时变模型的同时推理

电视和电视台TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT5 0.020欧元0.019英镑0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 292.3.469 2.307 1.463 1.741 1.216SP500 0.371 0.503 0.328 0.2760 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3380.2430.5580.2290.4880.232 0.4330.206NYSE 0.375 0.3290.3740.2070.2710 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.347 1.151 0.825 0.982 0.681 0.834 0.5815.3.2。一步预测和半时变推理模型。我们使用以下一步领先的AMSE（灵感来源于[45]）来验证我们的模型：AMSE=nnXi=1（Xi- ^σ（i/n））。这里，Xtare是对数收益率，^σ（·）是指使用ARCH（1）表示外汇数据集，使用GARCH（1,1）表示股市指数的拟合模型。

在每一行中，我们用粗体显示最好的型号。请注意，此处展示的示例表明，与时变模拟相比，时间常数模型通常具有较差的一步预测质量。然而，从表6可以看出，在一些时变模型中，我们有一部分参数并没有拒绝时间恒定性假设。我们怀疑，将subsetof参数设置为时间常数，并允许其余参数随时间变化，可以改善这两种模型的预测。该分析的一个结论是，对于一些数据集（如USGBP），半时变模型在预测方面可能优于时间常数模型。请注意，可以很容易地定制和找到时间常数，以实现甚至更好的预测，但这些模型对于已经观察到的数据没有适当的可信度（就接近真实模型而言）。上表中24秒的数字。

KARMAKAR等人表6预测波动率：在渐近95%正确时变，半时变和时间常数模型指数（opt^bn）时变时间常数时间常数系数半时变模型GBP（0.26）0.570109 0.5956046α0.5697231USCHF（0.24）45.42274 45.61378无Nauscad0.1604907 0.1672808α0.1616965EURBP（0.34）0.778459 0.789287α0.7837281EURSD（0.23）0.3234517 0.3399221 NASP Merval（0.026）226α，β61.58843SP500 old（0.29）26.48272 26.12195 None NASP500 None NANASDAQ（0.22）3.543.527918α，β3.529355Wilshire 5k（0.35）1.943517 1.964926α，α，β1.972347 FTSE（0.45）3.650331 3.687818 None NANASDAQ（0.405）5.4258546 5.446805α，β5.611163Smallcap（0.35）12.36647 12.56344，β12.537924α，纽约证券交易所，β5.287622DAX（0.44）9.908042 9.987583 None-NAApple（0.27）48.06839 46.4968 None-NAMicrosoft（0.39）38.08752 38.33715 None-NAAXP（0.28）37.39755 37.90381α，β38.1988半时变列，我们保持时变系数不变，并在完全在带内的水平线中寻找最佳（以AM-SE为单位）常数。在这里，我们还想提出一个警告：注意，半时变分析有点特殊。原则上，也可以通过仅将适当的子集设置为时变且保留为时间常数来重新运行优化。我们已经用上述多个数据集对此进行了检查，并且THAMSE与上述报告没有太大差异。这一分析的主要结论是，我们的时变函数虽然不是用于预测，并且仅用于建立同时的置信区间，但可以比相应的时间常数更好地实现预测。此外，我们的理论还可以产生新的模型，这些模型只具有时变系数的子集。6.确认。

我们感谢编辑、副编辑和两位匿名推荐人，感谢他们在不同环节提出的宝贵意见和反馈，这有助于显著改进本文。这项研究得到了NSF/DMS1405410的部分支持。附录A：技术工具和更一般的假设A。1.功能依赖性度量。为了说明我们在整个附录中使用的依赖结构，我们使用Wu[50]中所做的耦合思想，对基础过程引入了功能依赖度量。设q>0，设Zi，时变模型的同时推理25i∈ Z一个平稳的过程，它允许因果表示Zi=J（ζi，ζi）-1, . . .).（A.1）假设（ζ）*i） 我∈ZI是（ζi）i的独立副本∈Z.对于一些随机变量Z，letkZkq:=（E | Z | q）1/qdenote Z的Lq范数≥ 0，定义功能相关性测量δZq（i）=kZi- Z*ikq，（A.2）其中Z*i=J（F）*i） withF*i=（ζi，ζi）-1, ··· , ζ, ζ*, ζ-1, ζ-2、·（A.3）一个带有ζ的耦合版本，由一个独立副本ζ放置在壁炉中*. 注意，δZq（i）根据qth矩测量了Zionζ的依赖性。尾部累积相关性度量Zq（j）代表j≥ 0定义为Zq（j）=∞Xi=jδZq（i）。（A.4）让α>0。我们将调整后的依赖性度量k·kq，α定义如下（参见[57]）：对于平稳过程Zi=J（ζi，ζi）-1, ...), letkZkq，α：=supm≥0（m+1）αZq（m）。A.2。病例1的H类（M，χ，`C）。为了证明Lcn、B及其导数w.r.t.θ的一致收敛性，我们要求第2.2节中引入的目标函数`在θ方向上保持连续，并在z=（y，x）方向上最多多项式增长，其中度由实数M测量≥ 1.因此，我们将要求`及其衍生物属于H类（M，χ，`C），这一类现已定义。设χ=（χi）i=1,2，。。。是一个非负实数序列，其|χ|：=P∞i=1χi<∞,C>0是一个常数。设| x |χ，s:=（P∞j=1χj | x | s）1/s，并放置|x |χ：=|x |χ，1。放^χ=（1，χ）。函数g:RN×Θ→ 如果supθ，R在H（M，χ，`C）中∈Θ| g（0，θ）|≤\'C，supzsupθ6=θ| g（z，θ）- g（z，θ）| |θ- θ|（1+| z | M^χ）≤\'Candsupθsupz6=z | g（z，θ）- g（z，θ）| | z- z |^χ·（1+| z | M）-1^χ+|z|M-1^χ)≤\'C.如果g是向量值或矩阵值，则g∈ H（M，χ，\'C）意味着g的每个组成部分都是inH（M，χ，\'C）。26 S.KARMAKAR等人A.3。一组更一般的假设。我们展示了在更一般的假设集下的主要定理，这些假设包含过程和目标函数的更多“高级”性质。因此，在我们的证明中，这些假设可以被视为一个“中间测试”：我们首先推导出了在更具体的假设2.1和2.2下所保持的过程的这些高级属性。这些高级假设在假设A.1和E.5中给出。在补充材料末尾的E节中，我们表明假设2.1意味着假设A.1，假设2.2意味着假设E.5。为了保持陈述的简洁，我们仅在本文的主要部分陈述假设A.1。每个t∈ [0, 1],

设| x |χ，s:=（P∞j=1χj | x | s）1/s，并放置|x |χ：=|x |χ，1。放^χ=（1，χ）。函数g:RN×Θ→ 如果supθ，R在H（M，χ，`C）中∈Θ| g（0，θ）|≤\'C，supzsupθ6=θ| g（z，θ）- g（z，θ）| |θ- θ|（1+| z | M^χ）≤\'Candsupθsupz6=z | g（z，θ）- g（z，θ）| | z- z |^χ·（1+| z | M）-1^χ+|z|M-1^χ)≤\'C.如果g是向量值或矩阵值，则g∈ H（M，χ，\'C）意味着g的每个组成部分都是inH（M，χ，\'C）。26 S.KARMAKAR等人A.3。一组更一般的假设。我们展示了在更一般的假设集下的主要定理，这些假设包含过程和目标函数的更多“高级”性质。因此，在我们的证明中，这些假设可以被视为一个“中间测试”：我们首先推导出了在更具体的假设2.1和2.2下所保持的过程的这些高级属性。这些高级假设在假设A.1和E.5中给出。在补充材料末尾的E节中，我们表明假设2.1意味着假设A.1，假设2.2意味着假设E.5。为了保持陈述的简洁，我们仅在本文的主要部分陈述假设A.1。每个t∈ [0,1]，让)Yi（t）=)J（t，Fi）和一些可测函数)J。这个过程作为观察到的过程Yi的平稳近似（参见第3节的引言）。在下面的假设A.1（对于情况1）或假设E.5（对于情况2）中，对必要的属性进行了严格的描述。回想一下，Xi:=（Yj:-∞ < J≤ 我- 1） andZi:=（Yi，Xi）和Xi（t）：=（Yj（t）：-∞ < J≤ 我- 1），席子（t）：＝（i，（t），，x-1（t））。假设A.1。假设有一天≥ 2和一些γ>1，（A1）（θ方向上的光滑度）`是两次连续可微的w.r.t.θ。它承载着`，θ`, θ` ∈ 对于某些M，H（M，χ，\'\'C）≥ 1，`C>0且χ=（χi）i=1,2，。。。用χi=O（i-(1+γ)).（A2）（关于未知参数曲线的假设）Θ是紧的，并且对于所有t∈ [0,1]，θ（t）位于Θ的内部。

θ（·）的每个分量都在C[0,1]中。（A3）（正确的型号规格）适用于所有t∈ [0,1]，函数θ7→ L（t，θ）：=E`（Z（t），θ）被θ（t）唯一最小化。（A4）在（3.1）、（3.2）和（3.3）中定义的矩阵V（t）、I（t）和∧（t）的特征值从下方以λ>0为界，在t（A5）（平稳近似）中一致存在CA、CB、D>0，因此对于所有n∈ N、 i=1，n、 t，t∈ [0,1]：max{kYikrM，kY（t）krM}≤ D、 （A.5）季-~Yi（i/n）krM≤ 可以-1，k~Y（t）-~Y（t）krM≤ CB | t- t |（A6）（弱依赖）支持∈[0,1]δY（t）rM（k）=O（k）-(1+γ)).附录B：定理的证明在本节中，我们分别在更一般的假设A.1或假设E.5下证明了本文中所述定理的有效性。我们利用D节中导出的元素引理。让我们介绍一些符号。对于η=（η，η）∈ Θ×（Θ·bn）=：恩，定义o,cn，bn（t，η）：=（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- t） `（Zci，η+η（i/n- t） b-1n）时变模型和^L的同时推理on、 bn，Lon、 与L类似o,cn，bn，但Zcire分别由Zi（i/n）或Zi代替。此外，putηbn（t）=（θ（t）t，bnθ（t）t。ηbn（t）由^ηbn（t）=（^θbn（t）t，bnbθbn（t）t）t估计∈ argminη∈英语o,cn，bn（t，η）。B.1。定理3.2的证明。定理3.2的证明。根据命题E.4，假设A.1充满了somer>2。根据命题E.6，假设E.5充满了一些r>2。在下文中，我们将分别使用更一般的假设A.1或E.5。引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（假设a.1成立的情况下）或引理。2（i），（iii）（c）和引理D.3（a）（如果假设E.5成立）应用于g=`，我们得到了这个支持∈Tnsupη∈恩| Lo,cn，bn（t，η）- Lo（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中o（t，η）：=Z-1K（x）L（t，η+ηx）dx。就是我o,cn，bn（t，η）收敛于Lo当bn=o（1）和βn=o（1）时，在t，η中均匀地（t，η）。ByLemma D.4，η7→ Lo（t，η）在两个分量中都是Lipschitz连续的。因为θ（t）是θ7的唯一极小值→ L（t，θ），我们得到η（t）=（θ（t）t，0）是η7的唯一极小值→ Lo（t，η）。因为ηbn（t）=（θbn（t）t，bnbθbn（t）t是L的极小值o,cn，bn（t，η），标准参数yieldsupt∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。自从苏普特∈Tn |η（t）- ηbn（t）|=o（1），我们有（B.1）支持∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。因此，对于足够大的n，^ηbn（t）位于t的内部∈ Tn：（B.2）ηbn（t）- ηbn（t）=-五、o（t） +Rn，bn（吨）-1· ηLo,cn，bn（t，ηbn（t）），式中，bn（t）=ηLo,cn，bn（t，η（t））- 五、o（t） 带有一些η（t）∈ 满足|η（t）- ηbn（t）|≤ |ηbn（t）- ηbn（t）|和（B.3）Vo（t） :=100uK，2 V（t）.28 S.KARMAKAR等人通过引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（如果假设a.1成立）或引理。2（i）、（iii）（c）和引理D.3（b）（如果假设E.5成立）适用于g=θ′和^K（x）=K（x），^K（x）=K（x）x或^K（x）=K（x）x，对于某些固定的ι>0，我们有：（B.4）支持∈Tnsup |η-ηbn（t）|<ι|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中（B.5）Vo（t，η）=Z-1K（x）1xx V（t，η+ηx）dx。现在，让我们?嗨（t）=

因为θ（t）是θ7的唯一极小值→ L（t，θ），我们得到η（t）=（θ（t）t，0）是η7的唯一极小值→ Lo（t，η）。因为ηbn（t）=（θbn（t）t，bnbθbn（t）t是L的极小值o,cn，bn（t，η），标准参数yieldsupt∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。自从苏普特∈Tn |η（t）- ηbn（t）|=o（1），我们有（B.1）支持∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。因此，对于足够大的n，^ηbn（t）位于t的内部∈ Tn：（B.2）ηbn（t）- ηbn（t）=-五、o（t） +Rn，bn（吨）-1· ηLo,cn，bn（t，ηbn（t）），式中，bn（t）=ηLo,cn，bn（t，η（t））- 五、o（t） 带有一些η（t）∈ 满足|η（t）- ηbn（t）|≤ |ηbn（t）- ηbn（t）|和（B.3）Vo（t） :=100uK，2 V（t）.28 S.KARMAKAR等人通过引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（如果假设a.1成立）或引理。2（i）、（iii）（c）和引理D.3（b）（如果假设E.5成立）适用于g=θ′和^K（x）=K（x），^K（x）=K（x）x或^K（x）=K（x）x，对于某些固定的ι>0，我们有：（B.4）支持∈Tnsup |η-ηbn（t）|<ι|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中（B.5）Vo（t，η）=Z-1K（x）1xx V（t，η+ηx）dx。现在，让我们hi（t）=θ`（∧Zi（t），θ（t））。请注意，Eh（t）=E假设A.1（A3），（A1）（或假设E.5（A3\'），（A1\'））下的θ`（Z（t），θ（t））=0。通过引理D.7（i）（如果假设A.1成立）或引理D.8（i）（如果假设E.5成立），我们得到了suptδh（t）j2+（k）=suptδθj`（Z（t），θ（t））2+k=O（k）-（1+γ））对于每个j=1，dΘ。

使用单独的引理D.4（如果假设A.1成立）或引理D.6（如果假设E.5成立），我们可以看到引理B.3的条件已完全满足，因此，适用于hi（t），（B.6）supt∈Tn（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- （t）θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（（nbn）-1/2log（n））。用引理C.3，我们得到了∈Tnη^Lon、 bn（t，ηbn（t））- Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））= OP（（nbn）-1/2log（n）+βnbn）。自从Eθ`（Z（t），θ（t））=0，我们用引理C.1（偏差展开结果）和引理D.2（i）得到：（B.7）supt∈Tn|ηjLo,cn，bn（t，ηbn（t））|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+βnbn+b1+jn），其中j=1，2。自θ7→ V（t，θ）=Eθ`（Z（t），θ）是Lipschitz连续的（假设A.1采用引理4，假设E.5采用引理D.6）`), η7的相同holds→ 五、o（t，η）。我们得出结论，当某个常数C>0时，（B.8）supt∈Tn | Rn，bn（t）|≤ 监督∈Tnsupη∈嗯|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|+C支持∈Tn|^ηbn（t）- ηbn（t）|。在（B.2）中插入（B.7），（B.8）和（B.1），我们得到（B.9）支持∈Tn|^ηbn，j（t）- ηbn，j（t）|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+βnbn+b1+jn），时变模型的同时推理，其中j=1，2。在（B.8）中插入（B.9），（B.4），我们得到支持∈Tn | Rn，bn（t）|=OP（βn+bn+（nbn）-1). 连同五、o（t）ηbn（t）- ηbn（t）- Lo,cn，bn（t，ηbn（t））≤I2k×2k+Vo（t）-1Rn，bn（t）-1.- 我-12k×2k· |ηLo,cn，bn（t，ηn（t））|≤I2k×2k+Vo（t）-1Rn，bn（t）-1.·五、o（t）-1Rn，bn（t）· |ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））|，和（B.7）我们得到了断言（3.4）。另一个结果（3.5）来自引理D.2（i）、引理C.3和引理C.1。B.2。定理3.3的证明。在本节中，我们分别在morel一般假设A.1或E.5下证明定理3.3。我们首先引用了一些辅助结果：引理B.1是i.i.d.高斯向量引理B的置信带结果。3通过使用高斯近似结果（定理B.2，参见[53]），将该结果推广到因变量之和。

然后，通过将引理B.3应用于定理3.2中的^θbn的aBahadur表示来证明定理3.3。根据[59]中的引理1，我们对高斯随机向量采用以下SCB结果：引理B.1。设Fn（t）=Pni=1^Kbn（ti）- t） Vi，在哪里Vi，我∈ Z是i.i.d.N（0，Is×s）。bn→ 0和nbn/对数（n）→ ∞. 让我*= 1/10亿。然后（B.10）林→∞Pσ^K，0√nbnsupt公司∈Tn | Fn（t）|- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ）。其中B^Kis在（3.7）中定义。对于下面的结果，我们假设存在一些可测量的函数H（·，·），使得对于每个t∈ [0,1]，~hi（t）=~H（t，Fi）∈ RSI定义明确。把S)h（i）：=Pij=1)hj（j/n）。定理B.2（吴和周[53]的定理1和推论2）。假设每个分量j=1，学生：（a）支持∈[0,1]k~h（t）jk2+h<∞,（b） supt6=t∈[0,1]kh（t）j-~h（t）jk/|t- t|<∞,（c） 监督∈[0,1]δ~h（t）j2+k=O（k）-（γ+1））与一些γ≥ 1.对一些人来说≤ 2.在更丰富的概率空间上，有i.i.d.V，V。~ N（0，Is×s）和一个过程sh（i）=Pij=1∑h（j/N）Vjsuch，即（sh（i））i=1，。。。，nd=（Sh（i））i=1，。。。，nandmaxi=1，。。。，n | Sh（i）- 30 S.KARMAKAR等人，其中（B.11）πn=n（2+2γ+γ）/（2+8γ+4γ）log（n）2γ（3+）/（+4γ+2γ）和∑h（t）=Xj∈ZE[~h（t）~hj（t）t]1/2.下面的引理类似于[59]中的引理2。由于我们使用了定理B.2中的其他高斯逼近率，我们很快给出了完备性的证明。引理B.3。让定理B.2中的假设和符号成立。定义h（t）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） 你好（i/n）。假设∑h（t）是Lipschitz连续的，且其最小特征值在[0,1]上从0一致有界。假设log（n）bnn（2γ+γ）-)/(+4γ+2γ)-1.→ 0和bnlog（n）3/2→ 0.然后（B.12）limn→∞P√nbnσ^K，0支持∈TnΣ-1~h（t）D~h（t）- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ），引理B.3的证明。

根据定理B.2和部分求和，存在i.i.d.Vi~ N（0，是×s）使得（B.13）支持∈（0,1）|D＠h（t）- Ξ（t）|=OPn2+2γ+γ2+8γ+4γlog（n）2γ（3+）+4γ+2γnbn= 操作日志（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1/2（nbn）1/2对数（n）1/2,式中Ξ（t）=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n-t） ∑h（i/n）Vi.这里，（B.13）是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）到期日（n）bnn（2γ+γ）-)/(+4γ+2γ)-1.→ 0.由于∑h（·）在假设（b）下是Lipschitz连续的，我们可以在t中使用一个标准的链式参数（就像引理C.3中对∏n（t）所做的那样），并且（nbn）-1Pni=1（∑h（i/n）-∑h（t））^Kbn（i/n- t） 六~ N（0，vn），带|vn|∞≤ CbNN对于某些常数C>0可获得支持∈（0,1）|Ξ（t）- （nbn）-1∑h（t）nXi=1^Kbn（i/n- t） Vi |=支持∈(0,1)（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） （i/n）- ∑h（t））Vi= 操作bnlog（n）（nbn）1/2= 操作bnlog（n）3/2（nbn）1/2日志（n）1/2,（B.14）时变模型的同时推理，即oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）由于bnlog（n）3/2→ 0.所以结果来自LemmaB。1鉴于（B.13）和（B.14）。定理3.3的证明。根据命题E.4，假设2.1意味着假设A.1具有任意大的γ>0。根据命题E.6，假设2.2意味着假设。5，任意大的γ>0。现在，我们分别在更一般的假设A.1或E.5下证明该陈述。选择足够大的γ>0，以便2γ+γ-+4γ+2γ>αexp.因此我们有（B.15）log（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1.→ 假设是0。让~ki（t）：=θ`（Zi（t），θ（t））和^K（x）=K（x）或^K（x）=K（x）x。定义OhmC（t）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） AC（i/n）t＠ki（i/n）和D＠k（t）=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n- t） ~ki（识别号）。