平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

作者给出了指数效用和无流动性约束的显式解。他们接着分析了流动性约束和更一般的效用函数的影响。它们提供了强大的数值程序来计算平衡。在CRRA电力效用函数的情况下，他们研究了矿工之间的财富集中情况。他们的结论是，矿工越富有，他们就会越富有。作者还介绍了一个模型，在该模型中，一个特殊的矿工被挑选出来，因为其在剩余的矿工领域具有显著的成本优势（例如，从较低的电价中获益）。自然地，这种特殊的矿工被证明对散列率有更大的贡献。Bertucci、Bertucci、Lasry和Lions使用不同的建模方法。本着这项工作的精神[64]提出了一种平均场方法来研究高频市场中订单簿的动态，他们直接引入了主方程，指出这是研究平均场博弈的最佳方法。请注意，这与通常从引入代理最大化问题开始的方法形成了鲜明对比。使用他们的符号系统，P现在是名义哈希率（每秒哈希数）。它们定义了实际的hashrate Kt=e-δt以速率δ量化技术进步为目标。随着矿工不断获得计算散列的计算能力，KTI的演变是在连续时间内建模的。正如我们前面所解释的，区块链每单位时间输出固定数量的硬币，因此矿工们相互竞争，以获得这一固定产出的一部分。根据以上描述，可以合理地假设他们所获得的份额与他们在金融工程和经济计算能力中的相对份额成正比。

作者假设实际哈希率的动态形式为：dKt=-δKtdt+λUt（Kt）dt，K=kw，其中utr表示计算设备的输入流，或者换句话说，表示单位实际哈希率的值。它们引入了以下关系：0=-（r+δ）U+(-δK+λ）KU+（K+)-1.- c、 该偏微分方程（PDE）应被视为具有众多状态的竞争性平均场博弈的主方程。参与者就是矿工，我们应该将K视为负责平均场相互作用的矿工人口总数的一种度量。如果我们现在假设奖励的形式是g（Pt）/（Kt+) 式中，g是ptt的正函数，其根据（dPt=α（Pt）dt）演化+√2νdWt，P=PdKt=-δKtdt+λUt（Kt，Pt）dt，K=kw函数α为Lipschitz，ν>0，W=（Wt）t≥0是标准的维纳过程，那么u（K，P）=Z∞E-（r+δ）tg（Pt） + Kt- Cdt是一个单位的实hashrate的值函数。在该模型中，Pt捕捉加密货币和货币的价值与W=（Wt）t之间的兑换率≥0是常见噪音的一种形式。在这种情况下，[0]上的主方程，∞) ×R读数：0=-（r+δ）U+(-δK+λU）KU+αPU+νP PU+g（P）K+- 这是具有有限状态空间和公共噪声的制造过程的主方程。同样，MFG的单调结构对这些模型的适定性起着关键作用。的确，存在性和唯一性源于单调性，并且还证明和分析了稳态的存在性。[12]证明了这一点，当g从上到下有界时。[12] 还讨论了针对攻击的模型安全性，提出了对面临不同采矿成本的几个相互竞争的矿工群体的扩展，以及一个可以买卖小型设备的市场。3.

能源与环境的博弈模型在本节中，我们回顾了一些被吹捧并用于重新审视和扩展早期能源与环境市场经济分析的MFG模型。我们首先总结了[21，第1.4.4节]中对[54]中Guéant、Lasry和Lions提出的第一个模型的讨论。石油生产的制造模型。如果我们用x表示，xn控制其自身生产率的N个产油国的初始储量，如果我们用BYXIT表示产油国i在时间t的石油储量，储量的变化应通过（3.1）dXit=-αitdt+σxitdwit其中σ>0是所有生产者共同的波动水平，非负适应平方可积过程αi=（αit）t≥作为制作人施加的控制，14勒内·卡莫纳和Wi=（Wit）t≥0独立的标准维纳工艺。如果我们用时间t表示一桶石油的价格，如果我们用C（α）=bα+aα表示生产α桶石油的成本，那么生产者i试图最大化：（3.2）Ji（α，…，αN）=sup（αt）t≥0，αt≥0EZ∞E-rt[α-itPt- C（αit）]dt,其中r>0是一个折扣系数。正如我们将要解释的，价格是生产者策略之间耦合的来源。一般均衡的概念旨在描述这样一种情况，即所有生产商同时设法使其利润最大化，而市场在需求与供给匹配的意义上得到了澄清。让我们用D（t，p）表示价格为p时t时刻的需求。函数D（t，p）=weρtp-文献[54]中使用了γ。我们使用明显的符号D-1对于逆需求函数，即q=D（t，p）<==> p=D-1（t，q）。平均场公式。在目前的背景下，MFG范式可以很容易地表达出来。

对于每个固定的确定性流量（ut）t≥对于概率测度，我们根据公式计算价格Pt:Pt=D-1.T-ddtZxut（dx）,对这种分布流的最佳响应是通过瞬时成本函数f（t，x，u，α）=[αp]的折扣有限期最优控制问题的解给出的- C（α）]e-t受动态约束（3.1）。如果可以找到测量流量（ut）t，则可以解决制造问题≥0使控制问题解的边际分布L（Xt）与我们开始的流量相匹配，即对于所有t≥ 0.在[54]中，基于耦合HJB和Fokker-PlanckKolmogorov方程组解的MFGs分析方法被用于给出该问题的解决方案。数值例子提供了解决方案的比较静力学。变体和扩展。在[36]中，Chan和Sircar建议研究动力学（3.3）dXs=-αsds+σdWs，Xt=x>0。使用Xt=0的Dirichlet边界条件，以确保一般石油生产商的储量不会变为负值。如前所述，αt表示代理生产商的生产率，X表示剩余储量。与古诺博弈的大多数模型一样，生产者所经历的价格（为了确定起见，称之为Pt）由生产率的线性逆需求函数给出，并选择为ForMPT=1- αt- “αtwhere”α是所有可耗竭资源的平均生产率。使costfunction变成（t，x，u，α）=α[1- αp- α] 式中，u表示给出生产率的控制α的分布，\'-α表示该分布的平均值，p表示由上述逆需求函数给出的价格。这是一种非典型的扩展MFG（因为平均油田相互作用是通过控制进行的），具有丰富的条件，以确保剩余储量不会变为负值。

同时，作者提出了一个稍加修改的可再生能源生产商金融工程与经济模型，并分析了这两类生产商存在时的石油市场。在本文中，他们还提出了上述模型的几种变体。他们的目标是包括一些现实特征，比如战略性封锁可再生能源生产商的入口，以及勘探和发现新储量。虽然并不总是担心数学存在定理的所有微妙之处，但它们为它们的结论提供了启发性的数值说明。这促使Bensoussand Graber等更倾向于数学的作者在[52]中基于Sircar和Chan提出的模型的偏微分方程技术进行完整的存在性分析。为了完整起见，我们提到了Giraud、Guéant、Lasry和Lions提出的宏观视角的石油生产商行为的简单模型。例如参见[49,53,54]。最近，Achdou、Giraud、Lasry和Lions重新审视了其中一些模型，包括主要和次要玩家的存在。见[2]。此外，请注意，虽然博弈论方法本身并不涉及平均场博弈，但卢德科夫斯基和瑟卡尔在[66]中使用了博弈论方法来分析石油产量。3.2. 电力市场和电网的制造模型。一般均衡模型在电价工程文献中有着悠久的历史。参见示例[57]及其参考文献。最近，Djehiche、Barreiro Gomez和Tembine提出了智能电网中的平均场博弈模型。见[41]。尽管如此，为了在智能电网中模拟个人决策，Alasseur、Ben Tahar和Matoussiuse[6]在一个游戏中通过控件进行平均场交互，作为管理存储的框架。

在[5]中，A"id、Dumitrescu和Tankov使用了前面回顾过的一个平均场计时模型，以捕捉可再生能源生产商选择进入新市场的时间，以及使用化石燃料的传统生产商应该退出市场的时间。在不同的背景下，a"id、Basei和Pham在[4]Stackelberg博弈模型中研究了领导者（发电企业）和追随者（消费者）可能根据其分布情况选择策略的情况。所以他们解决了McKean-Vlasov类型的最优控制问题。本文的重点是证明斯塔克伯格均衡不是帕累托最优的，并解释这种差异的经济后果。在一个模型中调查需求响应合同的估值，模型中的消费者具有平均场交互作用，并且存在影响其消费的共同噪声，Elie、Hubert、Mastrolia和Possama"i在[43]中提出了一个带有道德风险的合同理论问题，我们将在下文第6节中更详细地讨论这些问题。在他们的模型中，委托人是一个发电商，持续观察一系列规避风险的消费者的消费，并设计合同以降低生产成本。更具体地说，生产商激励消费者减少平均消费量以及在不同制度下的波动性，而不观察他们可能做出的努力。这正是我们将在第6节研究的模型类型。Shrivats、Firoozi和Jaimungal[74]最近发表的论文仍在电力市场的背景下，为下一次讨论环境市场提供了一个平稳的过渡。

事实上，它提出了制造模型，以得出发电商的最佳行为，以及太阳能可再生能源认证（SREC）在基于市场的系统中的均衡价格，该系统旨在激励太阳能发电。16勒内卡莫纳3。3.环境经济学。Golosov、Hassler、Krusell和Tsyvinski在[50]中提出了早期一般均衡模型，旨在理解外部性和税收的影响和控制（本着托宾税收的精神）。Bueler[16]和Haurie[55]在排放市场的早期工作中也使用了一般均衡模型，而Carmona、Fehr、Hinz和Porchet[24]在欧盟排放交易系统（EU ETS）的分析中更为重要。另见其中的参考文献。我们在第4节的后面讨论，许多一般均衡模型可以被改写为平均场博弈模型。最近，Bahn、Haurie和Malhamé利用最早出现在MFG处理中的想法来模拟与环境政策相关的谈判。见[9]。最后，我们提到了Carmona、Dayanikli和Laurière[20]最近的工作，他们使用主要和次要参与者的制造模型，非常符合我们在第6节中回顾的契约理论模型的精神，在处理电力生产时，对一方的外部性和监管以及另一方的可再生能源投资进行均衡分析。4.宏观经济增长模型在本节中，我们回顾了几种一般均衡经济增长模型。

Weborrow的第一篇文章来自Guéant、Lasry和Lions关于平均场游戏的论文[54]。我们选择在这里展示它是因为，通过巧妙地改编来自Aghion和Howitt模型的想法，作者提出了一个带有公共噪声的模型，可以显式求解，一直到主方程。我们对第二种模型的选择是由一个显著的特性驱动的：尽管Krusell和Smith的理论贡献[63]早在平均场博弈范式被阐明之前就出现了，但作者提出的数值算法从数量上近似平衡特征，读起来似乎是为计算MFG平衡而设计的。事实上，看到数字算法的描述是如何一步一步地模仿平均场博弈策略，这种策略基于步骤的交替迭代，以接近HJB方程和Fokker-PlanckKolmogorov方程的解，这是很奇怪的。我们从与Benjamin Moll的私人谈话中了解到了本节介绍的第三个示例。我们把它包括在这篇综述中，因为它可以被完全地、数学地和数值地解决。不幸的是，这些例子很少。感兴趣的读者可能还想参考Achdou、Han、Lasry、Lions和Moll[3]的另一篇关于连续时间宏观经济模型重铸为MFG的讨论。4.1. 第一个例子是基于帕累托分布的微积分。我们直接介绍了博弈的平均场公式，而不是从定义有限玩家博弈开始，因为玩家之间的交互是局部的，因为它是玩家状态统计分布密度的函数。在众多参与者的情况下，该分布是众多参与者的经验分布，因此，其本身没有密度。

因此，为了避免引入平滑的经验度量来确定参与者的成本，我们直接跳到平均场博弈公式，该公式可以直接使用密度，而不需要任何软化参数。在这个模型中，没有特殊的冲击，只有所有参与者共有的总冲击。它们由一维维纳过程w=（Wt）t的增量给出≥0.我们用F=（Ft）t表示≥0它的过滤。我们还假设，一般参与者状态的金融工程与经济17波动性是线性的，即对于某些正常量σ，σ（x）=σx，并且每个参与者控制其状态的漂移，以便其状态的动态读数为：（4.1）dXt=αtdt+σXtdWt。对于确定性函数（t，x）7，我们将把自己限制为αt=α（t，Xt）形式的马尔可夫控制→ α（t，x），它将被假定为非负的，并且在变量x中是lipschitz。在这些条件下，Xt≥ 如果X，则始终为0 t>0≥ 0.注意，对于相同的线性控制α（t，x）=γtx，对于某些连续路径[0，t]3 t7，如果xT和xT是（4.1）的解→ γt∈ [0, +∞), 初始条件为X≤~X，然后（4.2）~Xt=Xt+（~X- 十） eRtγ-sds-（σ/2）t+σWt。我们假设k>0是一个固定参数，我们为衰减参数为k的单侧比例帕累托分布族引入了一种特殊符号。对于任何实数q>0，我们用u（q）表示区间[q]上的单侧帕累托分布，∞):（4.3）u（q）（dx）=kqkxk+1[q，∞)（x） dx。注意，对于任何随机变量X，X~ u（1）相当于qX~ u（q）。每个t≥ 0我们定义ut（dx）=P[Xt∈ dx | Ft]。流量（ut）t≥概率测量的0适用于常见噪声的过滤。

回想一下，在存在常见噪声的情况下，MFG范式是为每个固定的F-适应概率度量流（ut）t求解≥0，一般玩家的优化问题，然后解决定点问题，以确保流量（ut）t≥我们从0开始，实际上是最优化问题解的条件边际定律的流动。对于这个特定的分布族，如果u=u（1），那么ut=u（qt），其中qt=eRtγsds-（σ/2）t+σWt。换句话说，以公共噪声的历史为条件，如果以这种方式开始，参与者状态的分布仍然与参数k保持帕累托关系，并且分布qt的左手点可以理解为表征分布ut的一个充分的统计学特征。如果X~ u（1），然后是ut~ u（qt）。这个简单标记为给定公共噪声的状态（条件）边缘分布的时间演化提供了一个明确的公式。一般来说，在具有公共噪声的MFG中，这种时间演化很难确定，因为它需要求解前向随机偏微分方程（简称SPDE）。使用与[54]中相同的符号，我们定义了运行成本函数f byf（x，u，α）=cxa[（du/dx）（x）]b-Epαp[u（[x，∞))]b、 对于正常数a、b、c、E和p>1。[54]讨论了该成本函数形式的经济原理和参数的含义。按照惯例，此公式中出现的密度是度量u的Lebesgue分解的绝对连续部分的密度，当度量为单数时，它被设置为0。哈密顿量最优化的参数由^α（x，u，y）给出=耶u（[x，∞))B1/（p-1） .18 REN'Ecarmona该公式可用于编写主方程，当仅限于单边帕累托分布时，由于上述注释，可以将其简化为有限维偏微分方程。