间，雷曼ETF是先锋标准普尔500 ETF(VOO)。盘中价格数据来自Tick data（http://www.tickdata.com）。兄弟公司申请第11章破产保护）。我们可以看到十种股票收益率和标准普尔500指数之间的共同运动。由于股票指数被认为代表了股票市场的整体运动，我们使用S&P500指数作为实现因子，它与美国股市因子相对应；我们在这个分析中设置q=1和A=1。我们也考虑了q=2的情况，但第二个因素似乎不存在，导致了弱identi参数估计。取而代之的是，为了说明q=2的情况，weconducted模拟研究补充材料。2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20aapldate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20amzn2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20jpmdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20googl2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20brkbdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20googl2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20pgdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20pgdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20pgdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20pgdate2006 2008 2010 2012 2014-20-10 0 10 20pgdate2006 2008 2010十只美国股票（接近收盘）收益率和标准普尔500收益率的时间序列图。已实现的挥发和相关性的偏差校正。得到已实现挥发的偏差校正向量c为asc=(1.53，1.39，1.55，1.37，1.02，1.50，1.04，1.06，1.21，0.99)，由于忽略隔夜收益，已实现挥发（除T外）似乎低估了真实波动率。对数相关矩阵的偏差校正矩阵C由于难以直观解释而被省略；相反，我们给出了经偏差校正的实现相关和原始实现相关infigure2之间的di-hated竖直关系的方框图。大多数经偏见纠正的已实现相关性被发现比已实现相关性更大（AAPL-AMZN(1-3)和AMZN-GOOGL(3-6)除外），表明Epps E（Ect）的存在。新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新冠肺炎疫情期间，新52-62-72-8-0.20.00.20.4 2-9 2-10 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 4-5 4-6 4-8 4-9 4-10 0.2 0.0.2.4新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间，新冠肺炎疫情防控期间新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情，新冠肺炎疫情5-65 5-7 5-8 5-9 5-10 6-7 6-8 6-9 6-10 7-8 7-9 7-10 8-9 8-10 9-10 10-10-0.2 0.00.2.4图2：RT-～RT的方框图

假设先验分布为:μiéN(0,4）,1+φiéBeta(20,1.5）,ση,iéig 0.1,0.1,i=1。..,11,γéN(0,1）,1+ρéBeta(1,1）,1+ρéBeta(1,1）,σv,1éig 0.1,0.1,βiéN(0,1）,i=1,...,10,π(δ)_I(δ>0)。4.2估计结果：对FMSV模型，在丢弃10,000个样本后，迭代MCMC模拟得到20,000个后验样本作为老化期；对FMRSV模型，在丢弃2,000个样本后，迭代MCMC模拟得到10,000个后验样本作为老化期。表1和表2分别显示了FMSV模型（无实现协方差）和FMRSV模型（有实现协方差）参数的后验估计结果。在FMSV模型中，ine-ciencyfactorss的范围为1到114（e-ective样本量范围为175到20,000）；在FMRSV模型中，ine-ciencyfactorss的范围为1到94（e-ective样本量范围为106到10,000），这意味着我们的采样算法非常有效。对数挥发度(μJ)的条件均值在FMSV模型中从-1.105(JNJ)到0.804(AAPL)不等，在FMRSV模型中从-1.047(JNJ)到1.240(AMZN)不等。总体而言，FMRSV模型的后验均值大于FMSV模型的后验均值。在这两个模型中，μ(AAPL)和μ(AMZN)是最大的两个，而μ(JNJ)是最小的，如图1所示。对数挥发度(φJ)的持续时间在FMSV模型中从0.619(AMZN)到0.982(factor)，在FMRSV模型中从0.640(AMZN)到0.927(XOM)都很高，因此FMRSV模型的估计值相对低于FMSV模型。动态因子对数挥发度的持久度(φ)高于大多数股票收益的持久度。因子负荷(βJ)均为正，在FMSV模型中为0.470(JNJ)~1.260(JPM),在FMRSV模型中为0.521(JNJ)~1.126(JPM),表明股票收益率之间存在协同运动。在因子负荷中，ofAMZN和JPM的估计值是最大的。由于95%可信区间大于0，因子均值(γ)为正的后验概率大于0.975。这意味着在这个样本期间，预期的市场回报是正的。在FMSVmodel和FMRSV模型中，因子的杠杆率分别为-0.609和-0.234。预期为负值，后验概率大于0.975，提示杠杆效应的存在。绝对值因子定义为1+2p∞g=1ρ(g),其中ρ(g)是滞后g时的样本自相关，它被解释为链的后验均值的数值方差与假设不相关图的后验均值的方差之比。INE系数越小，MCMC抽样越接近不相关抽样。在FMRSV模型中，后验样本量除以因数得到了有效样本量，后验样本量的估计值要小得多。平均95%的间隔如果PAR。

如果μ0.804[0.653,0.960]6φ0.823[0.759,0.879]68μ-0.281[-0.433,-0.124]5φ0.799[0.729,0.858]71μ0.767[0.645,0.893]8φ0.619[0.503,0.708]70μ0.067[-0.453,0.575]1φ0.976[0.960,0.989]64μ-0.478[-0.856，-0.103]1φ0.971[0.954,0.985]59μ0.292[0.117,0.467]4φ0.832[0.775,0.880]67μ-1.105[-1.272,-0.936]5φ0.864[0.811,0.908]65μ-0.777[-0.927，-0.622]5φ0.858[0.801,0.904]79μ-0.398[-0.761，-0.028]2φ0.977[0.961，0.989]62μ-0.423[-0.623,-0.220]3φ0.932[0.893,0.961]87ΩΩ-0.382[-0.867,0.042]2φφ0.982[0.972,0.990]41β0.934[0.880,0.990]3ση,10.572[0.470,0.684]87β0.835[0.798,0.873]6ση,20.656[0.546,0.778]90β1.146[1.088,1.205]5ση,30.896[0.791,1.024]81β1.260[1.209,1.311]5ση,40.277[0.216,0.350]110β0.687[0.646,0.727]6ση,50.247[0.189]305]101β0.865[0.823,0.907]5ση,60.649[0.548,0.756]88β0.470[0.445,0.495]4ση,70.497[0.407,0.594]89β0.516[0.486,0.546]4ση,80.472[0.386,0.891]102β0.860[0.828,0.891]3ση,90.186[0.142,0.241]109β0.678[0.645,0.711]4ση,100.301[0.234,0.389]114'A86[-0.059[-0.102,-0.016]4ση,110.199]4[0.159,0.234]88γ±0.051[0.022,0.081]4σ±'A，10.136[0.110,0.161]78ρ±0.609[-0.705,-0.489]44表1:FMSV模型。十只美国股票回报率参数的后验均值、95%可信区间和ine-ciency因子(IFs)。参数与市场因素有关。PAR。平均95%的间隔如果PAR。如果μ0.898[0.794,1.002]1φ0.781[0.752,0.808]3μ0.113[0.0368,0.190]1φ0.769[0.736,0.801]6μ1.240[1.178,1.303]2φ0.640[0.603,0.676]6μ0.355[0.219,0.489]1φ0.815[0.791,0.840]3μ-0.643[-0.794,-0.489]1φ0.849[0.824,0.872]4μ0.615[0.503,0.729]1φ0.820[0.794,0.846]4μ-1.047[-1.134,-0.960]1φ0.803[0.773,0.834]6μ-0.804[-0.890，-0.718]1φ0.799[0.768,0.829]5μ-0.280[-0.451,-0.106]1φ0.927[0.909,0.945]6μ-0.551[-0.661，-0.443]1φ0.845[0.819,0.870]5μ-0.278[-0.433,-0.127]4φ±0.900[0.881,0.919]6β0.787[0.770,0.804]20ση,10.557[0.535,0.579]6β0.858[0.843,0.875]34ση,20.420[0.399,0.443]11β1.100[1.078,1.123]24ση,30.533[0.513,0.553]12β1.126[1.105,1.147]33ση,40.613[0.592,0.618]36ση,50.566[0.542,0.592]12β0.808[0.792,0.825]26ση,60.499[0.478,0.521]10β0.521[0.512,0.532]36ση,70.417[0.394,0.441]13β0.557[0.546,0.568]35ση,80.416[0.395,0.438]11β0.796[0.783,0.810]37ση,90.310[0.292,0.331]16β0.694[0.682,0.706]35ση,100.415[0.393,0.437]10'A8-0.0677[-0.107,-0.0281]4σ8η，110.362[0.343,0.382]16γ=0.0902[0.0604,0.121]2σⅤ，10.81]10σ8[0.61]。132[0.108,0.159]58δ16.478[16.243,16.692]94ρρ-0.234[-0.288,-0.181]8表2:FMRSV模型。十只美国股票收益率参数的后验均值、95%可信区间和内因子。参数与市场因素有关。在FMRSV模型中，精度参数δ的后验均值估计在16.5左右。结果表明，在ourfactor模型下，已实现协方差的分布集中在真协方差矩阵的期望值附近，该模型对已实现协方差矩阵的测量方程是好的。图3和图4是两个模型中对数特性挥发度的时间序列图。与FMSV模型相比，FMRSV模型的可信区间更窄，更稳定。对于动态关联也有类似的结果（参见上补充性材料）。这意味着实现的协方差的附加信息使我们能够更准确地估计真实的挥发度和相关性。此外，图5显示了十个股票收益的估计挥发度的后验均值。