时变模型的同时推理

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英文标题：
《Simultaneous inference for time-varying models》
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作者：
Sayar Karmakar, Stefan Richter, Wei Biao Wu
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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英文摘要：
  A general class of time-varying regression models is considered in this paper. We estimate the regression coefficients by using local linear M-estimation. For these estimators, weak Bahadur representations are obtained and are used to construct simultaneous confidence bands. For practical implementation, we propose a bootstrap based method to circumvent the slow logarithmic convergence of the theoretical simultaneous bands. Our results substantially generalize and unify the treatments for several time-varying regression and auto-regression models. The performance for ARCH and GARCH models is studied in simulations and a few real-life applications of our study are presented through analysis of some popular financial datasets.
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PDF下载：
--> Simultaneous_inference_for_time-varying_models.pdf (1006.77 KB)

2022-4-24 15:44:15 上传

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关键词：econometrics SIMULTANEOUS GARCH Models coefficients Presentation

本文采用Sayar KalMakar、斯特凡Rikter和Wi彪o佛罗里达州大学、海德堡大学和芝加哥大学的非平稳时间序列类，对时变模型进行了同步推理。我们使用局部线性M估计来估计时变系数。对于这些估计器，获得了弱Bahadur表示，并用于构造同时置信带。对于实际实现，我们提出了一种基于bootstrapbase的方法来避免理论同时带的缓慢对数收敛。我们的结果实质上概括和统一了几种时变回归和自回归模型的处理方法。通过模拟研究了tvARCH和tvARCH模型的性能，并通过分析一些流行的金融数据集，介绍了我们研究的一些实际应用。1.导言。时变动力系统在统计学、经济学和相关领域的文献中得到了广泛的研究。对于长时间观察到的随机过程，平稳性通常是一种过于简单的假设，即忽略参数与恒定性的系统偏差。例如，在金融数据集的背景下，经验证据表明，外部因素，如战争、恐怖袭击、经济危机、某些政治事件等，会引入此类参数的不稳定性。正如Bai[3]所指出的，“考虑到参数变化的存在，如果不考虑参数变化，可能会导致错误的政策含义和预测”。因此，利用时变模型对未知参数曲线进行函数估计已成为近年来的一个重要研究课题。在本文中，我们提出了半参数时变模型中局部线性估计同时推断的一般设置。

我们的公式足够通用，可以将通常的线性回归、广义回归和几种自回归类型的模型统一起来。在讨论我们在本文中的新贡献之前，我们简要概述了这些领域的一些以前的工作。在回归背景下，在过去二十年中讨论了时变模型，以描述响应和预测因子之间的非恒定关系；例如，参见范和章[17]、范和章[18]、胡佛等人[24]、黄、吴和周[25]、林和英[35]、拉姆齐和西尔弗曼[42]、张、李和宋[54]等。考虑以下两个回归模型I：Yi＝XTI THI I+EI，模型II：II= XTI THE+EI，I＝1，…N、关键词和短语：时变回归、时间序列模型、广义线性模型、同步特征带、高斯近似、BooTrasp2·KalMAKAR等席席∈ Rd（i=1，…，n）是协变量，是转置，θ和θi=θ（i/n）是回归系数。这里，θ∈ Rdi是常数，θ：[0,1]→ Rdisa平滑函数。胡佛等人[24]，蔡[8]）和周和吴[59]等人都考虑了θ（·）的估计。假设检验被广泛用于在模型I和模型II之间进行选择，例如，见张和吴[55]、张和吴[56]、周[10]、布朗、德宾和埃文斯[6]、纳贝亚和田中[38]、莱伯恩和麦卡贝[32]、尼布洛姆[39]、普洛伯格、克拉默和康特鲁斯[41]、安德鲁斯[2]和林和特拉斯维塔[33]。Zhou和Wu[59]讨论了在模型i中获得同时置信带（SCB），即加性误差。然而，它们的处理在很大程度上是基于封闭形式的解决方案，并没有扩展到由更一般的递归定义的过程。

此前，人们对这方面的时变模型知之甚少。时变线性回归的结果可以自然地推广到时变、MA或ARMA过程。然而，对于条件异方差（CH）模型，这种扩展并不明显。这些数据很难估计，但在分析和预测金融数据集时通常更有用。自从Engle[15]引入了经典的ARCHmodel，Bollerslev[5]将其扩展为更一般的GARCH模型以来，这些仍然是分析和预测股市数据集某些趋势的主要工具。由于市场很容易受到频繁变化的影响，跨时间的不均匀性是一种自然现象。一些参考文献指出，有必要将这些经典模型扩展到参数可以随时间变化的环境中；例如，Staricaand Granger[47]，Engle and Rangel[16]和Fryzlewicz，Sapatinas和Subba Rao[20]。对于CH设置中的时变参数模型，许多著作讨论了CUSUM类型的程序，例如Kim、Cho和Lee[29]，用于测试GARCH（1,1）时间序列的参数变化。Kulperger等人[31]研究了基于残差的高动量部分和过程，并将其应用于Garch模型中的残差CUSUM检验。感兴趣的读者可以在James Chu[26]、Chen和Gupta[9]、Lin等人[34]、Kokoszka等人[30]或Andreou和Ghysels[1]的CH模型中找到更多变化——点检测结果。从历史上看，在分析金融数据集时，解释参数曲线时变性质的常见做法是以特定方式转移固定工具/方法。例如，在Mikosch和Starica[37]中，作者分析了1953-1990年的S&P500数据，并提出，由于时间跨度如此之长，时变参数更合适。

他们重新估计了100个样本点的每个区块的参数，为了考虑系数的突然变化，他们对大小为100、200等的样本进行了参数估计。这种处理方式不同于时间范围内不同部分估计器的不同可靠性。在经济数据集分析之外，还有一些例子，类似的时间范围划分方法也适用于Fit CH类型的模型。例如，在Giacometiet al.[22]中，作者使用AR（1）ARCH（1）模型分析了1960-2003年间意大利的死亡率，并观察到逐年系数的突变行为。我们的框架可以同时捕获这些模型，并与时变模型和神经治疗的同时推断相比，提供了显著的改进。Dahlhaus和Subba Rao[14]提供了一个时变框架和使用局部平稳ARCH模型的M估计的逐点曲线估计。此后，虽然在tvARMA和Tvarch案例中讨论了几种逐点方法（参见Dahlhaus和Polonik[12]、Dahlhaus和Subba Rao[14]、Fryzlewicz、Sapatinas和Subba Rao[20]），但在Rohan和Ramanathan[45]和Rohan[44]中讨论了GARCH（1,1）和GARCH（p，q）模型的tvGARCH过程估计的逐点理论结果。尽管条件异方差模型在分析许多不同类型的计量经济数据时仍然广受欢迎，但该领域的同时推断主题仍然相对未被触及。考虑简单的TVARCH（1）模X=αi I席I，ZiI~ N（0，1），σi=α（i/N）+α（i/N）Xi-1.通常认为，对于大量实现，相应的参数α，α随时间平滑变化，可以建模为平滑函数α，α：[0，1]→ R

这些函数的逐点置信区间无助于推断其总体模式（如恒常性测试或某些特定参数形式）。虽然oneremedy可以主观地假设α、α的某类函数，如线性或多项式，并进行假设检验，但对于许多现实数据集来说，这可能是个问题。例如，请参见第5节中有关USGBP分析的截取函数。我们更倾向于采用一种客观的方法，在这种方法中，我们不假设任何参数形式，并且希望建立有效的同时推理。因此，在本文中，我们推导出了覆盖整个时间间隔t内α、α的同时置信带∈ （0,1）具有给定的置信度。构造完成后，可以一次完成许多假设检验，如像散恒常性、线性等。据我们所知，在这项工作之前，没有推导出非平稳时间序列的同时置信区间的理论结果。接下来，我们将在本文中总结我们的贡献。我们使用Bahadur表示法、来自Zhou和Wu[58]的高斯近似定理以及高斯过程的极值理论来获得非常一般时变模型中参数曲线对比度的同时置信带。这些区间提供了从测试参数恒常性到测试任何特定参数形式（如线性、二次、指数等）的推广。为了处理偏差扩展，我们使用了最近在Dahlhaus、Richter和Wu中形式化的局部统计过程理论[13]。继续讨论我们的结果的一些实际适用性，我们将展示我们的结果如何应用于时变ARCH和GARCH模型。

对于tv（G）ARCH模型，我们改进了[21]中的现有条件（我们只需要创新过程对某些a>0有4+a矩，而其中需要8个矩），以构建置信区间，并提供同步而非逐点置信区间。我们提供了一个经验证明，说明了如何通过一种野生自举技术显著提高覆盖率，并使用高斯近似理论从理论上建立了它。最后，我们还提供了一些数据分析和波动预测。首先，我们通过大量真实数据集4 S.KARMAKAR等人证明，在短期预测中，时变函数比时间常数函数做得更好。这突出了决定是使用常数模型还是时变模型的重要性。从我们的分析中，一个有趣的发现是，同时推理可以产生一个子集是时变的模型，这些半时变模型有时可以实现统计可信度和更好的预测能力。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们陈述了两类特定的时间序列模型和相关假设。为了更好地聚焦和可读性，我们决定将论文的范围缩小到这些特定的模型。然而，我们的M估计理论结果和SCB允许处理更一般的模型。附录中给出了更一般的假设（参见其中的假设A.1）。第3节我们提供了我们的主要结果，即参数函数估计量的Bahadur表示和相关对比的SCB结果。第4节专门讨论使用SCB时出现的实际问题，如估计器色散矩阵的估计、带宽选择和克服理论SCB缓慢对数收敛的野生自举过程。

在第5节中可以找到一些总结的模拟研究和实际数据应用。主要结果的证明被推迟到附录中，而tvGARCH过程的几个更基本的引理和更一般的假设集的证明可以在补充材料中找到。2.模型假设和估计。2.1. 模型。假设ζi，i∈ Z是一系列i.i.d.随机变量。我们考虑以下两种时间序列模型。在这两种情况下，Θ表示第2.3节中规定的参数空间案例1：递归定义的时间序列。假设我，n、 （2.1）Yi=u（Yi）-1.易-p、 θ（i/n））+σ（Yi）-1.易-p、 θ（i/n））ζi，其中θ=（α，…，αk，β，…，βl）T:[0，1]→ Θ  Rk+l+1和u（x，θ）：=kXi=1αimi（x），σ（x，θ）：=lXi=0βiνi（x）1/2，带有一些功能mi:Rp→ R、 νi:Rp→ R≥0.输入Xci=（Yi）-1.Y1∨（一）-p） ，0，…）T.例如，该模型包括tvARMA和tvARCH模型案例2：tvGARCH。对于i=1，n，考虑递归y=＝Sigi i，i＝α（i/n）+Mxj＝1αj（i/n）i。-j+lXj=1βj（i/n）σi-j、 式中θ=（α，…，αm，β，…，βl）：[0，1]→ Θ  Rm+l+1。放Xci:=（Yi）-1.Y、 0，0，…）。时变模型的同时推理5案例1并不直接涵盖tvGARCH模型，因此我们在本文中分别使用它作为案例2。在这两种情况下，我们的目标都是通过观测值Zci=（Yi，Xci），i=1，n、 2.2。估计器。本文主要研究局部M估计：设K（·）∈ K、 其中K是带支撑的非负对称核族[-1,1]这两个变量在[-这样的-1 | K（u）| du>0。我们把负条件高斯似然作为目标函数‘（z，Th）。

在情况1中：`（y，x，θ）=hY- u（x，θ）σ（x，θ）+ logσ（x，θ）i，在情况2中：`（y，x，θ）=hyσ（x，θ）+log（σ（x，θ））i，其中，σ（x，θ）通过σ（x，θ）=α+Pmj=1αjxj+Plj=1βjσ（xj）递归定义→, θ） 还有xj→:= （xj+1，xj+2，…）。对于某些带宽bn>0，定义局部线性似然函数（2.2）Lcn，bn（t，θ，θ）：=（nbn）-1nXi=1Kbn（t- i/n）`（Zci，θ+θ·（i/n）- t） ，式中Kbn（·）：=K（·/bn）。让我们：[-R、 R]k，其中一些R>0。θ（t），θ（t）的局部线性估计由（2.3）（^θbn（t），bθbn（t））=argmin（θ，θ）给出∈Θ×ΘLcn，bn（t，θ，θ），t∈ [0, 1].作为以上损坏的一个注记，我们考虑了目标函数的一个非常特殊的C形式。在附录中，我们允许“更一般”。基本上，它必须是两次连续可区分的，并且与时间序列模型“兼容”。一位裁判问，是否也可以放松对“的差别”的假设。通过使用[28]中更清晰、更近期的高斯近似结果和依赖数据的经验处理结果，可能会出现松弛。然而，这将显著增加`假设的复杂性，因为它的平滑度用于证明中几个完全不同的关键步骤，如Bahadur表示、偏差扩展和基础依赖的量化。2.3. 假设。对于我们的主要结果，我们需要对timeseries模型进行以下假设。假设2.1（案例1）。假设6 S.KARMAKAR等人。ζi等于i.i.d.，Eζi=0，Eζi=1，对于某些a>0，E|ζi|（2+a）M<∞. 这里，M=3。在特殊情况下σ（x，θ）≡ β、 可以选择M=2.2。尽管如此，t∈ [0,1]，集合{m（~X（t）），…，mk（~X（t））}，{ν（~X（t）），…，νl（~X（t））}在l（P）中（分别）线性独立。

存在（κij）∈ Rk×p≥0，（ρij）∈ R（l+1）×p≥0使所有i：（2.4）supx6=x | mi（x）- 米（x）| | x- x |κi·，1≤ 1，supx6=x | pνi（x）-pνi（x）| |x- x |ρi·，1≤ 1.设νmin>0为常数，使得对于所有x∈ R、 ν（x）≥ νmin.当某些βmin>0时，选择Θ Rk×Rl+1≥βm等于所有θ∈Θ（2.5）pXj=1kXi=1 |αi |κij+kζk2M·lXi=0pβiρij< 1.4. Θ Θ是紧凑型的，并且始终∈ [0,1]，θ（t）位于Θ的内部。θ（·）的每个分量都在C（[0，1]）中。对于tvAR（k）模型（参见[43]，示例4.1），可以选择p=k，m（x）=x。。。，mk（x）=xk，l=0，ν（x）=1，导致相当强的条件pki=1 |αi |<1 in（2.5）。然而，正如附录中命题E.4的证明所示，条件（2.5）仅用于保证过程和相应时刻的存在。通过使用对模型更具体的技术，我们可以获得更不严格的假设，例如Θ是{θ=（α，…，αk，β）的紧子集∈ Rk×（0，∞) : α（z）=1+kXi=1αizihas仅为单位圆}外的零，参见[43]，示例4.1。在tvARCH情况下，上述假设2.1要求E|ζ6+a<∞有一些a>0。在下文中，我们考虑案例2，TVGARCH模型。在这个特定的模型中，瞬时条件可以放宽到E |ζ| 4+a<∞. 例如，在Francq和Zakoian[19]的静止案例中研究了tvGARCH模型。最近，在Rohan和Ramanathan[45]中获得了逐点渐近结果。对于矩阵a，我们将kakq:=（kAijkq）ij定义为k·kq的组件应用。对于矩阵A，B，设A b注意Kronecker产品和（2.6）Ak=A . . .  Adonte是k-fold Kronecker产品。设ρ（A）表示A的谱范数。时变模型的同时推断假设2.2（情况2）。设f（θ）=（α，…，αm，β，…，βl）并设ej=（0，…，0，1，0。