时变模型的同时推理

如果A，v是独立的，那么对于任何j∈{1，…，d}，（E.14）（kAvkq）j=dXk=1AjkvkQ≤dXk=1kAjkvkkq=dXk=1kajkkkkkkkq=（kAkq·kvkq）j.特别是，我们编写了kAvkq≤ kvkqin在这种情况下，这意味着不平等性具有组成部分的智慧。命题E.6的证明。对于t∈ [0,1]，我们缩写为Mi（t）：=Mi（θ（t））。自那时起[|ε| 4+a]<∞ 对于某些a>0，映射Φ：[0,1]×[1,1+a）→ [0, ∞), （t，t，q）7→ρ（kM（t）M（t）kq）在每个（t，t，1）中是连续的，Φ（t，t，1）=ρ（E[M（t）M（t）]）<1。因此存在q>1，使得（E.15）supt，t∈[0,1]ρ（kM（t） M（t）kq）=支持，t∈[0,1]Φ（t，t，~q）<1。特别是，我们有（E.16）支持∈[0,1]ρ（kM（t）2k~q）<1。同样，由于E[ζ]≥ 1.我们从supt得出结论∈[0,1]ρ（E[M（t）]小于1，即（w.l.o.g.，具有与上述相同的q>1）（E.17）支持∈[0,1]ρ（kM（t） Ik~q）<1。设M=1。修正t∈ [0, 1]. 考虑相应的平稳逼近的递归，即Yi（t）＝α席I（t）Zij i，αi i（t）＝α（t）+Mxj＝1αj（t）i。-j（t）+lXj=1βj（t）~σi-j（t）。（E.18）定义Pi（t）：=（Yi（t），~Yi-m+1（t），σi（t），σi-l+1（t）t，ai（t）：=（α（t）ζi，0，0，α（t），0，0）T.时变模型的同时推理65为简洁起见，设Mi（T）=Mi（θ（T））。根据[51]中的第3.1节，模型（E.18）采用了表示法（E.19）~Pi（t）=Mi（t）~Pi-1（t）+ai（t）。因此，~Pi（t）=Gζi（~Pi-Gζi（y，t）=Mi（t）·y+ai（t）。设Wn（y，t）：=Gζn（Gζn-1（…Gζ（y，t）…）。然后我们有了（y，t）- Wn（y，t）=Mn（t）（Wn（y，t）- Wn（y，t））=…=锰-1（t）·…·M（t）·（y）- y） 。使用（AB） （CD）=（A） C） （B） D） ，我们得到（E.20）（Wn（y，t）-Wn（y，t））2=Mn（t）2（Wn（y，t）-Wn（y，t））2=Mn-1（t）2·...·M（t）2·（y）-y）我们从（E.20）和（E.14）thatk（Wn（y，t）中获得- Wn（y，t））2kq≤ kMn-1（t）2kq·。。。公里（吨）2kq（y）- y）2=公里（吨）2kqN-1·（y）- y）2.根据（E.16），[52]中的定理2给出了存在性和a.s。

~Yi（t）=H（t，Fi）的唯一性，supt∈[0,1]k~Y（t）k~q<∞ 还有监督∈[0,1]δ≈Y（t）~q（k）=kYi（t）-■易（t）*对于某些0<c<1的情况，kq=O（ck）。这显示了假设E.5（A6\'）。我们现在的目标是展示E.5（A5\'）。（E.19）表示（E.21）~Pi（t）=∞Xk=0K-1Yj=0Mi-j（t）人工智能-k（t）。因此我们对t，t∈ [0,1]：π（t）-~Pi（t）=∞Xk=0k-1Xl=0Ck，l+∞Xk=0Ck，其中ck，l:=nL-1Yj=0Mi-j（t）· {Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）}·K-1Yj=l+1Mi-j（t）oai-k（t）Ck：=K-1Yj=0Mi-j（t）· （哎-k（t）- 人工智能-k（t））.66 S.KARMAKAR等人，我们得到（~Pi（t）-~Pi（t））2=∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0Ck，l 克，我+∞Xk，k=0k-1Xl=0{Ck，l Ck+Ck Ck，l}+∞Xk，k=0Ck Ck，尤其是，它保持了组件级的thatk（~Pi（t）-~Pi（t））2kq≤∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0CK，l Ck，lkq+∞Xk，k=0k-1Xl=0{kCk，l Ckkq+kCk Ck，lkq}+∞Xk，k=0kCk Ckkq.（E.22）对于（E.22）中的第一个总结，我们只调查l<l<k<k的情况。由于出现了类似的术语，所有其他情况都可以进行类似的处理。我们有（AB） （CD）=（A） C） （B） D） ：Ck，l 克，我=L-1Yj=0Mi-j（t）2.·{Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）} 惯性矩-l（t）·L-1Yj=l+1Mi-j（t） 惯性矩-j（t）×惯性矩-l（t） {Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）}·K-1Yj=l+1Mi-j（t）2.·K-1Yj=kMi-j（t） 我×（人工智能）-k（t） 人工智能-（k（t））通过独立性和（E.14），它认为克，我 克，我~q≤ 公里（吨）2klq·k{M（t）- M（t）} M（t）kq·kM（t） 吉隆坡M（t）酒店-L-1~q×kM（t） {M（t）- M（t）}k＠q·kM（t）2kk-L-1~q·kM（t） Ikk-k~q×ka（t） 通过引理E.1和（E.15），（E.16），（E.17），我们得到了带有一些ρ的结果∈ （0,1）和某个常数c>0，克，我 克，我~q≤ ~c·△ρl·k{M（t）- M（t）} M（t）kq· ρl-L-1×公里（吨） {M（t）- M（t）}kq· ρk-L-1·ρk-k=~c·△ρk-2·k{M（t）- M（t）} M（t）kq·公里（吨） {M（t）- M（t）}kq用θ（·）和E[|ζ| 4+a]的Lipschitz连续性同时推断时变模型∞, 柯西-施瓦兹不等式（E.23）k{M（t）-M（t）}M（t）kq≤M（t）-M（t）2q·kM（t）k2q≤ C·t-t |一些常数C>0。

类似的结果公里（吨） {M（t）- M（t）}kq暗示克，我 克，我~q≤ ~c·△ρk-2·C·t- t |。因此，我们有（E.24）X0≤l<l<k<k<∞kCk，l Ck，lkq≤ ~c·c | t- t|·∞Xk=0（k）·ρk-2.对于（E.22）中的第三个summand，我们将只调查k<k的情况。这里我们有Ck=K-1Yj=0Mi-j（t）2.·K-1Yj=k{Mi-j（t）我}·{（ai）-k（t）-人工智能-k（t））（哎-k（t）-人工智能-k（t））}。如前所述，我们得出结论，当一些∧c>0时∈ （0,1）它认为Ck Ck~q≤ ~c·ρk·ρk-k·（a（t）- a（t）） （a（t）- a（t））~q.通过θ（·）和E[|ζ4+a]的Lipschitz连续性∞, Cauchy-Schwarz不等式具有常数C>0（a（t）- a（t）） （a（t）- a（t））~q≤ka（t）- a（t）k2q≤ C·t- t |。我们得到了Ck Ck~q≤ ~c·△ρk·c·| t- t |，因此（E.25）X0≤k<k<∞Ck Ck~q≤ ~cC | t- t|·∞Xk=0kρk（E.22）中的第二个和可以类似于第一个和第三个和。我们从（E.24）和（E.25）中得到，存在一个常数c>0，使得k（~Pi（t）-~Pi（t））2kq≤ ~c·| t- t |。由于π（t）中包含的第一个元素是πYi（t），因此我们特别得到了thatkYi（t）-~Yi（t）k2~q≤ ~c|t- t |，68 S.KARMAKAR等人，即E.5（A5\'）的第二部分，方程式（A.5）。我们现在讨论E.5（A5\'）的第一部分，方程式（A.5）。LetPi:=（Yi，…，Yi）-m+1，σi。。。，σi-l+1）T，那么它认为Pi=Mi（i/n）·Pi-1+ai（i/n），i=1。。。，n、 定义为P=~P（0）。因此，PIIK定义明确，kYik2q<∞ 存在。

因此，我们有代表=∞Xk=0K-1Yj=0Mi（i- jn∨ 0)· 人工智能-k（i）- 千牛∨ 0），这将导致（Pi-■Pi（i/n））2=h∞Xk=0nK-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)-K-1Yj=0Mi-j（英寸）oai-k（i）- 千牛∨ 0)+∞Xk=0K-1Yj=0Mi-j（英寸）{ai-k（i）- 千牛∨ 0) - 人工智能-k（in）}i2=∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0Dk，l Dk，l+∞Xk，k=0k-1Xl=0{Dk，l Dk+Dk Dk，l}+∞Xk，k=0Dk Dk，其中Dk，l:=nL-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)· {Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）}·K-1Yj=l+1Mi-j（英寸）oai-k（i）- 千牛∨ 0）丹麦：=K-1Yj=0Mi-j（i）- jn）· （哎-k（i）- 千牛∨ 0) - 人工智能-k（in））。如（E.22）所示，我们有组件式thatk（Pi-~Pi（in））2kq≤∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0kDk，l Dk，lkq+∞Xk，k=0k-1Xl=0{kDk，l Dkkq+kDk Dk，lkq}+∞Xk，k=0kDk 由于（E.26）几乎与（E.22）具有相同的结构，我们只讨论（E.26）对于l<l<k<k的第一次总结中出现的新方面 Dk，l=L-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)2.·{Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）} 惯性矩-l（英寸）×L-1Yj=l+1Mi-j（英寸） 惯性矩-j（i）- jn∨ 0)·惯性矩-l（英寸） {Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）}×K-1Yj=l+1Mi-j（英寸）2.·K-1Yj=kMi-j（英寸） 我×（人工智能）-k（i）- 千牛∨ 0)  人工智能-k（i）- 千牛∨ 0)).使用（E.14）和独立性，我们得到了Dk，l Dk，l~q≤L-1Yj=0kM（i- jn∨ 0)2kq· k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq×L-1Yj=l+1kM（英寸） M（我）- jn∨ 0）k~q×公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - 米（英寸）}k!q·公里（英寸）2kk-L-1~q×kM（英寸） Ikk-k~q·a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）q.（E.27）定义A（t，t）：=kM（t）M（t）kq。

从（E.15）中，我们得到ρ：=supt，t∈[0,1]ρ（A（t，t））<1。我们可以直接推广引理E.2（用[0，1]代替[0，1]作为a的定义域），从而得出存在一组有限的可逆矩阵M。。。，MLA有限分区[0,1]=SLk=1INTO矩形Ik [0，1]使得对于（t，t）∈ Ik，|A（t，t）|Mk≤1 + ρ< 1.类似于引理E.3的证明，等式（E.2），这表明存在常数C=C（L）>0，这样L-1Yj=0kM（i- jn∨0)2kq≤ C（L）·1 + ρL公里（英寸）2kk-L-1~q≤ C（L）·1 + ρK-L-1,70 S.KARMAKAR等人和L-1Yj=l+1kM（英寸） M（我）- jn∨ 0）k~q≤ C（L）·1 + ρL-L-1，作为（E.17）的含义，公里（英寸） Ikk-k~q≤ C（L）·1 + ρK-k、 将这些结果转化为（E.27）收益率Dk，l Dk，l~q≤ C（L）1 + ρK-2·k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq×公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）}kq×a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）~q.（E.28）如（E.23）所述，我们获得k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq≤ C·ln，公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）}kq≤ C·ln，常数C>0，与i，l，l，k，k，n和a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）~q≤ C.插入（E.28）并使用l<l<k<kyieldsDk，l Dk，l~q≤ C（L）C1 + ρK-2·（k）n，因此X0≤l<l<k<k<∞Dk，l Dk，l~q≤C（L）Cn·∞Xk=01 + ρK-2·（k）。（E.26）中所有其他可能性和总和的类似计算表明：（~Pi）-■Pi（i/n））2.~q≤有些D>0，与i，n无关。我们得出结论：易-~Yi（识别号）~q≤Dn，时变模型的同时推断，显示了E.5（A5\'）的第一部分，方程（A.5）。设∑（x，θ）：=（σ（x，θ），σ（x（l）-1)→, θ） ）和A（x，θ）：=（α+Pmj=1αjxj，…，α+Pmj=1αjxj+l-1） T和b（θ）=β. . . . . . . . . βl10。0.....................0 . . .

0 1 0.如[36]中定理2.1所述，ρ（EM（θ）2） <1是参数为θ的相应GARCH过程具有4阶矩的充分必要条件。我们的结论是ρ（EM（θ））<1，而[19]中的命题1意味着ρ（B（θ））<1。我们有明确的表示（E.29）σ（x，θ）=∞Xk=0B（θ）kA（xk→, θ).因为A（0，θ）=（α，0，…，0）T，我们有σ（0，θ）=α∞Xk=0（B（θ）k）。从（E.29）我们还得到（E.30）σ（x，θ）=c（θ）+∞Xj=1cj（θ）·Xj，其中cj（θ）≥ 0满意度（E.31）supθ∈Θ| cj（θ）|≤ C·ρj和一些ρ∈ （0,1）和c（θ）≥ σmin>0（由于α≥ αmin>0）。由于显式表示（E.29）具有几何衰减的总和，很容易看出σ（x，θ）是（E.32）连续可微w.r.t.θ的四倍kθ（σ（x，θ））=kθc（θ）+∞Xj=1kθcj（θ）·xj，k∈ {0,1,2,3,4}，其中(kθcj（θ））jis仍然随supθ呈几何衰减∈Θ|kθcj（θ）|∞≤ 比如说C·ρj。72 S.KARMAKAR等人从（E.32）中得出结论，k=0,1,2,3时（分量方面）：|kθ（σ（x，θ））- kθ（σ（x，θ））|≤ C | x- x |（ρj）j，1，（E.33）|kθ（σ（x，θ））- kθ（σ（x，θ））|≤ |θ - θ|·supθ∈Θ|k+1θ（σ（x，θ））|∞≤ C |θ- θ|·|x |（ρj）j，1。（E.34）我们得到，`（y，x，θ）是四次连续可微的，`（y，x，θ）=yσ（x，θ）+log（σ（x，θ））,θ`（y，x，θ）=θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）1.-yσ（x，θ）,θ`（y，x，θ）=h-θ（σ（x，θ））θ（σ（x，θ））T2σ（x，θ）+θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）i1.-yσ（x，θ）+θ（σ（x，θ））θ（σ（x，θ））T2σ（x，θ）·yσ（x，θ）。[19]中定理2.1的证明表明θ7→ L（t，θ）=E`（~Z（t），θ）在θ=θ（t）中唯一最小化，这显示了假设E.5（A3\'）。比如命题的证明。4，我们得到v（t）=Eθ（σ（~X（t），θ（t）））θ（σ（~X（t），θ（t）））T2σ（~X（t），θ（t））= I（t）Eζ- 1.此外，θ`（z（t），θ（t））=θ（σ（~Xi（t），θ（t）））2σ（~Xi（t），θ（t））{1- ζi}，这表明θ`（Zi（t），θ（t））是一个鞅差序列w.r.t.Fi。因此∧（t）=I（t）。

文献[19]中定理2.2的证明表明，V（t）对每一项都是正定义∈ [0, 1]. 通过连续性，我们得出结论，假设E.5（A4\'）已完成。假设E.5（A1\'）的证明：它认为2 |`（y，x，θ）-`（y，x，θ）|≤ |Y-y |·σ（x，θ）+y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）+|对数（σ（x，θ））-log（σ（x，θ））|。因为σ（x，θ）≥ σmin>0，对数的Lipschitz连续性[σmin，∞) （E.31）存在一些常数C>0，使得（E.35）2 |`（y，x，θ）-`（y，x，θ）|≤ C（| y）-y |+| x-x |（ρj）j，1）+y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）.时变模型的同步推理σ（x，θ）-σ（x，θ）≤P∞j=0cj（θ）|xj。xj |σ（x，θ）σ（x，θ）≤∞Xj=1cj（θ）|Xj- xj |（σmin+cj（θ）xj）（σmin+cj（θ）xj）≤σmin∞Xj=1cj（θ）|Xj- xj |σmin+cj（θ）|xj- xj |。最后一步之所以成立，是因为以下参数：它要么成立| xj-xj|≤ xjor | xj-xj|≤xj自从xj，xj≥ 因此，分母中的一个因子可以由σmin下界，另一个因子由σmin+cj（θ）|xj下界-xj |。遵循[19]的思想，对于任意小的>0，我们使用不等式x1+x≤ 获得σ（x，θ）-σ（x，θ）≤σ4+2smin∞Xj=1cj（θ）s |Xj- xj|s≤Cσ4+2smin | x- x | s（ρjs）j，sTogether与（E.35），我们得到（E.13）。直接使用（E.35）和（E.33），我们得到了supθ∈Θsupz6=z |`（z，θ）- `（z，θ）| | z- z |（ρj）j，1·（1+| z | 2M-1（ρj）j+| z | 2M-1（ρj）j）<∞.注意，对于一些常数C>0,2 |`（z，θ）- `（z，θ）|≤ |y |·hσ（x，θ）-σ（x，θ）i+| log（σ（x，θ））- 对数（σ（x，θ））|≤ C（1+| y |）·|σ（x，θ）- σ（x，θ）|。与（E.34）一起，我们得到了supθ6=θsupz | `（z，θ）- `（z，θ）| |θ- θ|·（1+| z | 2M（ρj）j+|z | 2M（ρj）j）<∞.这表明`∈ H（2M，（ρj）j，\'C）以及一些适当选择的\'C>0。设s>0是任意的。[19]，（4.25）中显示，对于一些小的ι>0仅取决于s，Θ，它认为（E.36）sup |θ-θ|<ισ（x，θ）σ（x，θ）≤\'C（1+| x | s（ρjs）j，s）。类似地，对于k=1，2，3，我们可以得到（E.37）sup |θ-θ|<ιkθσ（x，θ）∑（x，θ）≤\'C（1+| x | s（ρjs）j，s）.74 s。

KARMAKAR等人在下面我们展示θ` ∈ H（2M（1+s），（ρj）j，\'C）以及一些适当选择的\'C>0。我们有（组件方面）：2|θ`（y，x，θ）- θ`（y，x，θ）|≤ |Y- y |·σmin|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+|y |·σ（x，θ）-σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+| y |σmin·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.33）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.38）2|θ`（y，x，θ）- θ`（y，x，θ）|≤“C|z”- z |（ρj）j，1·（1+| z | 2M-1（ρj）j+| z | 2M-1（ρj）j）1+s.我们有（分量方面）：2|θ`（z，θ）- θ`（z，θ）|≤ |y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+| y |σmin·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.33）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.39）2|θ`（z，θ）- θ`（z，θ）|≤\'C|θ- θ|·（1+| z | 2M（ρj）j+|z | 2M（ρj）j）1+s。我们从（E.38）和（E.39）得出结论：θ` ∈ H（2M（1+s），（ρj）j，\'C）。证明θ′在（E.33）、（E.34）和（E.37）中类似，因此省略。设s>0是任意的，且ι>0使得（E.36）和（E.37）成立。在下面的例子中θ~` ∈ Hmultι（M（1+s），（ρj）j，\'C）与一些合适的选择\'C>0。

它认为θ∧`∧θ（y，x，θ）=θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）1.- yσ（x，θ）σ（x，θ）.我们有|θ-~θ|< ι:2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤ |y |·h |σ（x，|θ）- σ（x，θ）|σmin+σ（x，θ）σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|i·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+|y |·∑（x，θ）σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.对时变模型的同时推断：使用（E.33）和（E.37），我们得到了（分量方面的）一些适当选择的¨C>0:（E.40）2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤\'C（1+| y |）·x- x |（ρj）j，1·|x | s（ρjs）j，s，我们对|θ有-~θ|, |θ-~θ|< ι:2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤ |y |·∑（x，θ）σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+|y |·∑（x，θ）σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.34）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.41）2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤\'C（1+| y |）·θ- θ|·（1+|x | M（ρj）j）·|x | s（ρjs）j，s.我们从（E.40）和（E.41）得出结论：θ~` ∈ Hmultι（M（1+s），（ρj）j，`C）。证明从（E.33），（E.34）和（E.37）的角度来看，θ*\'是相似的，因此省略了。