时变模型的同时推理

类似于引理C.3中对∏n（t）的讨论（注意，（C.13）和（C.14）中的速率随后变为O（bn）而不是O（bn）），我们可以证明（B.16）支持∈(0,1)|OhmC（t）- AC（t）t·Dk（t）|=OP（βnbn）=OPb1/2nlog（n）（nbn）1/2log（n）1/2,这就是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）自bnlog（n）→ 0.~hi（t）：=AC（t）t ~ki（t）是一个局部平稳过程，其长期方差∑h（t）=∑C（t）。通过引理B.3（由于（B.15）而适用），我们得到了（B.17）limn→∞P√nbnσ^K，0支持∈TnΣ-1C（t）OhmC（t）- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ）。根据定理3.2，我们得到了∈TnV（t）{θbn（t）- θ（t）}- bnuK，2V（t）θ（t）- dk（t）= 操作bn+（nbn）-1b-1/2nlog（n）3/2+（nbn）-1/2磅（北）= 操作（nbnlog（n））1/2+（nbnlog（n）-4)-1/2+bnlog（n）3/2（nbn）1/2log（n）1/2,（B.18）这是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）自nbnlog（北）→ 0，nbnlog（n）-4.→ ∞ 和bnlog（n）→0.加上（B.16）和（B.17）（含^K=K），这意味着（3.6）。32 S.KARMAKAR等人参考文献[1]Andreou，E.和Ghysels，E.（2006）。监控金融市场的中断。J.计量经济学135 77–124。MR2328397[2]安德鲁斯，D.W.K.（1993）。参数不稳定和结构变化的测试，变化点未知。计量经济学61 821–856。MR1231678[3]白，J.（1997）。多元回归模型中变化点的估计。经济与统计回顾79551–563。[4] 比林斯利，P.（1999年）。概率测度的收敛性，《概率与统计学：概率与统计学》第二版。约翰·威利父子公司，纽约，威利国际科学出版社。MR1700749[5]Bollerslev，T.（1986）。广义自回归条件异方差。J.计量经济学31307–327。MR853051[6]Brown，R.L.，Durbin，J.和Evans，J.M.（1975）。测试回归关系随时间变化的稳定性的技术。J.罗伊。统计学家。Soc。爵士。B 37 149–192。D.R.考克斯、P.R.菲斯克、莫里斯·肯德尔、M。

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（i） 引理D.2（i）、（iii）、引理D.3及其应用于g=θ′impulysupt∈Tn|^uK，0，bn（t）^Vbn（t）- ^uK，0，bn（t）V（t）|≤ 监督∈Tn，η∈En | Gcn（t，η）-^Gn（t，η）|+supt∈Tn，η∈En|^Gn（t，η）|+支持∈Tn，η∈En|E^Bn（t，η）- 五、o（t，η）|+supt∈Tn | Vo（t，ηbn）- ^uK，0，bn（t）V（t）|=OP（（nbn）-1） +oP（βn）+O（bn）+supt∈Tn | Vo（t，ηbn）- ^uK，0，bn（t）V（t）|。（C.1）我们得到了与定理3.2（B.9）的证明相似的结果∈Tn|^ηbn（t）- ηbn（t）|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+β-nbn+bn）。自η7以来→ 五、o（t，η）通过引理D.4是Lipschitz连续的，结果来自（C.1）和bnlog（n）→ 0.（ii）由于θ` · θ\'T∈ H（2M，χ，\'C），有些\'C>0。命题4.3的证明。我们的过程与定理3.2的证明类似。现在我们使用引理D.3（a）应用于g=`（假设a.1和E.5）的显式结果，我们得到了∈（0,1）supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中Lobn（t，η）=R（1）-t） /bn-t/bnK（x）L（t，η+ηx）dx。通过^ηbn（t）的最优性，0≤ Lon、 bn（t，θ（t））- Lon、 bn（t，ηbn（t））≤~Lobn（t，θ（t））-~Lobn（t，^ηbn（t））+2 supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|36 S.KARMAKAR等人。这意味着Minnz-1K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）- L（t，θ（t））dx，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）- L（t，θ（t））dxo≤ 2 supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|。（C.2）假设对于某些ι>0，lim supn→∞监督∈（0,1）|ηbn（t）- （θ（t）t，0）t|≥ ι.

然后就有了∈ （0，1）使得（c1）^θbn（t）- θ（t）|≥|bnbθbn（t）|因此|θbn（t）- θ（t）|>ι/3，或（c2）^θbn（t）- θ（t）|<|bnbθbn（t）|，因此| bnbθbn（t）|>2ι/3。在（c1）的情况下，我们有|θbn（t）+bnbθbn（t）x- θ（t）|≥ |θbn（t）- θ（t）|- |x | | bnbθbn（t）|≥ιforx∈ [0，]，因此有些c>0，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥Z1/4K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥ csinceθ7→ L（t，θ）是连续的，在θ=θ（t）时达到其唯一的最小值。在（c2）的情况下，我们有|θbn（t）+bnbθbn（t）x- θ（t）|≥ |x | | bnbθbn（t）|- |θbn（t）- θ（t）|≥ιforx∈ [1]，因此有些c>0，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥Z3/4K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥ c、 在这两种情况下，（c.2）都是矛盾的。因此，支持∈（0,1）|ηbn（t）- ηbn（t）|=oP（1）。使用部分求和和和高斯近似，类似于OREM B.2中给出的过程θ`（Zi（i/n），θ（i/n）），存在i.i.d.V，V。~ N（0，Is×s）在一个更丰富的概率空间上，对于（B.11）（C.3）中的πnas∈(0,1)（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）-（t）(θ`（Zi（i/n），θ（i/n））-六）| = OP（（nbn）-1πn）=OP（（nbn）-1/2log（n））。时变模型的同时推理37因此可以代替supt∈Tnby supt∈（B.6）中的（0,1）。

仔细检查定理3.2的其余证明（引理C.1（C.7）替换为引理C.1（C.8）），结果（C.4）支持∈（0,1）|Vobn（t）·（^ηbn（t）- ηbn（t））- ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））= OP（τ（1）n），其中（我们很快写出^uK，j（t）=^uK，j，bn（t））~Vobn（t）=^uK，0（t）uK，1（t）uK，1（t）uK，2（t） V（t）。通过引理D.2（i）、引理C.1和引理C.3，我们进一步得到了Ui，n（t）=（Kbn（i/n- t） ，Kbn（识别号- t） ·（i/n）- t） b-1n）T:支持∈(0,1)ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））- bn^uK，2（t）^uK，3（t） [V（t）θ（t）]-（nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（βnbn+bn+（nbn）-1).（C.5）回顾引理B.3，（B.13）和（B.14）的证明，以及定理3.3，（B.16）的证明，我们看到存在i.i.d.Vi~ N（0，是×s）使得对于^K=K和^K（x）=K（x）·x，supt∈(0,1)AC（t）t（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- （t）θ`（Zi（i/n），θ（i/n））-∑C（t）（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） 六= 操作日志（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1/2（nbn）1/2log（n）1/2+bnlog（n）3/2（nbn）1/2log（n）1/2+b1/2nlog（n）（nbn）1/2log（n）1/2=: OP（wn）。（C.6）带有（C.4）和＠Vobn（t）-1=^uK，0（t）uK，1（t）uK，1（t）uK，2（t）-1. V（t）-1=uK，2（t）N（0）bn（t）^uK，2（t）V（t）-1.-^uK，1（t）V（t）-1.-^uK，1（t）V（t）-1uK，0（t）V（t）-1.,我们获得：supt∈(0,1)N（0）bn（t）·{θbn，C（t）- θC（t）}-hAC（t）tηLo,cn，bn（t，ηbn（t））-^uK，1（t）^uK，2（t）AC（t）tηLo,cn，bn（t，ηbn（t））i= OP（τ（1）n）。38 S.KARMAKAR等。关于（C.5）和（C.6），我们有∈(0,1)N（0）bn（t）·{θbn，C（t）- θC（t）}+bnN（1）bn（t）θC（t）- ∑C（t）Q（0）bn（t）-μK，1（t）μK，2（t）Q（1）bn（t）= OP（τ（1）n+（βnbn+bn+（nbn）-1） +wn），完成证明。C.1。^L的中间引理on、 bn。在本节中，我们展示了^L的一些引理on、 这是证明主要结果所需要的。为了做到这一点，我们利用了D部分中导出的基本引理。

引理C.1导出了η^Lon、 bn（t，ηbn（t）），引理C.3表示η^Lon、 bn（t，ηbn（t））乘以θ`（Zi（i/n），θ（i/n）），也就是说，引理只是替换了局部平稳过程Ziinη^Lon、 bn（t，ηbn（t））以一定的收敛速度。引理C.2讨论了引理C.3证明中出现的水性∏n的Lipschitz性质。引理C.1。设ηbn（t）=（θ（t）t，bnθ（t）t。设假设A.1保持r=1，或设假设E.5保持r=2+，>0。然后均匀地在t中∈ Tn，（C.7）Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））=bnuK，2V（t）θ（t）+O（bn+（nbn）-1).此外，它在t中保持一致∈ （0,1）该（C.8）Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））=bnZ（1）-t） /bn-t/bnK（x）xxdx [V（t）θ（t）]+O（bn+（nbn）-1).引理C.1的证明。设Ui，n（t）=（Kbn（i/n- t） ，Kbn（识别号- t） （i/n）- t） b-1n）T。通过θ（i/n）在T周围的阿泰洛展开，我们得到了θ（i/n）=θ（T）+θ（T）（i/n）- t） +rn（t），其中rn（t）=θ（t）（i/n）-t） +θ（t）（i/n）-t） t在t和i/n之间。我们得出结论：η^Lon、 bn（t，ηbn（t））- （nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）Zθ`（Zi（i/n），θ（i/n）+srn（t））ds·rn（t）.（C.9）时变模型的同时推理θ` ∈ H（M，χ，C）（如果假设A.1成立）或θ` ∈ H（M（1+s），χ，`C），当s>0足够小（如果假设E.5成立），我们用引理D.4得到| i/n- t|≤ bn:（约10）kθ`（Zi（i/n），θ（i/n）+srn（t））- θ`（z（t），θ（t））k=O（bn+n-1).使用（C.9），Eθ`（Zi（i/n），θ（i/n））=0（根据假设A.1（A1），（A3）或假设E.5（A1\'），（A3\'））和（C.10），我们得到η^Lon、 bn（t，ηbn（t））=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）Eθ`（Zi（t），θ（t））·θ（t）（i/n）- （t）+ O（bn+n）-1） =bnZ（1）-t） /bn-t/bnK（x）xxdx [V（t）θ（t）]+O（bn+n-1+（nbn）-1） ，（C.11），其中显示（C.8）。方程式（C.7）如下所示：∈ K implyZ（1）的对称性-t） /bn-t/bnK（x）xxdx=ZK（x）xxdx=uK，2.引理C.2（n的Lipschitz性质）。