时变模型的同时推理

，0）t第j个元素为1的单位列向量，1≤ J≤ l+m.定义Mi（θ）=（f（θ）ζi，e，相对长度单位-1，f（θ），em+1，em+l-1） T.让αmin>0和Θ R≥αmin×Rm+l>0使得对于所有θ，θ∈Θ（2.7）ρ（E[M（θ） M（θ）<1。假设（我）ΘΘ是紧凑型的，并且始终∈ [0,1]，θ（t）位于Θ的内部。θ（·）的每个分量在C[0,1]，（ii）ζi.i.d.中，Eζi=0，Eζi=1和E|ζi|4+a<∞ 有一些a>0。在重要的GARCH（1,1）情况下，一个简单的计算表明，条件（2.7）可以转化为（2.8）ρ（E[M（θ））2]) < 1 <==> β+2αβ+αkζk<1Ifζ~ N（0，1），它认为kζk=√3.≈ 1.73. Bollerslev[5]证明了在完全相同的条件下（2.8），平稳GARCH（1,1）过程有四阶矩。在第4节备注4.4.1中，我们进一步讨论（2.8）的适用性。我们猜想，对于一般的GARCH（l，m）模型，（2.7）等价于所有θ的条件∈Θ：ρ（E[M（θ））2] ）<1，则正好满足[5]中的条件。注意，估计和真曲线θ（·）位于Θ，它必须是Θ的一个紧子集。因此，我们自动假设GARCH过程的所有参数都是非零的。同样，原则上可以放宽这一条件，这将增加大量的技术细节。3.主要结果。我们将在本节讨论理论置信区间结果。我们直接从弱Bahadur代表开始，它在介绍imultanity方面起着关键作用。为了我≥ 0，定义uK，l:=ZK（x）xldx，σK，l:=ZK（x）xldx。我们现在必须确定一些数量V（t）、I（t）、∧（t），这些数量是提供理论结果所需要的。它们对应于所谓的（未指定的）Fisher信息矩阵，该矩阵作为M估计量的方差自然出现。这些数量在实践中不需要知道，因为它们是经过估算的。

它们取决于所考虑的时变过程Yi的所谓平稳近似值Yi（t）。在案例1和案例2中，给出如下结果：对于t∈ [0,1]，8 S.KARMAKAR等人o#Yi（t）是#Yi（t）=u（#Yi）的解-1（t）。。。，~Yi-p（t），θ（t））+σ（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），θ（t）），i∈ Z、 o~Yi（t）是~Yi（t）=σi（t）ζi，~σi（t）=α（t）+mXj=1αj（t）~Yi的解-j（t）+lXj=1βj（t）~σi-j（t），i∈ Z代表t∈ [0,1]，设)Zj（t）：=（)Yj（t），)Yj-1（t），…）表示包含静态近似值的有限向量。我们现在定义了neV（t）=Eθ`（Z（t），θ（t）），（3.1）I（t）=E[θ`（Z（t），θ（t））·θ`（Z（t），θ（t））t]，（3.2）∧（t）=Xj∈泽[θ`（Z（t），θ（t））·θ`（Zj（t），θ（t））t]。（3.3）在我们的理论模型中，这些量可以相互关联。以下引理（附录中命题E.4和E.6的直接含义）总结了这些形式。引理3.1.o案例1：它认为V（t）=∧（t）。如果另外（i）Eζ=0，或（ii）u（x，θ）≡ 0或（iii）σ（x，θ）≡ β和Em（~X（t））=0，则i（t）=Ik0（Eζ）-1） Il+1/2· V（t），其中Id表示d维单位矩阵案例2：它认为∧（t）=I（t）=（Eζ- 1） /2）V（t）。^θbn的弱Bahadur表示。在下文中，我们得到了^θbn的弱Bahadur表示，它将用于构造同时置信带。定理3.2的第一部分表明^θbn（t）- θ（t）可以用表达式v（t）来近似-1.由于标准泰勒参数，θLcn，bn（t，θ（t），θ（t））与预期一致。定理3.2的第二部分涉及通过无t项的加权和来近似该项，即（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- t） 嗨，嗨：=θ`（z（i/n），θ（i/n）），这是应用周和吴[59]的一些早期结果所必需的。

设Tn:=[bn，1-bn]。对于某些向量或矩阵x，让|x |：=|x |分别表示其欧几里德范数或弗罗贝尼乌斯范数。时变模型的同时推理9定理3.2（^θbn的弱Bahadur表示）。设βn=（nbn）-1/2b-1/2nlog（n）1/2和putτ（1）n=（βn+bn）（（nbn）-1/2log（n）+bn）。假设2.1或2.2成立。然后它就保持住了∈TnV（t）·θbn（t）- θ（t）- θLcn，bn（t，θ（t），θ（t））= OP（τ（1）n），（3.4）supt∈TnθLcn，bn（t，θ（t），θ（t））- bnuK，2V（t）θ（t）（3.5）-（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- t） 嗨= OP（βnbn+bn+（nbn）-1).3.2. ^θbn的同时置信带。基于弱Bahadur结果，我们使用Wu和Zhou[53]的结果来获得BNNxi=1Kbn（t- i/n）有线电视（t）-1.θ`（i/n），θ（i/n））=nbnnXi=1Kbn（t- i/n）~hi（i/n）对于某些C∈ Rs×k.对于特征分解为a=QDQT的正半限定矩阵a，其中Q是正交矩阵，D是对角矩阵，定义A1/2=QD1/2QT，其中D1/2是D的元素根。那么θ（·）的同时置信带的以下渐近陈述成立。定理3.3（θ（·）的同时置信带）。设C是秩为s的固定k×s矩阵≤ k、 定义θbn，C（t）：=CTθbn（t）和θC（t）：=CTθ（t），AC（t）：=V（t）-1C，∑C（t）：=ATC（t）∧（t）AC（t）。假设2.1或2.2已完成。假设对于某些αexp<，log（n）bnnαexp-1.→ 0，nbnlog（n）→ 然后用^K（x）=K（x）x，limn→∞P√nbnσK，0supt∈TnΣ-1C（t）n^θbn，C（t）- θC（t）- bnuK，2θC（t）o-BK（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ），（3.6），其中在这两种情况下，Tn=[bn，1- bn]，m*= 1/bn和（3.7）BK（m）*) =p2对数（m*) +对数（CK）+（s/2）- 1/2）对数*)) - 对数（2）p2对数（m）*),10秒。

KARMAKAR等人，ck=nR-1 | K（u）| du/σK，0πo1/2Γ（s/2）。注：对于带宽bn=n，bn上的条件已满-α、 α在哪里∈ （0,1）满足<α<αexp.带宽bn=cn-这两种情况都涵盖了1/5。注意，为了实际使用（3.6）中的SCB，需要估计偏差项，选择适当的带宽bN，并估计∑C（t）。此外，理论上的SCB只有缓慢的对数收敛，因此需要巨大的n才能达到预期的覆盖概率。为了解决这类问题，我们将在下一节4中讨论实际问题。4.实施问题。在这一节中，我们将讨论通过实施定理3.3中的程序而产生的一些问题。我们关注于^θbn的估计和相应scb的优化。4.1. 偏差校正。有几种可能的方法可以消除OREM 3.3中的偏差项。一种自然的方法是使用具有一定带宽bn的局部二次估计例程来估计θ（t）≥ bn。然而，由于收敛条件nbn，θ（t）的估计可能是不稳定的→ ∞ 这可能很难与NBNLOG（n）一起实现→ 在实践中，定理3.3中的0。在这里，我们提出了一种基于[23]的jack-knife方法的偏差校正方法。我们定义了θbn（t）：=2θbn/√（t）-θbn（t）。（4.1）由于定理3.2中的弱Bahadur表示同时适用于θbn/√和θbn（t），我们得到了∈TnV（t）·{θbn（t）-θ（t）}- （nbn）-1nXi=1Kbn（i/n-t） 嗨= OP（τ（2）n+βnbn+bn+（nbn）-1） 式中，K（x）：=2√2K(√2x）- K（x）。注意，BN阶的偏差项是通过构造消除的。这表明定理3.3仍然适用于核K被四阶核K替换，且没有bn阶偏差项的情况下的θbn（·）。时变模型的同时推理114.2。协方差矩阵∑C（t）的估计。

在本小节中，我们将讨论∑C（t）的估计，因为这一项通常未知，但在定理3的SCB中出现。3.通过引理3.1，我们在两种情况下都有∧（t）=I（t），这表明（4.2）∑C（t）=CT（V（t）-1） T∧（T）V（T）-1C=电流互感器（V（t）-1） TI（t）V（t）-1C。正如一位裁判所指出的，∑C（t）是众所周知的“三明治”形式（cf.[？]）。即使创新ζiS的分布被可能性误判，也可以典型地简化表示（4.2）。如果ζ的分布是正确的，那么一个hasV（t）=I（t），因此（4.3）∑C（t）=CTI（t）-1C。如果ζ的分布被可能性误判，引理3.1表明V（t）=c·I（t）与一些常数矩阵c，其仅取决于ζ的四阶矩E[ζ]。然后有（4.4）∑C（t）=C·CTI（t）-1这也意味着，只要用因子c修正表达式，在创新分布的错误指定下，表示（4.3）是稳定的。为此，需要从数据中估计E[ζ]。[？]中讨论了如何对线性过程执行此操作的可能性。总之，表示法（4.2）始终成立，更简单的表示法（4.3）和（4.4）可以在其他假设下使用，或者如果可用稳定的护理估计值。为了涵盖上述所有可能的情况，我们讨论了V（t）和I（t）的估计。我们提出了（边界修正的）估计量^Vbn（t）：=（nbn^uK，0，bn（t））-1nXi=1Kbn（i/n）- （t）θ`（Zci，^θbn（t）+（i/n）- t） bθbn（t）），（4.5）^Ibn（t）：=（nbn^uK，0，bn（t））-1nXi=1Kbn（i/n）- （t）θ`（Zci，^θbn（t）+（i/n）- t） bθbn（t））（4.6）×θ`（Zci，^θbn（t）+（i/n）- t） bθbn（t））t，其中^uK，0，bn（t）：=R（1）-t） /bn-t/bnK（x）dx。下一个命题给出了这些估计量的收敛性。注意，下面的命题也将ifbθbnin（4.5）和（4.6）替换为0。提议4.1。假设2.1或2.2成立。让（βn+bn）记录（n）→ 0

然后（我）支持∈（0,1）|^Vbn（t）- V（t）|=OP（（对数n）-1） .12 S.KARMAKAR等人（ii）如果r>4，则支持∈（0,1）|^Ibn（t）- I（t）|=OP（（对数n）-1).这表明^Vbn（·）、^Ibn（·）if（βn+bn）log（n）的一致性→ 0.注意，在（ii）中，我们需要更多的时间来讨论θ` · θ\'T∈ H（2My，2Mx，χ，\'C）（\'C>0）。在许多特殊情况下，这可能是放松的。在（4.2）或（4.3）两种情况下，我们定义∑C（t）的方法是用对应的∑Vbn（t）和∑Ibn（t）替换V（t），I（t）。带宽选择。基于渐近平方误差分解θbn，C（t）- θC（t）≈bnuK，2θC（t）+σK，0nbntr（σC（t）），可以从弱Bahadur表示（3.6）中读取，平方误差全局最佳带宽选择读取（4.7）^bn=n-1/5·σK，0Rtr（CTV（t）-1I（t）V（t）-1C）dtuK，2R |θC（t）|dt1/5.实际上，由于右手边的未知量，尤其是θ（t），所以^bn不可用。因此，我们采用了Richterand Dahlhaus[43]提出的基于模型的交叉验证方法，该方法被证明在基础参数曲线仅为连续且θ`（z（t），θ（t））是不相关的。在这里，我们为局部线性设置重新制定了这个选择过程。对于j=1，n、 确定漏掉一项的当地线性食品（4.8）Lcn，bn，-j（t，θ，θ）：=（nbn）-1nXi=1，i6=jKbn（i/n- t） `（Zci，θ+（i/n）- t） θ）和相应的遗漏估计量（^θbn，-j（t），θbn，-j（t））=argminθ∈Θ,θ∈ΘLcn，bn，-j（t，θ，θ）。带宽^bcvn通过最小化（4.9）CV（bn）：=n来选择-1nXi=1`（Zci，^θbn，-i（i/n））w（i/n），其中w（·）是一些用于排除边界效应的权重函数。一个可能的选择是w（·）：=[γ，1-γ] 一些固定γ>0。注意，由于不同的偏差项，使用改进的局部线性方法很重要。

Richter和Dahlhaus[43]表明，该程序的局部常数版本选择渐近最优带宽，即使存在模型误判，也有效，即如果函数`导致估值器^θbn不一致。这促使类似的行为应该适用于局部恒定版本。时变模型的同时推理134.4。引导法。定理3.3中得到的θC（t）的SCB提供了一个缓慢收敛到甘贝尔分布的速度。因此，即使是样本量n的中等偏大值，使用这种理论SCBA实际上是不可行的，因为覆盖率可能低于规定的标称水平。首先，我们对理论置信区间在实现其名义覆盖率方面落后的程度进行了实证覆盖率比较。对于tvGARCH情况，我们使用相同的模拟设置（参见第5.1节）：Xi=σiζi，σi=α（i/n）+α（i/n）Xi-1+β（i/n）σi-其中α（t）=1.0+0.2sin（2πt），α（t）=0.45+0.1sin（πt）和β（t）=0.1+0.1sin（πt），ζi.i.d.标准正态分布。对于估计，我们选择K（x）=（1）-x） 一,[-1,1]（x）是Epanechnikov内核，n=2000，对于几个不同的bn，n=5000。从表1可以看出，OREM 3.3中规定的SCB的同时覆盖率甚至从来都不是正的。对于小带宽和高带宽，单个覆盖率非常低，它们会过度补偿。

n=5000次观测的性能稍好一些，这暗示了定理3.3中的对数收敛速度。表1（b）中SCB在n=2000、5000、bn=0.25、0.3、，3.3.3.0.0 0.7 0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0 0.870.0 0 0.0 0.0.0 0.870.0 0.870.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0.0 0 0.0 0 0.0 0.35 0.0 0.0.0 0 0.0 0 0.0.0.0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.870 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.870 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.870 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.870 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0.298 00.25自举0.955 0.855 0.936 0.886 0.974 0.903 0.9590.9290.30 Gumbel 0.756 0.461 0.642 0.643 0.261 0.432 00.30 Bootstrap 0.941 0.889 0.939 0.904 0.974 0.931 0.967 0.9490.35 Gumbel 0.96 0.917 0.957 0.878 0.701 0.84 00.35 Bootstrap 0.949 0.903 0.941 0.903 0.972 0.975 0.946我们在本小节中提出了一个野生Bootstrap Gorithm来规避这个收敛问题。回想一下（4.1）中基于jackknife的偏差校正估计器θbn。设θC（t）=CTθbn（t）。我们有以下主张作为引导方法背后的关键思想。提议4.2。假设假设假设2.1或假设2.2成立。此外，假设bn=O（n-κ） 有1/7<κ<。然后在一个更丰富的概率空间上，有i.i.d.V，V，~ N（0，id）这样的支持∈Tn |θbn，C（t）- θC（t）- ∑C（t）Q（0）bn（t）|=OPN-ν√nbnlog（北）1/2,（4.10）14秒。

KARMAKAR等人，其中ν=min{- κ/2, 7κ/2 - 1/2，κ/2}>0和q（0）bn（t）=nbnnXi=1ViKbn（i/n- t） 。命题4.2的证明直接来自附录中的近似率（B.13）、（B.14）、（B.16）和（B.18），忽略对数（n）项，其形式为cn·（nbn）-1/2对数（n）-1/2与中国∈ {bnn（2γ+γ）-)/(+4γ+2γ)-1/2，b1/2n，bn，（nbn）1/2，（nbn）-1/2}，其中γ>1为任意大且>0。人们可以从∑C（t）Q（0）bn（t）近似于θbn，C（t）中的随机变化的意义上解释（4.10）- θC（t）在t上一致∈ Tn.因此，只要能够一致地估计∑C（t），它可以用作噪声构建置信区间的裕度。4.4.1。边界考虑。上述结果仅适用于t∈ Tn.对于一些时间序列模型（如ARCH或GARCH）的推断，即使对于大量观测值，也需要大带宽才能得到足够平滑和稳定的估计量。似乎很难将SCB结果定理3.3推广到整个区间t∈ (0, 1).然而，有可能推广在实践中可能更重要的引导程序：命题4.3。假设命题4.2中关于κ，ν的条件成立。在一个更丰富的概率空间中，存在i.i.d.V，V，~ N（0，id）这样的支持∈（0,1）| N（0）bn（t）·θbn，C（t）- θC（t）+ bnN（1）bn（t）θC（t）- ∑C（t）Wbn（t）|=OPN-ν√nbnlog（北）1/2,式中（4.11）Wbn（t）=Q（0）bn（t）-^uK，1，bn（t）^uK，2，bn（t）·Q（1）bn（t）和N（j）bn（t）：=^uK，j，bn（t）^uK，j+2，bn（t）-μK，j+1，bn（t）μK，2，bn（t），μK，j，bn（t）：=R（1-t） /bn-t/bnK（x）xjdx，Q（j）bn（t）=nbnnXi=1ViKbn（i/n- （t）（i/n）- t） b-1nj、 （j=0,1）。注意，（4.11）中的附加项对于t减少到Q（0）bn（t）∈ Tn.时变模型的同步推理，以消除t内的偏差∈ Tn，仍然建议使用千斤顶刀估计器＠θC（t）。

从命题4.3中，我们得到了支持∈(0,1)N（0）bn（t）N（0）bn/√（t）θC（t）- θ（t）+ bn十亿新西兰元/√（t） 十亿新西兰元（吨）- N（1）十亿（t）N（0）十亿/√（t）θC（t）-∑C（t）W（debias）bn（t）= 操作N-ν√nbnlog（北）1/2,其中（4.13）W（debias）bn（t）=2N（0）bn（t）·10亿克朗/√（t）-^uK，十亿/√（t） ^uK，20亿/√（t） Q（1）bn/√（t）-十亿新西兰元/√（t）·Q（0）bn（t）-^uK，1，bn（t）^uK，2，bn（t）Q（1）bn（t）.附加系数N（0）bn（t）N（0）bn/√（t） 在（4.12）中，t与边界的距离是多少。对于t∈ Tn，该系数为1，而t∈ （0，1）万亿，万亿/√（t） 可能非常小，导致边界附近的带直径较大。请注意，在t中，千斤顶刀估计器的偏差校正|θC（t）可能是无用的∈ （0,1）万亿元人民币/√（t） N（0）bn（t）6=N（1）bn（t）N（0）bn/√（t） 。然而，从理论角度来看，有必要对整个区域（0，1）使用相同的估计器，以获得基于近似（4.12）的均匀带。在实践中，结果（4.12）可以如下使用：我们可以创建大量的ofi。i、 d.通过创建i.i.d.副本（4.14）Q（0），bootbn（t）=nbnnXi=1V，复制W（debias）bn（t）的W（boot，debias）bn（t）*iKbn（识别号）- t） ，Q（1），bootbnnnxi=1V*iKbn（识别号）- t） ·（i/n）- t） b-1nwhere V*, 五、*, . . . , 是i.i.d.N（0，Is×s）-分布随机变量，并根据（4.13）计算W（boot，debias）bn（t）。然后，可以通过使用拷贝W（boot，debias）bn（t）的相应经验分位数来确定W（debias）bn（t）的分位数。然后可以使用（4.12）构造θC（t）的置信带。为了方便读者，我们提供了上述讨论的一个总结算法。构造θC（t）的SCB的算法：o根据第4.3节中的交叉验证方法计算适当的带宽bN，并根据第4.1节中基于jackknife的估计器计算∧θC（t）对于r=1，N与一些大的N，生成NI.i.d.N（0，Is×s）随机变量sv*, . . .