一篮子期权的定价

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英文标题：
《Pricing of basket options I》
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作者：
Alexander Kushpel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Pricing of high-dimensional options is a deep problem of the Theoretical Financial Mathematics. In this article we present a new class of L\\\'{e}vy driven models of stock markets. In our opinion, any market model should be based on a transparent and intuitively easily acceptable concept. In our case this is a linear system of stochastic equations. Our market model is based on the principle of inheritance, i.e. for the particular choice of parameters it coincides with known models. Also, the model proposed is effectively numerically realizable. For the class of models under cosideration, we give an explicit representations of characteristic functions. This allows us us to construct a sequence of approximation formulas to price basket options. We show that our approximation formulas have almost optimal rate of convergence in the sense of respective n-widths.
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中文摘要：
高维期权的定价是理论金融数学的一个深层次问题。在本文中，我们提出了一类新的L\\{e}vy驱动的股票市场模型。我们认为，任何市场模式都应该基于一个透明的、直观的、易于接受的概念。在我们的例子中，这是一个随机方程的线性系统。我们的市场模型基于继承原则，即对于特定的参数选择，它与已知模型一致。此外，所提出的模型是有效的数值实现。对于这类模型，我们给出了特征函数的显式表示。这使我们能够构造一系列近似公式来为篮子期权定价。我们证明了我们的近似公式在各自的n-宽度意义下具有几乎最优的收敛速度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：Presentation Quantitative Applications Computation Monte Carlo

篮子期权的定价，英国莱斯特大学数学系，英国LE1 7RH，邮编：ak412@le.ac.uk102013年9月摘要高维期权的定价是理论金融数学的一个深层次问题。在这篇文章中，我们给出了一个透明和独立的处理这个问题。也就是说，我们提出并研究了一类新的L’evy驱动的股票市场模型。在我们看来，任何市场模型都应该基于一个透明的、直观的、易于接受的前公理概念。在我们的例子中，这是随机方程组（2）。我们的市场模型基于继承原则，即对于参数的特定选择，它与已知模型一致。此外，我们的模型有效地实现了数值模拟。对于这类模型，我们给出了特征函数的显式表示。这使我们能够构造一系列近似公式来为篮子期权定价。我们证明了我们的近似公式在各自的宽度意义上具有几乎最优的收敛速度。关键词：近似、L’evy驱动模型、傅里叶变换、重建。主题：91G20，60G51，91G60，91G80。1引言考虑一个无摩擦的市场，没有套利机会，利率r>0。让Sj，t，1≤ J≤ n、 t≥ 0，是n个资产价格过程。考虑一个关于价差S1，T的欧洲看涨期权-Pnj=1Sj，T.到期日T>0且行使K的普通价差期权≥ 0是支付的合同S1，T-Pnj=1Sj，T- K+在时间T，其中（a）+:=max{a，0}。

在金融市场的不同部门，交易的此类期权种类繁多。例如，商品市场中的裂差和压差期权【21】、【26】、固定收益市场中的cr编辑扩散期权、股票市场中的指数扩散期权【7】以及能源市场中的火花（燃料/电力）扩散期权【6】、【24】。假设存在一个风险中性的等价martinga-le测度，我们得到时间为0时，V=e的公式的以下定价-rTE[~n]，其中是一个回归函数，期望值是关于等效马尔代尔测度的。通常，奖励函数的结构很简单。特别是，在认购期权的情况下=S1，T-nXj=1Sj，T- K+因此，主要的问题是正确地近似相应的密度函数，然后近似E[~n]。关于期权及其应用有大量文献。特别是，如果K=0，利差期权与一种资产交换另一种资产的期权相同。Margrabe[18]给出了这种情况下的显式解。Margrabe的模型假设S1和S2遵循几何布朗运动，其波动率σ和σ不需要是常数，但S1的波动率σ，t/S2是常数σ=σ+ σ- 2σσρ, 其中ρ是布朗运动S1和S2的相关系数，t.Margrabe的公式表明V=e-qTS1,0N（d）- E-qTS2,0N（d），其中N表示标准正态分布的累积分布，d=σT1/2自然对数S1,0S2,0+Q- q+σTd=d- σT1/2。不幸的是，在K>0且S1、t、S2为计量布朗运动的情况下，没有明确的定价公式。在这种情况下，发展了各种近似方法。

主要有三种方法：蒙特卡罗技术（由于其收敛性与维数无关，因此最适合于高维情况）、快速傅里叶变换方法（如[3]和偏微分方程研究）。观察基于PDE的方法是否适用于PDE维度较低的情况（更多信息，请参见[23]、[8]、[27]和[28]）。通常的偏微分方程的方法是基于数值近似，从而产生一个大的微分方程组，然后可以通过数值求解。近似公式通常允许快速计算。特别是，Kirk公式[14]提供了一个很好的近似于传播呼吁的Apoptular（另见Carmona-Durrleman程序[4]，[15]）。[5]和[16]中考虑了快速傅里叶变换的各种应用。众所周知，如果引入额外的随机因素，默顿-布莱克-斯科尔斯理论将变得更加有效。因此，重要的是考虑更广泛的L’evy过程。马恩德尔布罗特[17]和法玛[12]首次在这种情况下使用了稳定的L’evy过程。从90年代开始，L’evy过程变得非常流行（参见[19]、[20]、[1]、[2]以及其中的参考文献）。2高维L’evy驱动模型在本节中，我们将一类随机系统引入模式L多维返回过程。设X1，t，···，Xn，tand Z1，t，··，Zn，tbe为独立随机变量，密度函数为f1，t（x），··，fn，t（Xn）和Z1，t（x），··，Zn，t（Xn）和特征指数ψ和φm，1≤ s、 m≤ n分别是。设Xt=（X1，t，··，Xn，t）t，Zt=（Z1，t，··，Zn，t）和A=（aj，k）be是sizen×n的实矩阵。考虑Random向量Ut=（U1，t，··，Un，t）t，Ut=Xt+AZt。（1） 矩阵反映了回归过程U1、t、······、Un、tinour模型之间的依赖关系。

为简单起见，假设E[Xs，t]=0和E[Zs，t]=0，1≤ s≤ n、 很容易检查任何s和l，1≤ s 6=l≤ n我们之间的相关系数ρ（Us，t，Ul，t），t=Xs，t+nXk=1as，kZs，t，Ul，t=Xl，t+nXk=1al，kZl，tisρ（Us，t，Ul，t）=e[Us，tUl，t]e美国，tEhUl，ti=Pnk=1as，kvar（Zs，t）var（Xs，t）+Pnk=1as，kvar（Zs，t）var（Xl，t）+Pnk=1al，kvar（Zl，t）1/2.特别是，如果var（Xs，t）=var（Zs，t）=v和as，k=1，1≤ s、 k≤ n然后ρ（Us，t，Ul，t）=n（n+1）-1.它反映了我们的经验：如果市场处于危机之中，那么股票价格是高度相关的。下一条语句给出了返回过程Ut的特征函数的显式形式。定理1假设Ut=Xt+AZt，A=（am，k），那么在我们的旋转中，Uthas的特征函数Φ（v，t）的形式为Φ（v，t）=（2π）nnYs=1F-1（fs，t）！（vs）·F-1nYm=1zm，t！（A）*v） ，=nYs=1exp(-tψs（vs））·nYm=1exp-tφmnXk=1ak，mvk！！，哪里*= （ak，m）是A的共轭。考虑变换R2n→ R2nde定义的asUt=Xt+AZt，Zt=Zt。（2） 因此，反比由xt=Ut给出- AZt，Zt=Zt。或XtZt=我-A0 IUtZt这个变换的雅可比J=det我-A0 I= 1，其中I=In×n是一个恒等式。密度函数φt（ut，zt）由φt（u，z）=nYs=1fs，tus给出-nXm=1as，mzm！nYl=1zl，t（zl）。这意味着密度函数ωt（u）是ωt（u）=ZRnφt（u，z）dz，特征函数的形式为Φ（v，t）：=E[exp（i，vi）]：=exp(-tψ（v））=Fωt（v）=ZRnexp（i-hu，vi）ωt（u）du=ZRnexp（i-hu，vi）ZRnφt（u，z）dzdu=ZRnexp（i-hu，vi）ZRnnYs=1fs，tus-nXm=1as，mzm！nYm=1zm，t（zm）dz！du=ZRnnYs=1ZRfs，tus-nXm=1as，mzm！exp（iusvs）dus！nYm=1zm，t（zm）dz。

（3） 让ξs=us-Pnm=1as，mzm，1≤ s≤ n thenZRfs，tus-nXm=1as，mzm！exp（iusvs）dus=ZRfs，t（ξs）expiξs+nXm=1as，mzm！vs！dξs=expivsnXm=1as，mzm！ZRfs，t（ξs）exp（iξsvs）dξs=expivsnXm=1as，mzm！2πF-1（fs，t）（vs）（4）比较3和4，我们得到Φ（v，t）=ZRnnYs=1expivsnXm=1as，mzm！2πF-1（fs，t）（vs）！nYm=1zm，t（zm）dz=nYs=12πF-1（fs，t）（vs）ZRnnYs=1expivsnXm=1as，mzm！！nYm=1zm，t（zm）dz=nYs=12πF-1（fs，t）（vs）ZRnexpinXs=1vsnXm=1as，mzm！！nYm=1zm，t（zm）dz=nYs=12πF-1（fs，t）（vs）ZRnexp（hv，Azi）nYm=1zm，t（zm）！dz=nYs=12πF-1（fs，t）（vs）ZRnexp（hA）*v、 zi）nYm=1zm，t（zm）！dz=nYs=12πF-1（fs，t）（vs）·F-1nYm=12πzm，t！（A）*v） =nYs=12πF-1（fs，t）（vs）·F-1nYm=12πzm，t！（A）*v） =nYs=12πF-1（fs，t）（vs）·F-1nYm=12πzm，t！（A）*v） ，A*= （ak，j）是a的共轭。因此Φ（v，t）=nYs=1exp(-tψs（vs））·nYm=1exp-tφmnXk=1ak，mvk！！。3等价鞅测度条件在本节中，我们为我们的模型指定了一个等价鞅测度条件。在等价鞅测度下，所有资产都具有相同的预期收益率，即无风险收益率。这仅仅意味着在无套利条件下，投资者在市场上的ris k偏好不会参与估值决策。考虑一个由风险债券B和股票s组成的无摩擦市场。在这个市场中，s在选择的等价鞅测度Q下由指数L’evy过程s=St=Sextun建模。假设风险s率r为常数。下一个陈述是对已知结果的概括。在以前的版本中，作者假设特征指数ψ允许对条带{z进行解析扩展|-1.≤ 伊姆兹≤ 0}（参见示例[2]）。定理2。设Q为选定的等价鞅测度，d R+iR是特征指数ψQ的域。

假设∪ {-我} D、 然后用ψQ表示(-i） =-r、 证明EST=exp给出的折扣过程(-rt）St=exp(-rt）Sexp（Xt）必须是选择的等价鞅测度Q下的鞅，即对于任何0≤ l<t≤ T鞅条件必须成立，eSl=EQheSt | Fli。特别地，对于任何t，设l=0∈ （0，T）我们拥有=性别(-r0）=S=EQ[Sexp(-rt）exp（Xt）|F]=EQ[Sexp(-rt）exp（Xt）]=SEQ[exp(-rt）exp（Xt）]。既然S>0，那么EQ[exp(-rt）exp（Xt）]=1。设t=t，然后exp（rT）=EQ[exp（XT）]。自从-我∈ D然后通过定义特征指数exp-TψQ(-（一）= EQ[exp（i）(-i） Xt）]=EQ[exp（Xt）]。（5） 因此，既然T>0，那么从（5）可以得出r=-ψQ(-i） 。一般来说，Q不是唯一的。在下面的内容中，我们假设Q已经被执行，并且所有的期望都将根据该度量进行计算。我们现在指定系统（1）的等价鞅测度条件。定理3。假设股票价格由s，t=Ss，0exp（Us，t），1建模≤ s≤ n、 域D 特征指数ψq的Rn+iRnof包含Rn∪(∪nk=1{-其中{ek，1≤ K≤ n} 是RnthenψQ中的标准基(-ies）=-r、 一,≤ s≤ n、 证明：对于任何1≤ s≤ 在折扣价格过程Ss中，t必须是选择的等价鞅测度Q下的鞅。设ψQs（xs）是我们的特征表达式，t thenexp-tψQs（xs）= EQ[exp（hix，Us，ti）]=EQ[exp（hix，Us，tesi）]=exp-tψQ（xses）根据定理2，我们得到r=-ψQs(-i） 给出了n个方程组ψQ(-ies）=-r、 一,≤ s≤ n、 注意，一般来说，无风险利率可能依赖于s。在这种情况下，我们得到系统ψQ(-ies）=-rs，1≤ s≤ n、 4 KoBoL家族在本节中，我们研究了KoBoL家族的性格指数。这个想法是基于一个简单的观察。

根据L’evi Khintchine公式（8），如果我们能找到∏（dx）的逆Fourier变换，那么可以显式地找到ψ（ξ）。[2]的作者建议考虑∏（dx）的以下形式，即∏（dx）=| x |αexp(-β| x |），其中α和β是固定参数。一类已知的高维模型基于所谓的KoBoL族，由∏（dx）=ρ给出-ν-1exp(-λ（φ）ρ）dρ∏′（dφ），其中∏′（dφ）是单位球面Sn上的有限测度-1和λ：C锡-1.→ R+[2]。特征指数的形式为ψ（ξ）=-i hu，ξi+Γ(-ν） ZSn-1((λ (φ))ν- (λ (φ) - i h∑ξ，φi）ν∏′（dφ），其中∈ (0, 2) , u ∈Rnand∑是一个正定义矩阵。ψ（ξ）=-i hu，ξi+C- C（ξ），式中C:=ZSn-1（λ（φ））ν∏′（dφ）和c（ξ）：=ZSn-1(λ (φ) - i h∑ξ，φi）ν∏′（dφ）。特别地，设∏′（dφ）=cdφ，其中c>0，dφ是Haar测度onSn-1.那么问题是近似积分c（ξ）：=cZSn-1(λ (φ) - i h∑ξ，φi）νdφ。这个问题在计算上很困难。在本节中，我们构建了一类基于各自一维块的KoBoL过程。这使我们能够简化特征指数的表达式。我们从定理5的一维形式开始，ψ（ξ）=2-1aξ- 我知道-锆exp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）π（dx），其中a≥ 0, γ ∈ R和∏是R上满足∏（{0}）=0，ZRmin的度量x、 一,π（dx）<∞.设a=γ=0，0<ν<2，λ>0，π+（ν，λ，dx）=x-ν-1+经验(-λx）dx，π-（ν，λ，dx）=x-ν-1.-exp（λx）dx，其中x+=max{x，0}，x-= x+- x和∏（dx）=c+和∏+（ν），- λ-, dx）+c-Π-（ν，λ+，dx），c+>0，c-> 0, λ-< 0 < λ+.（6） 这很容易检查x、 一,c+π+（ν，-λ-, dx）+c-Π-（ν，λ+，dx）< ∞.因此（6）定义了一个简单的方法。

此外，如果ν<1，则nzrmin{x |，1}c+π+（ν，-λ-, dx）+c-Π-（ν，λ+，dx）< ∞这个过程有一定的变化。引理3.1和3.2[2]给出了期望特征指数ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν) ((-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν）+c-Γ (-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν, ν ∈ (0, 1) ∪ (1, 2) . （7） [2]中引理3.2的证明是不完整的。下一个陈述给出了表示（7）的完整证明，这在我们的应用程序中很重要。定理4。让我们∈ （0，1）那么在我们的符号中ψ（ξ）=-iuξ+c+Γ(-ν) ((-λ-)ν- (-λ-- iξ）ν）+c-Γ (-ν)λν+- （λ++Ⅰξ）ν,其中u是一个实参数。证明仅为∏+（ν，λ，dx）证明语句是有效的，即-ψ+（ξ）：=ZRexp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）π+（dx）=ZRexp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）十、-ν-1+经验(-λx）dx=Z∞exp（ixξ）- 1.- ixξχ[-1,1]（x）十、-ν-1exp(-λx）dx=Z∞（exp（ixξ）- 1） x-ν-1exp(-λx）dx-iξZx-νexp(-λx）dx=Z∞（exp（ixξ）- 1） x-ν-1exp(-λx）dx- iξB（ν，λ）：=i（ξ，ν，λ）- iξB（ν，λ），其中B（ν，λ）：=Rx-νexp(-λx）dx andI（ξ，ν，λ）=-νZ∞（实验）(- (λ - iξ）x）- 经验(-λx）dx-ν= -ν（实验）(- (λ - iξ）x）- 经验(-λx）x-ν|∞--νZ∞(- (λ - iξ）exp(- (λ - iξ）x）+λexp(-λx）x-νdx=-λ - iξνZ∞经验(- (λ - iξ）x）x-νdx- λνΓ (-ν） ：=I- λνΓ (-ν) .改变变量z=（λ）- iξ）x在Iwe getI=-(λ - iξ）νZγexp(-z） z-νdz，其中γ是射线{z | z=（λ- iξ）x，λ>0，ξ∈ R}，λ和ξa固定参数和x≥ 0.假设ξ≥ 0.案例ξ≤ 0可以被类似地对待。考虑轮廓η：=γ∪ γ∪ γ∪ γ、 式中γ：={z=ρexp（iθ）|0≤ θ ≤ arg（λ）- iξ），λ>0，ξ∈ R}，γ：={z |ρ≤ Z≤ R、 z∈ R}γ：={z=R exp（iθ）|0≤ θ ≤ arg（λ）- iξ），λ>0，ξ∈ R}，γ：={z | z=（λ）- iξ）x，ρ≤ |z|≤ R}。函数exp(-z） z-ν在η限定的区域内是解析的，因此从柯西定理出发，它遵循zηexp(-z） z-νdz=0且自ξ起≥ 对于δ>0的部分，我们得到-π/2 + δ ≤ arg（λ）- iξ）≤ 0

亨塞利姆→∞Zγexp(-z） z-νdz= limR→∞Zarg（λ）-iξ）exp(-Rexp（iθ））R-νexp(-iνθ）Ri exp（iθ）dθ≤πlimR→∞经验(-R cosδ）expR1-ν= 0.观察该limρ→0Zγexp(-z） z-νdz≤ limρ→0Z2πexp(-ρexp（iθ））ρ-νexp(-iνθ）ρi exp（iθ）dθ≤ 2πlimρ→0ρ-ν+1= 0.亨塞兹γexp(-z） z-νdz=ZR+exp(-z） z-νdz=Γ(-ν + 1) = -νΓ (-ν) .因此，i=-(λ - iξ）νZγexp(-y） y-νdy=Γ(-ν) (λ - iξ）ν和ψ+（ξ）=Γ(-ν) (λν- ((λ - iξ）ν）+iξB（ν，λ）。5附录i：随机过程和密度函数let B（Rn）是Rn中所有Borel集的集合（这是σ-由Rn中的所有运算集生成的代数）。A映射X:Rn→ Rn是一个Rn值的随机变量，如果它是B（Rn）可测量的，即对于任何B∈ B（Rn）我们有{ω| X（ω）∈ B}∈ B（注册护士）。设（Rn，B（Rn），P）为固定概率空间。随机过程ss X={Xt，t∈ R} 是公共概率空间（Rn，B（Rn），P）上的单参数随机变量族。进程X的轨迹是一个映射器+-→ Rnt 7-→ Xt（ω），其中ω∈ Ohm Xt=（X1t，··，Xnt）。X={Xt}t∈R+被称为L’evy过程（具有平稳独立增量的过程）if1。随机变量Xt，Xt- Xt，··，Xtm- Xtm-1，对于任何0≤ t<t<··<t和m∈ N是独立的（独立增量性质）。X=0 a.s.3。Xt+τ的分布- Xt与τ（时间均匀性或平稳增量特性）无关。它是随机连续的，即limτ→tP[| Xτ- Xt |>]=0表示任何>0和t≥ 0.5. 有Ohm∈ F和P(Ohm) = 1，对于任何ω∈ Ohm, Xt（ω）在[0]上是右连续的，∞) 并且在（0，∞).一个令人满意的过程（1）- 4） 在法律上被称为勒维程序。