平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

引入游戏玩家之间互动的加权图从根本上改变了模型的平均场性质，必须制定出新的解决方案，才能在这方面取得重大进展。尽管这个研究项目面临着明显的挑战，但许多金融工程师对它的调查仍不够积极。2.2. 价格影响和最优执行。高频市场为金融工程的应用提供了另一片沃土。除其他外，他们强调了价格影响和最佳执行的重要性。寻找最佳交易方式是一个老问题，价格影响的存在不必等待高频市场的普及。价格影响模型。我们简要回顾了Carmona和Lacker在[27]中提出的价格影响制造模型。在这里，它在弱公式中得到了解决，但就目前的讨论而言，用于获得解决方案的具体方法并不重要。我们从N个交易者的模型开始。我们用xit表示交易者i在时间t的库存量（即拥有的股份数量），我们假设该库存量根据（2.7）dXit=αitdt+σidwit演变为一个It过程，其中αIt表示交易者i的交易率。这将是他们的控制。Wi=（Wit）t≥0是i=1的独立维纳过程，N，且σi呈现特殊的波动性。为了简单起见，我们假设它独立于i。请注意，所有关于这个问题的论文都假设波动率为0。换句话说，假设存货在时间上是可微的。正如Carmona和Webster在[30]中所证明的那样，我们使用σi=σ>0的决定得到了经验证据的支持，至少在高频市场是如此。接下来，我们用Kitti表示traderi在t时持有的现金量。

我们有：dKit=-[αitSt+c（αit）]dt，其中sti是一股股票在时间t的交易价格，函数α→ c（α）≥ 0以α速率对交易成本进行建模。正如[30]中所解释的，这个函数c应该被认为是金融工程与经济学中订单形状的勒让德变换。所以对于一个fl-at订单，我们应该有：c（α）=cα。我们利用Almgren和Chriss[7]价格影响公式的自然延伸，对价格的时间演化进行了建模：对于一些非负增长函数α7，dSt=NNXi=1h（αit）dt+σdwt→ h（α）和Wiener过程W=（Wt）t≥独立于其他的。在这个模型中，交易者i在时间T的财富由他持有的现金和他持有的股票的价值之和给出，以股票的当前价值标记：Vit=Kit+XitSt。使用标准的自我融资条件及其公式，我们可以看到：dVit=dKit+XitdSt+StdXit=- c（αit）+XitNNXj=1h（αjt）dt+σStdWit+σXitdWt，（2.8），所以如果玩家i最小化他们的预期交易成本ji（α，…，αN）=EZTcX（Xit）dt+g（Xit）- 维生素其中x7→ cX（x）代表持有六个x和g（x）存货的成本，g（x）是终端存货成本的一种形式。使用（2.8），我们可以将这些预期成本改写为：；Ji（α，…，αN）=EZTf（t，Xit，\'νNt，αit）dt+g（Xit）如果¨νNt表示αt的经验分布。，αNt，函数f由f（t，x，ν，α）=c（α）+cX（x）定义- xRh dν。备注2.1。现阶段有几条重要的评论。（1） 上述模型是N人随机微分对策的缩影。（2） 状态方程由（3.1）给出。它们由N个独立的向斜噪声项dWit驱动。优化问题中出现的共同噪声是因为交易者的风险中性，即他们最小化了对成本的期望。

如果他们选择最小化一个非线性效用函数，公共噪声不会消失！（3） 该模型的另一个显著特性，以及其分析引起极大兴趣的原因之一，是它是最早的MFG模型之一，通过控制，平均场相互作用自然发生。[21，第4.6节]给出了概率方法中对这些MFG的早期分析。上述模型适用于N名交易员，而平均场公式适用于N名交易员→∞ 这很清楚。弱配方中该极限MFG的完整解决方案可在强配方的[27]和[21，第4.7节]中找到。后来，Cardaliaguet和Lehalle在[18]中对其进行了重新研究，作者考虑了经纪人可能存在的异质性，并引入了生动的戏剧，这给模型带来了学习上的转折。Cartea和Jaimungal在[32]中也对其进行了扩展，以制定一个最优执行问题，作者仍然可以提供准显式形式的解公式。在存在价格影响的情况下，最优执行的博弈模型并没有等到MFG理论引起金融经济学家和金融工程师的兴趣。感兴趣的读者可能想查看[13]、[19]和[31]中关于掠夺性交易的游戏模型。2.3. 银行挤兑和时间平均场博弈模型。2014年6月，我在温哥华系统性风险暑期学校参加了Jean-Charles Rochet的讲座，以及Olivier Gossner在暑期学校之后的会议上所做的演讲，我发现了平均场游戏对银行挤兑这一重要问题的潜在应用。[21,22]详细报道了这两项工作[71,46]。

在这里，我们只回顾第二个模型，因为它更适合于我们在本章集中讨论的连续时间模型。本着接下来讨论的精神，值得一提的是莫里斯和申[68]以及何和熊[56]的作品。与大多数经济学家一样，他们使用的是一个经济模型，该模型基于无原子测度空间，具有连续的参与者。我们的目标是从众多玩家开始恢复他们的模型，然后分析平均场限制。银行挤兑的连续时间模型。根据戈斯纳之前提到的谈话，我们考虑一组N名储户，他们的初始存款金额为di=1/N，i=1，N他们承诺的回报率为r>r，其中r是当前的现行利率。我们假设银行在时间t的资产价值Y遵循It流程，并且Y≥ 1.我们还假设确定性函数y7的存在→ L（y）给出Yt=y时银行资产的清算价值。可以想象银行在时间t时有一个L（Yt）大小的利率r信用额度，并且银行每次储户运行（提取存款）时都使用该信用额度。接下来，我们假设资产在时间T到期，之后不会发生任何交易。如果当时YT≥ 1.每个人都全额支付，但如果YT<1，我们将其视为外部违约。如果储户当时试图提取超过L（Yt）的存款，我们将讨论t时的内生违约。随着时间的推移，每个储户都可以访问一个私有信号：dXit=dYt+σdWit，i=1，N、 在他们选择的时间τiof，他们可以尝试提取他们的存款，在时间τi之前提取收益r，并尝试最大化：Ji（τ，…，τN）=Eg（τi，Yτi，τ-（一）这里我们使用标准符号τ-i=（τ，…，τi）-1，τi+1，τN），例如g（t，Yt，τ。

，τN）=e（r-r） t∧τ+e-rt∧τ（L（Yt）- 新界北）+∧N、 Nt=#{i；τi≤ t} 是t之前的取款次数，τ=inf{t；L（Yt）<Nt/N}是银行第一次无法承受取款请求。首先，让我们尝试得出一些结论，如果储户拥有完整的信息，在这种情况下，Yt将是公共知识，σ将为0，即σ=0。如果我们还假设金融工程与经济学9→ 储户知道L（y），那么在任何平衡中都很容易检查：τi=inf{t；L（Yt）≤ 1}.所以所有的储户同时取款（他们都同时在银行上运行），每个储户都能取回他们的存款：没有人受伤！。显然，不幸的是，这种情况非常不现实。我们应该预计，储户在进入银行之前会等待更长的时间，大概是因为他们对银行的健康状况只有不完善的信息（即嘈杂的私人信号）。时机的游戏。让我们考虑一个由N个玩家组成的群体，其个体状态XN，itat time t满足形式dxn的方程，it=b（t，XN，it，νNt）dt+σ（t，XN，it）dWit，i=1，通过它们的经验分布耦合起来νNt=NNXi=1δXN，它。每个玩家选择一个FXi-停止时间τi，并尝试最大化eji（τ，…，τN）=Eg（τi，Xτi，uN（[0，τi]））式中，u=NPNi=1Δτi是τi的经验分布，g（t，x，p）是当玩家的私人信号为Xit=x时，玩家在时间t执行计时决策的回报，已经行使其权利的玩家比例为p。正式采取限制→ ∞ 在此设置中，我们获得了以下关于时间平均场博弈的制造公式。为了简单起见，假设漂移与态的经验分布无关，即。

b（t，x，ν）=b（t，x）一般游戏者状态的动力学由形式为：dXt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt的It^o方程给出。我们用FX=（FXt）0表示≤T≤t时间t时代理可用的信息，以及x外汇停止时间集。然后，计时模式的制造可以表述如下：（1）最佳响应优化：针对每个固定环境∈ P（[0，T]）解^θ∈ arg supθ∈SX，θ≤TE[g（θ，Xθ，u（[0，θ]））]（2）定点步长：找到u，使u（[0，t]）=P[^θ≤ t] 在这里和整个过程中，我们用P（A）表示A.10 REN'ECarmona上随机停止时间存在的概率测度空间。在一篇未发表的博士论文中，GeoffreyZhu提出了随机停止时间的存在性证明，为混合策略中平衡点的存在性提供了一个类似于Nash原始存在定理的证明。在我们进一步讨论之前，回顾一下分布收敛的一个令人警醒的缺点，即即使（limn→∞（X，Yn）=（X，Y）在lawyn中是X的函数，而Y不一定是X的函数，换句话说，Y∈ σ{X}可能不成立。为了证明存在性，我们假设奖励函数g:[0，T]×R×P（[0，T]）3（T，x，u）7→ g（t，x，u）∈ 对于ufixed，R在（t，x）中是有界的，连续的，对于（t，x）fixed，Lipschitz在u中是连续的。请注意，不幸的是，这最后一个假设并不适用于函数t→ u（[0，t]），除非t∈ T [0，T]与T fifine！这将阻止我们在前面讨论的银行挤兑模型中使用这种存在结果。

在任何情况下，在目前的假设下∏：P（[0，T]）×P（C（[0，T]×[0，T]））7→ R（u，ξ）→ π（ν，ξ）=ZC（[0，T]）×[0，T]g（T，xt，u）ξ（dx，dt）是连续的，由于Baxter和Chacon的一个旧结果，随机停止时间的空间是紧凑的，Berge的极大值定理意味着多值函数p（[0，T]）3ν→ arg supξ∈~S∏（ν，ξ）是上半连续且紧值的。紧跟在第一个边缘上的投影之后，它仍然是上半连续且紧值的，Kakutani的定点定理暗示了期望的存在结果。以通常的停止时间存在。标准停止时间的存在可以在一组不同的假设下证明，例如使用停止时间空间的顺序结构，而不是该空间的拓扑性质。例如，如果我们假设g的时间增量在ν中是单调的，那么我们可以利用停止时间空间是一个完全格的事实，检查τ→ arg supτ∈SE[g（τ，Xτ，Fτ（τ））]是单调的，并且使用塔斯基的定点定理。这里Fτ（t）=P[τ≤ t] 是τ的累积分布函数。不幸的是，这个存在性结果再次不适用于前面讨论的银行挤兑模型。一般情况下的解决方案（包括常见噪音）。除了M.Nutz在[70]中给出的一个简单示例之外，早期引入的一般银行挤兑设置中的解决方案比最初认为的更加困难和技术性。Carmona、Delarue和Lacker在[23]中给出了完整的解决方案。关于完全依赖偏微分方程和拟变分不等式的方法，请参见C.Bertucci的[11]，以及Bouveret、Dumitrescu和Tankov的[48]，了解关于使用松弛停止时间的更多信息。金融工程与经济学112.4。加密货币和比特币挖掘。

鉴于比特币热反复冲击金融市场的事实，以及由于涉及大量或大量矿工的开采过程的竞争性质，人们提出平均场博弈模型来分析加密货币空间的一些特征也就不足为奇了。在这里，我们简要回顾了Li、Reppen和Sircar[65]以及Bertucci、Bertucci、Lasry和Lions[12]最近发表的两篇论文，他们使用连续时间平均场博弈，尽管采用了不同的方法，来分析加密货币生成的一些特征。这两份文件都设想了一个矿工的连续体，他们通过分配给区块链挖掘的聚合计算能力进行互动。尽管比特币不是唯一的加密货币，但我们将只讨论比特币，因为它是最受关注的一种。造成这种情况的原因有很多，疯狂的价格波动就是其中之一。布里弗莱指数超过12000美元后，跌破10000美元的区间，然后迅速回升至高位。比特币的产生基于区块链技术。后者是为了在分散的分类账中保存记录而引入的。尽管如此，它还是比特币一代的核心。在比特币生产中，独立矿商争夺在区块链上记录下一个交易区块的权利。他们遵循工作证明（PoW）协议。他们的目标是解决数学难题，这些难题只能用蛮力来解决。解决谜题的计算（创建一个积木并获得奖励）在其他方面是完全无用的，因为它们不适用于其他任何地方。一旦矿工获得解决方案，相应的区块就会添加到区块链的顶部，矿工就会获得他们的奖励。

该奖励以加密货币（固定数量的比特币，目前为12.50比特币，用于添加区块）支付，而电力和采矿硬件需要使用传统的比特币（如美元）支付。比特币的供应量在不断增长。然而，它仅限于2100万份，其中1700多万份已经在流通。网络安全是一个严重的问题。一个主要的恐惧是多数攻击，也被称为51%攻击，当一组用户控制了大部分采矿权时。这些例子很少见，主要是因为它们成本巨大，很难实现。[65,12]中没有考虑这些因素。用于挖掘的计算能力称为哈希率。它捕捉每秒试图解决采矿难题的尝试次数。为了保持区块链的稳定性，动态调整挖掘难题的难度，以便平均而言，创建两个连续区块之间的时间是恒定的，目前约为10分钟。因此，随着散列率的增加，难度增加，因此需要为给定块计算更多散列。矿工们控制他们的散列率，以增加他们在区块链奖励中的份额，同时减少其他矿工的份额。另一方面，密集的计算消耗大量能源，每个矿工都面临着巨大的电力成本。简而言之，这种困境是个体矿工优化问题的核心。系统中的聚合哈希率表示用于创建块的总计算能力。在这两篇论文中，这种聚合散列率将是矿工之间平均场交互的来源。在[65]中，Li、Reppen和Sircar重点研究了厌恶风险的矿工所承担的风险，并研究了集中度。

他们使用跳跃过程来表示获得奖励，跳跃强度由典型矿工控制。在他们的模型中，跳跃强度反映了投入工作的计算机能力或散列率，而单个矿工控制的平均值是在模型中创建平均场交互的因素。考虑到我们对比特币如何产生的过于简单的描述，我们很自然地认为，矿工获得下一次采矿奖励的可能性与他们的哈希率与人口的比率成正比。每个矿工获得的奖励数量通过计算过程建模，跳跃强度λt>0。如果矿工人数为M+1，则该强度由λt=αtD（αt+M′αt）给出，其中M′αt表示其他矿工的总散列率。矿工的财富被用作状态变量。它演变为formdXt=-cαtdt+P dntw其中P是比特币的价格，因此每个奖励的价值是其数量乘以P的乘积。如前所述，矿工成功添加区块后，将获得12.50比特币。作为一个整体，系统中的奖励总数是一个泊松过程，具有恒定的强度D>0。这将在模型中扮演常见噪音的角色。给定一个适应的过程¨α=（¨αt）t≥0代表给定公共噪声的控制的条件平均值，miner优化问题是在固定终端时间T:v′α（T，x）=supα时最大化财富的预期效用∈[0，A（x）]EU（XT）|XT=x其中，当状态为x时，控制α被限制在区间[0，A（x）]。作者通过求解HJB方程来解决优化问题：tv′α+supα∈[0，A（x）]-cαxv′α+αD（α+M′αt）v′α= 0通过求解平均劳动率α的固定点方程来完成求解。