时变模型的同时推理

让我们≥ 0.假设假设A.1适用于r≥ 1或假设E.5在r>1时成立。定义∏n（t）：=（nbn）-1nXi=1（M（2）i（t，i/n）- EM（2）i（t，i/n）），其中m（2）i（t，u）=^Kbn（u）- t） ZMi（t，u）ds·du（t），Mi（u，t）=θ`（Zi（u），θ（t）+sdu（t））和du（t）=θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）。然后就有常数C，ι>0，这样supt6=t，| t-t |<ι|∏n（t）- πn（t）|t- t|≤~C.引理C.2的证明。我们有| M（2）i（t，u）- M（2）i（t，u）|≤ |^Kbn（u）- （t）-^Kbn（u）- t） | | Mi（t，u）| | du（t）|+|Kbn（u）- t） | |米（t，u）- Mi（t，u）| | du（t）|+|Kbn（u）- t） | | Mi（t，u）| | du（t）- du（t）|.40 S.KARMAKAR等人。如果假设A.1成立，我们有g=θ` ∈ H（M，χ，`C）。初步计算表明| Mi（t，u）|≤ supθ∈|g（|Zi（u），θ）|，|Mi（t，u）- 米（t，u）|≤ supθ∈Θ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u），θ）| |θ- θ|·{|θ（t）- θ（t）|+|du（t）- 只要| t |}- u |<1和| t- t |足够小，我们得到| t- u|≤ 1.在这种情况下- u |<1或| t- u |<1，θ（·）的Lipschitz连续性，θ（·）意味着存在一些常数|C>0，使得|du（t）-杜（t）|≤~C|t-t |，|θ（t）-θ（t）|≤~C|t-t |，| du（t）|≤~C.这意味着| M（2）i（t，u）- M（2）i（t，u）|≤~Cb-1nL^Ksupθ∈|g（|Zi（u），θ）|·t- t |+2 | K|∞~C·supθ∈Θ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u），θ）| |θ- θ| | t- t|+|^K|∞~C·supθ∈|g（|Zi（u），θ）|·t- t |。（C.12）利用引理D.4（i）我们得到了结果。现在假设假设E.5成立。只要| t- t |足够小，n足够大，|u-t|≤ bn（或| u-t|≤ bn）和θ（·）的两次微分意味着supν∈[0,1]|θ（u）-（θ（t）+νdu（t））|<ι，supν∈[0,1]|θ（u）-（θ（t）+νdu（t））|<ι。把<<<<θ（y，x，θ）=g（F（x，θ，y），x，θ）和<<g=θ~`. 根据假设E.5，g∈ Hmultι（M（1+s）、χ（s）、C（s））适用于足够小且大于0的ALL。

然后| Mi（t，u）|≤ sup |θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）|，|Mi（t，u）- 米（t，u）|≤\'C·supθ6=θ，|θ-θ（u）|<ι，|θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）- ~gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）| |θ- θ|×{|θ（t）- θ（t）|+|du（t）- du（t）|，给出了（C.12）的适当结果，从而给出了引理D.6的断言。引理C.3。Let Ui，n（t）：=Kbn（i/n-t） ·（1）（识别号-t） b-1n）T.假设A.1或E.5成立，一些r=2+，>0。然后它就保持住了∈(0,1)η^Lon、 bn（t，ηbn（t））- Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））-（nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（βnbn）。时变模型的同时推理。注意，E假设A.1（A1）、（A3）或假设E.5（A1’，（A3’）下的θ`（Zi（i/n），θ（i/n））=0。放置∏n（t）：=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）[θ`（i/n），θ（t）+（i/n）- t） θ（t））- θ`（Zi（i/n），θ（i/n））]-E[θ`（i/n），θ（t）+（i/n）- t） θ（t））- θ`（Zi（i/n），θ（i/n））]}。我们必须证明这一点∈Tnπn（t）= OP（δnbn）。定义Mi（t，u）：=Rθ`（Zi（u），θ（t）+s（θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）））ds和M（2）i（t，u）=Ui，n（t）Mi（t，u）{θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）}.通过泰勒展开θ`w.r.t.θ，我们有∏n（t）=（nbn）-1nXi=1（M（2）i（t，i/n）- EM（2）i（t，i/n））。我们现在应用了一种类似于引理D.2（iii）证明的技巧，即使用类似于（D.5）的caining参数来证明监督∈（0,1）|∏n（t）|>Qβnbn→ 0，对于一些足够大的Q>0。定义离散化Tn，r:={l/r:l=1，…，r}和r=n。通过引理C.2，我们得到了Q>0:P的马尔可夫不等式辅助-t|≤R-1∏n（t）- πn（t）|>Qβnbn/2= OB-2nr-1βnbn,收敛到0。选择α=1/2。通过引理D.7（iii）或引理D.8（iii）在Q=2+s（s）足够小的情况下应用，我们得到了supusupt | M（2）（t，u）| 2+s（k）=O（k）-(1+γ)).

因此，W2+s，α：=supu∈[0,1]支持∈[0,1]ksupt，η| M（2）i（t，u）| k2+，α=supm≥0（m+1）αsupt | M（2）（t，u）| 2+s（M）=O（bn）（C.13）（该常数与n无关）和W2，α：=supt，ukM（2）i（t，u）k2，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持M（2）（t，u）（M）=O（bn）（C.14）（常数与n无关）。现在，我们应用[57]中的定理6.2（该证明适用于一致函数依赖度量），q=2+s，α=1/2到42 s。KARMAKAR等人（M（2）i（t，i/n））t∈Tn，r，其中l=1∨ #（田纳西州，右）≤ 5对数（n）。对于足够大的Q，我们得到了一些常数Cα，s>0:P监督∈Tn，r |∏n（t）|≥ Qβnbn/2≤Cα，sn·l1+s/2W2+s2+s，α（Q/2）2+s（βnbn（nbn））2+s+Cα，sexp-Cα，s（Q/2）（βnbn（nbn））n~W2，α. N-/2+exp-（nbn）b-1nlog（n）n→ 0，这就完成了证明。附录D：基本结果本节总结了观测值Zi=（Yi，Xi），Xi=（Yj:-∞ < J≤ 我-1） 参数θ∈ Θ. 它们随后被用于定理的证明。根据情况1或情况2，我们引入了不同的引理，它们在不同的条件下几乎陈述了相同的结果。D.1。局部平稳过程均值的一致上界和连锁结果。对于t∈ （0,1）和η∈ En=Θ×（Θ·bn）和一些Lipschitz连续函数^K（Lipschitz常数L^K）和紧支撑[-1,1]（^K以|^K为界）|∞),定义Kbn（·）：=K（·/bn）和（D.1）Gn（t，η）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n-t） ·{g（Zi，η+η（i/n）]-t） b-1n）-Eg（Zi，η+η（i/n-t） b-1n）}。设Gcn（t，η），^Gn（t，η）分别表示相同的量，但用ZciorZi（i/n）代替。在本小节中，我们分别推导了Gn（t，η）、Gcn（t，η）和^Gn（t，η）的一些基本结果。在本文定理的证明中，结果主要应用于：kθ′与k∈ {0, 1, 2}.

引理D.1总结了^Gnin两个酶1和2的Lipschitz性质，引理D.2提供了基于简单链式方法的^gnint，η随机行为的结果，以及引理D.1的Lipschitz结果。最后一个引理D.3讨论了与^Gn有关的几个术语的偏差。引理D.1（^Gn的Lipschitz性质）。让我们≥ 0.（i）让g∈ H（M（1+s），χ，`C）。假设A.1（A5）与r保持一致≥ 1+s。那么就存在一些常数C>0，这样就不存在了∈[0,1]supη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤§C，时变模型的同时推理和supt6=tsupη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|t- t |+|η- η|≤~Cb-2n，（ii）（对于tvGARCH）设g是这样的：~gθ（y，x，θ）：=g（F（x，x，θ，y），x，θ）full fillg∈ Hmultι（M（1+s），χ（s），C（s）），其中χ（s）i=O（i）-(1+γ)). 假设E.5（A5\'）与r保持一致≥ 1+让θ（·）连续。然后存在一些常数C（s）>0，因此∈[0,1]supη6=η|η-ηbn（t）|<ι/2，|η-ηbn（t）|<ι/2|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤~C（s），以及supt6=tsupη6=η|η-ηbn（t）|<ι/2，|η-ηbn（t）|<ι/2|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|t- t |+|η- η|≤C（s）b-2n，引理D.1的证明。（i） 自从g∈ H（M（1+s）、χ、\'C）和| i/n- t|≤ 在这个定理中，它认为（D.2）|Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤\'C|η-η|·（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）-t） |·{2+| Zi（i/n）|M（1+s）^χ+k | Zi（i/n）|M（1+s）^χk}此外，（nbn）-1Pni=1|^Kbn（i/n）- t） |≤ |^K|∞. 我们的结论是supη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤ 2|C^K|∞1+supi|~Zi（i/n）|M（1+s）^χ≤ 2|C^K|∞（1+（D|^χ|）M（1+s））。这就产生了第一个断言。自从g∈ H（M（1+s），χ，\'C），我们有一个常数C>0:|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- （t）-^Kbn（i/n）- t） | supθ{|g（|Zi（i/n），θ）|+kg（|Zi（i/n），θ）k}+（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·| g（| Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）- g（~Zi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|≤B-2nL^K|t- t |+b-1n | K|∞{|η - η|+|η|·| t- t|b-1nx nnXi=1{2+|Zi（i/n）|M（1+s）^χ+k|Zi（i/n）|M（1+s）^χk}44 s。

KARMAKAR等人。自从Enis compact以来，我们有了supη∈En|η<∞. 加上k |Zi（i/n）|M（1+s）^χk≤（D |χ|）M（1+s），我们得到了结果。（ii）我们现在有|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）-~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）.这里，|η- ηbn（t）|<ι/2意味着|（η+η（i/n- t） b-1n）- θ（t）|<对于足够大的n。由于θ（·）是一致连续的，|θ- θ（t）|<ιi/n- t|≤ bn|θ- θ（i/n）|<ι足够大。因为∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s）），我们得到|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤\'C（s）|η- η|（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·{（1+| Xi（i/n）|Mχ）1+s（1+|ζi | M）1+s+k（1+| Xi（i/n）|Mχ）1+s（1+|ζi | M）1+sk），给出结果。我们有|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- （t）-^Kbn（i/n）- t） |×sup |η-ηbn（t）|<ι/2{|gθ（i/n）（ζi，| Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|+kgθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）k}+（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·|gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）-~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|。与之前相同的论证允许我们使用∧gθ（i/n）w.r.t.θ的Lipschitz性质，给出结果。引理D.2。让γ>1。对于s≥ 0，设χ（s）i=（χ（s）i）i∈Nbe一个χ（s）i=O（i）的序列-(1+γ)). 回想一下（D.1）中的符号。假设（在下面的断言（a）中）假设a.1（A5），（A6）或（在下面的断言（b），（c）假设E.5（A5\'），（A6\'）与下面的某些特定r保持一致。时变模型的同时推理45（i）Let r≥ 1 + ,  ≥ 假设=0和g∈ H（M，χ（0），\'C（0））或>0，对于所有足够小的s>0，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s））。监督∈（0,1）supη∈En|^Gn（t，η）- Gcn（t，η）|k=O（（nbn）-1).（ii）修复t∈ [0,1]并假设nbn→ ∞.

让r≥ 1 + ,  > 0.（a） 如果所有s>0足够小，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是supη∈En | Gn（t，η）|=oP（1）。（b） 如果对于所有足够小的s>0，则＠g＠θ（y，x，θ）：=g（F（y，x，x，θ），x，θ）full fills＠g∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s）），然后sup|η-ηbn（t）<^Gn（t，η）|=oP（1）如果bn→ 0.（c）如果所有s>0足够小，g=`full fill（E.13）和g∈ H（2M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是supη∈En | Gn（t，η）|=oP（1）。（iii）让r≥ 2 + ,  > 0. 定义βn=对数（n）1/2（nbn）-1/2b-1/2n。（a） 如果所有s>0足够小，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是SUPT∈（0,1）supη∈En | Gn（t，η）|=OP（βn）。（b） 如果g是这样的，那么gθ（y，x，θ）：=g（F（y，x，θ），x，θ）满填充g∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s））对于足够小的s>0，则支持∈（0,1）sup |η-ηbn（t）|<ι|^G（t，η）|=OP（βn）。（c） 如果所有s>0足够小，则填充满g（E.13）和g∈ H（2M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后支持∈（0,1）supη∈En | G（t，η）|=OP（βn）。引理D.2的证明。我们缩写为χ=χ（s）和“C=”C（s）。（i） 通过引理D.4（i）、（ii），我们得到了一些C>0:ksupθ的结果∈Θ| g（Zi，θ）- g（Zci，θ）|k≤ C∞Xj=0^χjkZij- ZcijkM≤ 2C∞Xj=iχjkZijkM≤ 2CD∞Xj=iχj.46 S.KARMAKAR等人。类似地，对于一些C>0的thatksupθ∈Θ| g（Zi，θ）- g（~Zi（i/n），θ）|k≤ C∞Xj=0^χjkYij-~Yij（输入/输出）公里≤ CCA |χ| n-1.Thusk supt∈（0,1）supη∈En|^Gn（t，η）- Gcn（t，η）|k≤ |K|∞（nbn）-1nXi=1ksupθ∈Θ| g（~Zi（i/n），θ）- g（Zci，θ）|k≤ 2CD | K|∞（nbn）-1nXi=1∞Xj=iχj+|K|∞CCA |χ|（nbn）-1=O（（nbn）-1).最后一步是由于χj=O（j-（1+γ）），因为这意味着Pni=1P∞j=iχj=O（1）。从引理D.5来看，假设E.5下的屋顶是相似的。（ii）（a）修正Q>0。让κ>0。设E（κ）nbe为每个η的Ensuch的离散化∈ Enone可以找到η∈ E（κ）n带|η-η|≤ κ. 注意#E（κ）n不需要依赖于n。

然后supη∈En | Gn（t，η）|>Q≤ #E（κ）nsupη∈恩普|^Gn（t，η）|>Q/2+P（sup |η）-η|≤κ|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Q/2）。（D.3）根据马尔可夫不等式，我们得到了0≤ s≤ 、 P|^Gn（t，η）|>Q/2≤k^Gn（t，η）k1+s1+s（Q/2）1+s。使用伯克霍尔德矩不等式（参见[7]）和引理D.7（i）应用于Q=1+s，s>0足够小的情况下，计算k^Gn（t，η）k1+s（D.4）≤ （nbn）-1.∞Xl=0nXi=1^Kbn（i/n- t） 圆周率-lg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）1+s≤ s-1（nbn）-1.∞Xl=0nXi=1^Kbn（i/n- t） 圆周率-lg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）（1+s）/2（1+s）/21/（1+s）≤ s-1（nbn）-s/（1+s）| K|∞∞Xl=0supt∈[0,1]δsupθ∈|g（|Z（t），θ）|1+s（l）=O（（nbn）-s/（1+s）），时变模型的同时推理表明（D.3）中的第一个和趋于零。第二个夏天，LemmaD。1（i）impliesP（sup |η）-η|≤κ|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Q/2）≤~CκQ，通过选择足够小的κ，可以使其任意变小。我们已经证明，对于n，D.3趋于零→ ∞.（b） 通过使用D.1（ii）和引理D.8（i）代替引理D.1（i）和引理D.7（i），证明类似于（a）。（c） 通过使用引理D.7（i）（*）而不是引理D.7（i），证明类似于（a）。（iii）（a）我们使用链接论点。设r=n，n，rbe为每η∈ Enone可以找到η∈ En，rwith |η- η| ≤ R-1.将Tn，r:={i/r:i=1，…，r}定义为（0，1）的离散化。然后#（En，r×Tn，r）=O（r2dΘ+1）。对于Q>0的常数，我们有supη∈嗯，t∈（0,1）|^Gn（t，η）|>Qβn≤ Psupη∈恩，r，t∈Tn，r|^Gn（t，η）|>Qβn/2+Psup |η-η|≤R-1 | t-t|≤R-1|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Qβn/2.（D.5）设α=1/2。设Mi（t，η，u）：=^Kbn（u- t） g（~Zi（u），η+η（u）- t） b-1n）。

通过引理D.7（ii），当q=2+s，s>0足够小时，我们得到了supu支持，η| M（t，η，u）| 2+s（k）=O（k）-(1+γ)).ThusW2+s，α：=supu∈[0,1]ksupt，η| Mi（t，η，u）| k2+s，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持，η支持，η| M（t，η，u）| 2+s（M）<∞.（独立于n）和w2，α：=supu∈[0,1]supt，ηkMi（t，η，u）k2，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持，ηM（t，η，u）（M）<∞（与n无关）。请注意，l=1∧对数#（En，r×Tn，r）≤ 3（2dΘ+1）log（n）和Qβn（nbn）=Qn1/2log（n）1/2≥√nlW2，α+n1/（2+s）l3/2W2+s，α&n1/2log（n）1/2+n1/（2+s）log（n）3/2足够大。通过应用[57]的定理6.2（其中的证明也适用于统一函数依赖度量），q=2+s，α=1/2至（Mi（t，η，i/n））t∈Tn，r，η∈n，r，48 S.KARMAKAR等人，我们有一个常数Cα>0:Psupη∈恩，r，t∈Tn，r|^Gn（t，η）|≥ Qβn/2≤Cαn·l1+s/2W2+s2+s，α（Q/2）2+s（δn（nbn））2+s+Cαexp-Cα（Q/2）（βn（nbn））nW2，α. N-s/2+exp-（nbn）b-1nlog（n）n→ 0.（D.6）由马尔可夫不等式和引理D.1（i），（D.7）Psup |η-η|≤R-1 | t-t|≤R-1|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≥ Cβn/2= OB-2nr-1βn.我们有b-2nr-1β-1n=b-2nn-3（nbn）1/2b1/2nlog（n）-1/2→ 0.将（D.6）和（D.7）插入到（D.5）中，我们得到了结果。（b） 该证明类似于（a）使用D.1（ii）和引理D.8（ii）代替引理D.1（i）和引理D.7（ii）。（c） 通过使用D.1（ii）（*）而不是引理D.1（ii），证明类似于（a）。引理D.3。

设g:RN×Θ→ R、 定义Bn（t，η）=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） g（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）。（a） 如果假设a.1（A5）中充满了r≥ 1+s，s≥ 0和g∈ H（M（1+s），χ，\'\'C），然后是supt∈（0,1）supη∈En|E^Bn（t，η）-Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx |=O（（nbn）-10亿欧元）。（b） 如果假设E.5（A5\'）充满了r≥ 1+s和g是这样的：~gθ（y，x，θ）：=g（F（y，x，x，θ），x，θ）fullg∈ Hmultι（M，χ，`C），然后支持∈（0,1）sup |η-ηbn（t）|<ιE^bn（t，η）-Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx |=O（（nbn）-10亿欧元）。如果最高法院被接管∈ 而不是TNT∈ （0,1），然后（1）-t） /bn-t/BN可由-1.时变模型的同时推理49引理D.3的证明。（a） 设Bn（t，η）：=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n- t） g（~Zi（t），η+η（i/n）- t） b-1n）。通过引理D.4（i），我们得到了一个常数为C>0，即kg（~Z（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）- g（~Z（t），η+η（i/n）- t） b-1n）k≤~C∞Xi=0^χik~Y-i（i/n）-~Y-i（t）公里≤~CCB|^χbn。Thusk^Bn（t，η）-~Bn（t，η）k≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |×kg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）- g（~Zi（t），η+η（i/n）- t） b-1n）k≤|C^K|∞CB（1+|χ|）bn。因为^K是有界变差的，θ7→ 由于tog，Eg（~Z（t），θ）是Lipschitz连续的∈ H（M，χ，\'\'C）和引理D.4，黎曼和引理产生Bn（t，η）=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） Eg（~Z（t），η+η（i/n）- t） b-1n）=Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx+O（（nbn）-1） ，均匀地在t中∈ (0, 1), η ∈ EN（b） 用引理D.6代替引理D.4，证明是一样的。D.2。基本Lipschitz、偏差和依赖结果。引理D.4、D.5和D.6说明了g（Zi，θ）的偏差- g（Zi，θ）可以由Zi控制-子。在GARCHcase中，由于对可能性的第一和第二导数的处理不同，这需要两个结果。在引理D.7和D.8中，根据引理D.4、D.5和D.6中关于情况1和2的H？older型结果计算g（~Zi（t），θ）的依赖性度量。引理D.4。让q>0。让g∈ H（M，χ，`C）。

设^Z=（^Zj）j∈N、 ^Z=（^Zj）j∈随机变量序列。假设存在一些D>0，这样对于allj∈ N、 （D.8）k^ZjkqM≤ D、 k^ZjkqM≤ D.50 S.KARMAKAR等人。然后，存在一些常数C>0，仅依赖于M，D，χ和＠D（仅在（ii）中），比如ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤“C·C”∞Xj=0^χjk^Zj-^ZjkqM（D.9）supθ6=θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|θ- θ|Q≤\'C·C，（D.10）ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）| kq≤\'C·C，（D.11）引理D.4的证明。注意k|^Z|^χkqM≤Xj=1^χjk^ZjkqM≤ D |^χ|。我们通过H¨older不等式得到了thatksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤\'C|^Z-^Z |^χ（1+|^Z | M）-1^χ+|^Z|M-1^χ)Q≤\'C|^Z-^Z|^χqM1 +|^Z|^χM-1qM+|^Z|^χM-1qM≤\'C（1+2（D|^χ|）M）-1) ·∞Xj=1^χjk^Zj-^ZjkqM，显示（D.9）。从（D.9）和supθ可以明显看出（D.11）的证明∈Θ| g（0，θ）|≤“C.最后，supθ6=θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）| |θ- θ| kq≤\'C1+|^Z | M^χQ≤ C（1+D |^χ|）。下面的引理在不同的连续性条件下给出了与引理D.4相同的结果。引理D.5（用于tvGARCH）。设q>0，s>0。设^Zbe如引理D.4（D.8）中所示，用M（1+s）代替M。设g=`满足（E.13）和g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s））。然后存在一些常数C（s）>0，仅与M，D，χ（s）有关，如ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤\'C（s）·C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjkqM（1+s）+k^Zj-^ZjksqM（1+s）,（D.12）时变模型51ksupθ的同时推理∈Θ| g（^Z，θ）| kq≤\'C（s）·C（s），（D.13），其中^χ（s）=（1，χ（s））。引理D.5的证明。根据霍尔德的不平等，supθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|Q≤\'\'C（s）|^Z-|Z|χ（s），s·（1+|Z|M^χ+|Z|M^χ）q+-C（s）|^Z-^Z|χ（s），1·（1+|Z|M）-1^χ+|^Z|M-1^χ）1+sQ≤\'\'C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^Zjksq（M+s）·1+k|^Z|^χkMq（M+s）+k|^Z|^χkMq（M+s）+\'\'C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjkqM（1+s）1+k|^Z|^χkM-1q（M+s）+k|^Z|^χkM-1q（M+s）≤\'\'C（s）1+（2|^χ|）M+（2|^χ|）M-1.·∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjksqM（1+s）+k^Zj-^ZjkqM（1+s）.这表明（D.12）。