时变模型的同时推理

五、*nand compute qr=supt∈（0,1）| W（boot，debias）bn（t）|，其中W（boot，debias）bn（t）根据（4.13）、（4.14）计算计算u1-α=qb（1）-α） Nc，经验公式（1）-α） supt的第次分位数∈[0,1]|W（debias）bn（t）|16 S.KARMAKAR等人o计算^∑C（t）={CT^V（t）-1∧（t）V（t）-1C}1/2与第4.2小节中提出的估算值。如上所述，V（t）-1∧（t）V（t）-1通常可以简化。oθC（t）的SCB为θC，bn（t）+∑C（t）u1-αBs，其中Bs={x∈ Rs:|x |≤ 1} Rs.Remark中的单位球（tvGARCH参数限制的讨论）是一个关于假设适用性的非常有效的问题（2.8）。我们想指出，在GARCH过程的四阶矩假设下，这个假设是必要的。仔细研究命题E.6的证明，似乎有可能将GARCH过程的4+a矩的存在性放宽到只有2+a矩，这可能会将条件（2.8）改善为α（·）+β（·）<1。然而，定理3.3证明中的全部偏差扩展参数将基于这种放松的矩假设而改变，并且需要一个不同的局部平稳性概念，允许使用更近似的项。为了保持本文的主题，我们决定不为GARCH（1,1）证明一个单独的结果。此外，从实用的角度来看，当我们估计∑C（t）时，我们使用第4节中的Ibn（t），它仅在GARCH过程至少存在四阶矩的情况下是一致的。我们还发现，对于一些非常流行的股票市场数据集（第5节给出了一个这样的例子），我们可以合理地假设条件（2.8）是满足的。仿真结果和应用。本节包括一些总结的模拟和一些与我们的理论结果相关的实际数据应用。

由于我们的理论框架的普遍性，即使是这些不同类别中最突出的例子，也不可能报告模拟性能。因此，我们仅限于模拟和实际数据应用的条件异方差（CH）模型。对于时变同步带，据我们所知，没有或很少有仿真结果报告。对于tvAR、tvMA和tvARMA过程，我们获得了相当满意的结果，但为了保持讨论的简洁性，这里省略了它们。5.1. 模拟。在本节中，我们研究了我们的SCB在以下tvARCH（1）和tvARCH（1,1）模型中理论覆盖率α=0.9和α=0.95的有限样本覆盖概率：（a）Xi=qα（i/n）+α（i/n）Xi-1ζi，其中α（t）=0.8+0.3 cos（πt），α（t）=0.45+0.1 cos（πt），（b）Xi=σiζi，σi=α（i/n）+α（i/n）Xi-1+β（i/n）σi-其中α（t）=2.4+0.02 cos（πt），α（t）=0.4+0.1 cos（πt）和β（t）=0.5- 0.1 cos（πt），其中ζi.i.d.标准正态分布。对于估计，我们选择K（x）=（1）-x） 一,[-1,1]（x）为Epanechnikov核，n=500、1000、2000、5000，用于对17bn时变模型的多个不同同时推断（也报告了模型（a）和模型（b）的最佳带宽（4.7））。对于每种情况，执行N=2000次复制，并检查获得的SCB basedon（4.12）是否包含t中的真实曲线∈ (0, 1). 在这两个模型中，我们都有∧（t）=I（t）=V（t），因此估计∑C（t）=CTI（t）-1C通过将（4.6）中的I（t）替换为^Ibn（t）。我们得到了表2和表3中给出的结果。对于较小的样本量n，估计有时可能会导致困难，因为优化例程（编程语言R中的optim）可能不会收敛。

为了简单起见，我们决定放弃这些病理病例。可以看出，对于接近最佳带宽的带宽，经验覆盖概率合理地接近名义水平，对于其他带宽，它们也没有太大差异。表2 n=500、1000、2000、5000时（a）中SCB的超龄概率；9.9 0.839 0 0.839 0.0 0.830 0.0 0.840.840.840 0.840 0.840.840.840.840.840 0.840.0 0 0.840.0 0.0 0 0.9 9 9 9 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0.890 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.890 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.890 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.898 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.890 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.840.8700.866 0.931 0.925 0.92120000.30.893 0.861 0.868 0.946 0.924 0.9300.35 0.886 0.872 0.8660.938 0.928 0.9210.4 0.891 0.878 0.874 0.937 0.926 0.9330.45 0.874 0.873 0.883 0.940 0.937 0.9375000 0.25 0.885 0.883 0.882 0.941 0.931 0.9360.3 0.892 0.883 0.889 0.949 0.938 0.9410.35 0.900 0.891 0.894 0.948 0.945 0.9380.4 0.900 0.899 0.894 0.953 0.947 0.9370.45 0.878 0.880 0.881 0.934 0.937 0.9305.2. 应用。在本节中，我们考虑了一些实际数据的应用程序。如第一节所述，关于时变回归的文献中有大量的结果，但对于时变自回归条件异方差模型的结果很少。因此，评估我们构建的SCB在理论和实际数据场景中对此类模型的性能非常重要。在常用的异方差模型中，由于方差项的递归性，通常GARCH型模型是最难估计的。我们从两类金融数据的条件异方差模型的类别中考虑两个例子：一个外汇市场和一个股票市场日报损坏数据集。

Fryzlewicz、Sapatinas和Subba Rao[20]发现，ARCH模型对货币兑换类型的数据具有良好的预测能力，而对于来自股票的数据18 S.KARMAKAR等人。表3（b）中的SCB在n=500、1000、2000、，5.0 0.5 0.0 0.0 0.840.0 0.0.890.890.0.860.0 0.860.0 0.828 0.0.0.0.0 0 0.9 9 9 9 9 0.793 0.0 0.963 0.0 0 0.960.0 0.960.0 0 0.0 0 0 0 0.890 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0.0 0.0.840.0 0 0.841 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.841 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.9 9 9 9 9 9 0 0.9 9 9 9 9 0 0.9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0.890 0.890 0.890 0 0 0 0 0 0.890.890 0 0.0.974 0.913 0.966 0.9140.55 0.947 0.869 0.926 0.891 0.97 0.929 0.954 0.9370.6 0.946 0.8840.943 0.908 0.971 0.937 0.966 0.9480.65 0.944 0.873 0.921 0.889 0.965 0.921 0.951 0.9342000 0.3 0.944 0.822 0.924 0.869 0.967 0.89 0.961 0.920.35 0.941 0.843 0.923 0.864 0.967 0.908 0.945 0.9130.40 0.958 0.846 0.92 0.894 0.972 0.91 0.96 0.9430.45 0.957 0.875 0.931 0.897 0.98 0.928 0.965 0.9420.50 0.946 0.887 0.952 0.911 0.978 0.938 0.979 0.9525000 0.25 0.955 0.855 0.936 0.886 0.974 0.903 0.959 0.9290.30 0.941 0.889 0.939 0.904 0.974 0.931 0.967 0.9490.35 0.949 0.903 0.941 0.903 0.972 0.95 0.975 0.9460.40 0.954 0.882 0.94 0.92 0.968 0.94 0.969 0.9590.45 0.966 0.892 0.956 0.909 0.98 0.960.50 0.948 0.886 0.936 0.896 0.976 0.976 0.976是市场首选机型。通常，这些每日收盘价数据集显示单位根行为，因此，我们不使用每日价格数据，而是对日志返回数据进行建模。对数回归定义如下，接近相对回归i=对数Pi- 对数Pi-1=对数1+Pi- 圆周率-1Pi-1.≈圆周率- 圆周率-1Pi-1，其中Pi是当天的收盘价。由于这些对数收益率数据通常显示的波动性具有明显的时变性，因此使用条件异方差模型进行分析和预测。5.2.1. Real data application I：美元/英镑汇率。

对于第一个应用，我们考虑了一个p=1,2的tvARCH（p）模型。它具有以下形式：Yi=σiζi，σi=α（i/n）+α（i/n）Yi-1+ . . . + αp（i/n）Yi-p、 [20]使用p=0,1,2的tvARCH（p）模型分析了1990-1999年间美元与其他货币的许多不同汇率。我们从www.federalreserve收集美元-英镑汇率数据。gov/releases/h10/Hist/default1999。htm。作者建议选择p=1作为美元-英镑汇率，我们还决定对时变模型进行同步推断，以限制我们只选择tvARCH（1）模型。请注意，原则上，我们的同步频带可以用来决定是否需要tvARCH（2）模型中的附加参数。数据集的样本量为2514，我们使用交叉验证带宽bn=0.26。我们还提供了对数回归图和平方时间序列的ACF图，显示了条件异方差的证据。图1。1990年1月至1999年12月美元/英镑数据分析。左上角：日志返回。右上角：ACF绘图。底部面板：分别用95%SCB（虚线）估计参数α（·）、α（·）、以及假设恒定的参数估计（蓝色）。我们还提供逐点带（灰色）和时间常数估计±标准误差带（棕色）。最佳带宽为0.26，α（·）随时间变化。根据图1，参数曲线α（·）的时间恒定性在5%的显著性水平下被拒绝。对于α（·），估计值通常保持在平稳系数以下。这可以是20 S.KARMAKAR等人通过GARCH模型参数空间的几何结构来解释的，参见[？]。此外，从实际原木收益图中可以看出，与1993-1999年相比，1990年至1993年发生了较大的冲击。

这可以通过1990-1993年（1993-1999年）期间估计曲线α（·）的高（低）值来解释。5.2.2。真实数据应用2：纳斯达克指数数据。在对股票市场数据的对数收益率进行实证分析时，Palm[40]和其他人发现，低阶GARCHMODEL充分说明了条件异方差。此外，GARCH（1,1）和在极少数情况下使用GARCH（1,2）和GARCH（2,1）模型，通常不需要高阶GARCH模型。使用GARCH（1,1）overARCH（p）模型的另一个优点是，人们不需要担心选择合适的滞后时间p，因为GARCH（1,1）可以被认为是p=∞. 在本小节中，我们将实现一个时变版本的GARCH（1,1），并获得自举SCB。AtvGARCH（1,1）模型具有以下形式：Yi=σiζi，σi=α（i/n）+α（i/n）Yi-1+β（i/n）σi-1.作为第二个例子，我们选择分析2011年1月至2018年12月纳斯达克的对数收益率。这是美国股市的一个重要指数。我们在稍后的分析中从www.*上收集了这一数据集和所有其他股票指数数据集。通用域名格式。对于大小为n=1751的数据集，我们的交叉验证带宽为bn=0.405。因为我们的模拟显示，在n=2000左右的样本量下，性能非常好，估计的参数函数满足参数限制sup0≤T≤1（^β（t）+2^α（t）β（t）+3^α（t））<1，可以合理地说，我们的同时置信区间在这里也是有效的。如图2所示，平方后，时间序列在其ACF图中显示出显著滞后；表示条件异方差。可以看出，α（·）的估计值大多高于相应的时间常数fit。如标题所述，α（·）是时变的，因为SCB不包含水平线。该函数围绕时间常数函数展开。

对于β（t），时变fit低于相应的时间常数fit。总体而言，由于通过该分析，α（t）被认为是时变的，时间常数假设可以在5%的显著水平上被拒绝。5.3. 预测波动性。计量经济时间序列的时变模型是否比其时间常数类似物更有用，这是一个合理的问题。请注意，本文的主要目标不是建立更好的预测模型。从条件异方差模型的置信区间扩展到预测区间并不是很直接。此外，尚不清楚本文讨论的全部渐近性如何扩展到预测未来趋势或估计未来时间参数t>1的时变函数。任何渐近理论都需要严格考虑重定标度机制，记住某一点之前观察到的数据。在本小节中，我们从经验上证明，与时间常数类似物相比，时变模型可以带来更好的预测。时变模型的同时推理21图2。2011年1月至2018年12月纳斯达克数据分析。左上：ACF绘图。右上、左下、右下：分别用SCB（虚线）估计参数α（·）、α（·）和β（·），并假设恒定（蓝色）估计参数。我们还提供逐点带（灰色）和时间常数估计±标准误差带（棕色）。最佳带宽为0.405。水平线不会穿过α（·）的SCB，因此它是时变的。5.3.1. 短期预测。在[46]和[21]之后，我们展示了大量计量经济数据集，时变模型可以提供更好的短期预测。我们还允许多个预测窗口和多个起点来强调为什么这些数据集中的大多数都需要时变函数。

在下面的表4和表5中，我们对外汇数据集使用ARCH（1）模型，对股市指数使用GARCH（1,1）。我们对预测的POOS（伪样本外）评估如下所示：22 S.KARMAKAR等人定义-超前预报方案，t+h=hPt+hi=t+1Pσi | twhereσi | tarethe（i-t） 提前预测时间t的时间常数或时变fit。我们将其与“已实现”波动率Xt进行比较，t+h=hPt+hi=t+1Xi。然后，我们计算起点s的聚合测量值，如下所示：AMSE=n- H- 锡-hXs+1（¨σt，t+h-\'Xt，t+h）。对于预测视界h值，我们选择h∈ {25,50,75,100,150,200}和起始点∈ {500, 1000}. 我们的预测方法与在F GARCH R包中实现的方法相同。对于时间t的时间常数fit，我们使用从1到t的数据预测h步超前预测。然而，对于时变函数，不清楚时变预测是什么。在[21]之后，我们假设最后的m点对于小的m是平稳的，并使用它来获得未来的预测。因为m是一个调整参数，所以我们选择在m上产生最小AMSE的值∈ {100, 200, . . . , 500}.表4预测波动率：500点起点时变和时间常数模型的短期预测比较。

英语英语英语电视电视TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT0.083欧元0.029 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0.0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0.0.0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0.0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0.0.0.0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.265 4.048 3.339 2.344 2.092 1.079 1.768 0.939SP500 0.319 0.042 0.379 0.3720 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.0.981 0.143 0.979 0.144 0.970 0.143NYSE 0.318 0.245 0.470 0.144 0.2771480 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.065 1.759 0.984 1.625 0.928从表4和表5中可以看出，在很大范围内在数据集、起点和预测范围中，时变预测的AMSE远小于时间常数版本的AMSE。

我们认为，即使从经济学家的角度来看，预测和预测更为重要，但这种POOS分析为选择时变模型而非时间常数模型提供了强大的动力。时变模型的同时推断23表5预测波动率：1000点时变和时间常数模型的短期预测比较。