平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

因此，可以在这个帕累托分布族中确定纳什均衡。这些细节对于本次审查来说过于技术性，可以在[22]的第4.5.2节中找到。克鲁塞尔-史密斯的增长模型。与前一小节中讨论的增长模型的一个主要区别是，除了影响所有州的常见噪音外，我们还有针对经济中每个个体的特殊随机冲击。在[63]中，冲击只取了很多值。我们怀疑这种限制性假设是为了数值实现的目的。在下一小节中，我们通过引入维纳过程来改变随机冲击的性质，在随机微分对策的框架下重新构建模型。对经济的描述。虽然经济学家通常使用由连续参与者组成的模型（在[63]中确实如此），但为了避免讨论与独立随机变量连续族相关的可测量性问题，我们首先讨论由N个消费者组成的经济模型。随机冲击由一组N个连续时间马尔可夫链（zt，ηit）t给出≥0对于i=1，N公共成分z反映了整体经济的健康状况，就像一个总体生产率指标，所以对于一些常数Z≥ 0，zt=1+吉娜：好时光，ZT=1- 吉娜：不好的时候。特质成分η是针对消费者的，当消费者i就业时ηit=1，当他们失业时ηit=0。z=0对应于没有常见噪音。生产技术由柯布-道格拉斯生产函数建模，即人均产出由（4.4）Yt=ztKαt给出(Lt）1-α，其中Kt和Lt分别代表人均资本和就业率。主办方 可以解释为雇员个人生产的劳动单位数。

功率α∈ （0，1）是模型的常数。在这样一个模型中，两个数量起着重要作用：资本租金Rt和工资率wt。经济理论认为，在均衡状态下，这些边际利率被定义为人均产出Yt相对于资本和就业率的偏导数。So（4.5）rt=r（Kt，Lt，zt）=αztKtLtα-和（4.6）wt=w（Kt，Lt，zt）=（1- α） ztKtLtα.消费者的优化问题。消费者在时间t控制他们的资本消耗率，并最大化他们的预期消费效用Z∞E-ρtu（cit）dt,对于某些折扣系数ρ>0。我们使用幂函数（4.7）u（c）=c1-γ- 11- γ金融工程与经济学∈ （0，1），也称为CRRA（恒定相对风险规避的缩写）效用函数。消费者必须选择他们的消费，同时确保他们的个人资本始终保持非负。每个首都都是按照方程式发展的=（rt）- δ） 套件+[（1）- τt）ηit+u（1- ηit）]wtdt- 西特。这里，常数δ>0表示折旧率。右上方的第二项代表消费者赚取的工资。当消费者失业时，它等于uW，数量应理解为失业福利率。另一方面，它等于（1）-τt）在纳税调整后，当他们被雇佣时。这里τt=uut其中ut=1- 这是失业率。制造配方。根据德费内蒂的大数定律，我们预计经验测量值uk，Ntof capital和uη，Ntof labor:uk，Nt=NNXi=1δkit，和uη，Nt=NNXi=1δηit收敛为N→ ∞ 接近我们用uk，zt和uη，zt表示的极限。这些限制了资本和劳动力的有条件分配，ηt促进了经济的状态。

因为ZT只能取两个值1- 赞德1+z、 我们只需要了解确定性度量流（uk，dt）t≥0，（uk，ut）t≥0，（μη，dt）t≥0和（μη，ut）t≥)对应于z的两个值，比如向下和向上，即d=1-赞都=1+z、 一旦条件测度的流已知，代表性代理的最佳响应的计算就简化为最优控制问题的解MaxceZ∞E-ρtu（ct）dt在约束条件下≥ 0和dkt=（r（Kt，Lt，zt）- δ） kt+[（1）- τt）ηt+u（1- ηt）]w（Kt，Lt，zt）dt- ctdt。这里，（zt，ηt）t≥0是一个连续时间马尔可夫链，其规律与（zt，ηit）t中的任何一个相同≥0前面介绍了（5.42）和（4.6）中的租金率函数r和工资水平函数w，Kt=kzt是条件度量uztt的平均值，即Kt=Z[0，∞)kuk，如果zt=1+z、 Kt=z[0，∞)kuk，如果zt=1，则为dt（dk）-z、 其中，总劳动力LTI的定义类似于μη，zt的条件平均值。集合KT和LTA是给定公共噪声的资本和劳动力的条件方法：它们在模型中承载了平均场相互作用。正如我们在讨论前一个例子时所回忆的那样，在存在共同噪声的情况下，制造模式是为了解决，对于适应共同噪声过滤的每个固定的概率度量流，一个通用播放器的优化问题，然后解决固定点问题，以保证我们开始的流量实际上是优化问题解决方案的条件边际定律的流量。请注意，在Krusell-Smith的模型中，公共噪声和特殊噪声是相关的，劳动状态变量ηt（其总和为Lt）只不过是特殊噪声。因此，很明显，MFG范式简化为给定聚合参数的单个优化问题的解决方案，然后针对固定点进行求解。

这正是[63]中提出的数值算法所做的。[63]中不需要时间离散化，因为模型是在离散时间中引入的。然后，使用一种形式的动态编程来解决给定聚合Kt的优化问题，然后通过蒙特卡罗模拟对Kt进行更新，然后返回到给定Kt更新的优化问题的解决方案，依此类推。虽然作者意识到整个分布uk，zt应该更新，但他们认为，对于一个复杂度应该是不可预测的问题，更新平均值足以获得合理的数值结果。正如导言中所解释的，尽管他们从未使用过纳什均衡一词，但他们对递归竞争均衡的数值搜索正是基于HJBE方程解的数值近似迭代，然后是Fokker-Planck-Kolmogorov方程，算法（重新）介绍并在15年后用于平均场博弈的数值解。4.3. Aiyagari增长模型的扩散形式。正如本节导言中所解释的，我们从与本杰明·摩尔的私人谈话中了解到了本小节中介绍的模型。这是Achdou、Buera、Lasry、Lions和Moll在宏观经济学偏微分方程模型综述[1]中讨论的模型之一。据我们所知，作为该模型的平均场博弈，第一个也是最有可能唯一的完整数学解可以在[21]的第3章中找到。我们首先描述模型的最终玩家形式。我们稍后将作为平均场博弈模型来解决它。N特工我∈ {1，…，N}是构成经济的工人。

代理i在时间t的私有状态是二维向量Xit=（Zit，Ait）。在这个模型中，ait是工人i在t时的财富，以及他们的劳动生产率。状态的时间演化由随机微分方程（4.8）给出（dZit=uZ（Zit）dt+σZ（Zit）dWitdAit=[witZit+rtAit- cit]dt。函数uZ，σZ:R→ R是已知的。我们将在后面的示例中详细说明它们，我们将从理论上和数值上进行处理。随机冲击由N个独立的维纳过程Wi=（Wit）t给出≥0，对于i=1，N.rtis是时间t的利率，wit代表工人i在时间t的工资和消费过程ci=（cit）t≥0是玩家i的控制。备注4.1。在许多经济应用中，都会设定借款限额。从数学上讲，这意味着富人必须满足Ait的约束条件≥ a表示某个非正常数a≤ 此外，劳动生产率过程Zi=（Zit）t≥0区域还受到要求它们是遍历的限制，甚至对于某些有限常数0被限制在区间[z，z]内≤ z<z<∞. 我们不知道这些限制的经济理由，我们怀疑这些假设只是为了技术证明的利益。在这个模型中，给定的适应过程r=（rt）t≥0和wi=（即）t≥0对于i=1，N、 工人们选择他们的消费c，cN为了最大化他们的金融工程和经济21预期贴现公用事业：（4.9）Ji（c，…，cN）=EZ∞E-ρtu（cit）dt。与经济应用中的通常情况一样，该模型是在有限的时间范围内建立的，u是一个递增的凹效用函数，对所有工人来说都是一样的。到目前为止，工人们似乎没有互动。此外，我们还需要解释利率和下注过程是如何平衡的。

正如在前面讨论的Krusell-Smith模型中，我们假设经济体的总产量由生产函数y=F（K，L）给出，即经济体在时间t时提供的总资本，比如说，总财富（4.10）Kt=Za duNXt（dz，da）=NNXi=1，而经济体在时间t时提供的总劳动量Lt被标准化为1。这里，我们用unXT表示样本Xt的经验度量，新台币。请注意，只有A-边际进入Kt的定义。备注4.2。正如导言中所解释的，经济因素通过总量相互作用的事实是这些宏观经济模型中平均场模型和平均场博弈公式如此自然的原因。经济理论认为，在竞争均衡中，利率和工资由生产函数（rt=[KF]（Kt，Lt）| Lt=1- δwt=[LF]（Kt，Lt）| Lt=1其中δ≥ 0是资本折旧率。因此，在平衡状态下，经济中各因素之间的相互作用是通过工人财富的经验分布的平均值Kt=RauNX（a，z）。实际解决方案。现在，我们进一步指定模型，将其作为平均场博弈进行求解。我们使用CRRA等弹性效用函数和上文（4.7）中介绍的恒定相对风险规避。注意（4.11）u（c）=c-γ和（u）-1（y）=y-1/γ.接下来，我们使用柯布-道格拉斯生产函数（4.12）F（K，L）=KαL1-α对于某些常数A>0和α∈ (0, 1). 通过这个选择，在平衡状态下，rt=αAKα-1tL1-αt- δ和wt=（1）- α） AKαtL-αtand因为我们将总劳动力供应标准化为1，（4.13）rt=αAK1-αt- δ和wt=（1）- α） AKαt，其中Kt由（4.10）给出，并提供平均场相互作用。

最后，我们使用Ornstein-Uhlenbeck过程对均值回复劳动生产率过程Z=（Zt）t进行了分析≥0通过选择uZ（Z）=1- z和σz≡ 1.为了真实性。移动到22 REN'Ecarmona模型的平均场博弈公式，状态Xt=（At，Zt）根据（dZt=-（Zt）- 1） dt+dWt，dAt=(1 - α） “-αtZt+αuα-1t- δ在- 计算机断层扫描dt，t∈ [0，T]，其中（¨uT）0≤T≤t使人口中的平均财富流动处于平衡状态。它被假定为（严格地）正值。容许控制的集合A是实值平方可积F-适应过程c=（ct）0的集合H2,1+≤T≤两个非负价值，成本函数定义为：J（c）=EZT(-u） （ct）dt- ~u（AT）,对于由（4.7）给出的CRRA效用函数u和u（a）=a，请注意额外的符号，因为我们希望将优化问题视为最小化问题。在这里，我们选择0作为折扣率，因为我们正在研究一个单位。在整个分析过程中，我们假设A>0且Z=1，因此对于任何t，e[Zt]=1≥ 为了用庞特里亚金极大值原理求解这个MFG，我们引入了哈密顿量：H（t，z，a，u，yz，ya，c）=（1）- z） yz+- c+（1）- α） μαtz+（αμα-1.- δ） a对- u（c），其中u=Ra du（z，a）表示度量u的第二个边缘的平均值。第一个伴随方程readsdYz，t=-zH（t，Zt，At，Yz，t，Ya，t，ct）dt+~Zz，tdWt=Yz，tdt+~Zz，tdWt。它的解是Yz，t=0，因为它的终端条件是Yz，t=0。由于变量sz和yz对控制变量c的哈密顿量的最小化不起任何作用，我们使用约化哈密顿量：H（t，a，u，y，c）=- c+（α-α）-1.- δ） aY- u（c），在（a，c）中是凸的，在c中是严格凸的。效用函数导数的形式（4.11）意味着最小化哈密顿量的控制值为^c=(-u）-1（y）=(-y）-1/γ.

因此，根据庞特里亚金随机最大值原理得出的FBSDE读数为（4.14）（dAt=(1 - α） μαtZt+[αμα-1t- δ] 在- (-Yt）-1/γdtdYt=-Yt[α]α-1t- δ] dt+ZtdWt，t∈ [0，T]；YT=-1，其中我们使用了符号（Zt）0≤T≤t表示后向方程二次变量部分的被积函数，以便将其与过程（Zt）0区分开来≤T≤t将模型视为国家的第一个组成部分。尽管效用函数在0处具有奇点，但如果伴随过程（Yt）为0，则检查合同原理充分部分的证明是否通过并不困难≤T≤概率为1的T生活在(-∞, 0).我们将避免重读其余证据的血淋淋的细节。我们请感兴趣的读者参考[21，第3.6.3节]。主要的见解是注意到后向方程可能与正向方程解耦，其解是确定性的，通过求解后向常微分方程得到：dYt=-Yt[α]α-1t- δ] dt，t∈ [0，T]；YT=-1.剩下的证据很容易理解。金融工程与经济学235。从宏观到金融在这一部分中，我们回顾了M.Brunnermeier和Y.Sannikov[14,15]最近的两部著作，其中作者比较了宏观经济和金融模型的历史演变，认为在适当的框架下，对连续时间随机模型的分析应该为这些迄今为止平行发展的经济学子领域提供统一的线索。

为了阐明他们的观点，作者们介绍了经济比较家庭最大化消费的模型，如经典的宏观经济增长模型，以及在金融市场交易的专家。正如导言中所解释的，这些模型会产生带有常见噪声的MFG。共同冲击在宏观经济学中的重要性表明，需要更好地从数学上理解具有共同噪声的MFG。本节回顾的第一个模型属于MFG类别，其中一个群体面临特质术语以及所有人共同面临的随机冲击。它最初是在[14]不明确的时间引入的。虽然第二个模型没有特殊的噪声项，但它涉及两个代理群体。这给了我们一个机会来快速回顾几个群体的MFG的一些特性，这些特性在关于平均场游戏的数学文献中讨论得不够多。5.1. 经济与一种类型的代理人。我们考虑的是一个单一部门的经济，其家庭具有相同的偏好（我们将使用对数效用函数u（x）=logx）和不同的财富水平。我们用I表示房屋的集合。我们选择I=[0，1]是为了确定。在这个模型中，由于每个家庭对经济的影响都很小，我们使用I上的连续概率测度λ来抽样家庭。出于实际目的，我们可以把λ看作[0,1]上的勒贝斯盖测度。备注5.1。将家庭空间视为配备勒贝格度量的单位间隔[0,1]的建议是一种权宜之计。

事实上，从数学角度来看，它并没有通过嗅觉测试，因为为了操纵一系列特殊冲击，而不必面对严重的可测量性问题，我们必须跨越几个环，例如使用富富比尼扩展，而不是勒贝斯盖单位间隔。有关这种严格方法的讨论，请参见示例[21，第3.7节]。在这种模式中，每个家庭经营一家公司并持有资金。ageneric家庭h的资本存量根据以下等式演化：（5.1）dkhtkht=（φ（ιht）- δ） dt+σdWt+σdwht，其中δ>0是折旧率，函数φ反映资本存量中的调整成本。假设该函数满足φ（0）=0、φ（0）=1、φ（·）>0和φ（·）<0。它的凹面反映了技术流动性不足。ιh表示在时间t时房屋h在实物资本中的投资率。本质上，它给出了生产新实物资本所使用的实物资本单位。W=（Wt）t≥0和Wh=（Wht）t≥0是模拟随机冲击的独立维纳过程。DWHT代表特定于住户h的异向冲击，而DWT代表所有住户共同的冲击。我们常称之为公共噪音。挥发率σ和σ为正常数。24勒内卡莫纳家庭持有货币。我们用MHT表示家庭h在t时持有的货币量。他们消费的金额为cht。我们用θht表示时间t时家庭财富在货币中的分数。因此，家庭的控制是三重的（ιht，θht，cht）。家庭的目标是最大化其长期贴现预期消费效用：（5.2）Jh（ι，θ，c）=EhZ∞E-ρtu（ct）dt在控制策略（ι，θ，c）=（ιt，θt，ct）t上≥0.常数ρ>0提供了实现。现在，我们推导出每个家庭执行此优化的动态约束。