平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

我们现在有三个一阶条件。32勒内卡莫纳≤ 0和（1）- θ) ≥ 1我们可以分离出控制ι的贡献。这将导致数量的最大化（a- ι） /qt+φ（ι），这会导致“-qt+φ（ι）=0<=> ι = (φ)-1.-qt.在[15]中使用的函数φ（ι）=（1/κ）log（1+κ）的情况下，我们得到：^ιt=κ（qt）- 1).在任何情况下，该值对于所有专家e都是相同的，并且作为控制过程，它适用于常见噪声的过滤。如前所述：cH=0<=> -ξ - E-ρtu（c）=0<=> c=（u）-1.-eρtξ因此，在对数效用的情况下，最优消耗率由^ct=-E-ρt/ξt伴随过程（ξt）t≥0解伴随方程：dξt=-nHdt- ξtζtdWt。注意，FOCθH=0给出：（5.38）rt=a- ιqt+φ（ι）- δ+uqt+σqt- ζt（σ+σqt），我们将在下面看到，该公式将帮助我们确定过程（rt）t项下的单个专家最优投资≥0，（qt）t≥0，（uqt）t≥0，（σqt）t≥0.计算nH从（5.37）我们得到nH（t，n，ξ，ζ，c，ι，θ）=hθrt+（1-θ)A.- ιqt+φ（ι）-δ+uqt+σqt我ξ-(1-θ） （σ+σqt）ζξ，利用（5.38）得到nH（t，n，ξ，ζ，c，ι，θ）=ξr且伴随方程改写为：（5.39）dξtξt=-rtdt- ζtdwt，这正好说明了我们对第二个伴随变量形式的选择。将其应用于（5.36）和（5.39）我们得到：d（ξtnt）ξtnt=-ctntdt+-ζt+（1）- θt）（σ+σqt）因此，选择（5.40）ζt=（1- θt）（σ+σqt），我们发现，与计算家庭最佳消费率的情况一样，ξtnt=-E-ρt/ρ，因此：（5.41）^cet=ρnet。因此，最优消费率与财富成正比的事实并不受随机冲击的影响。这是对数效用的典型情况。

如果我们选择ζ锡（5.38）为（5.40），我们会发现：（5.42）rt=a- ^ιtqt+φ（^ιt）- δ+uqt+σqt- (1 - θet）（σ+σqt）金融工程与经济33，我们可以很容易地从中提取所需的θeta。清除约束和平衡。寻求这一宏观经济模型的一般均衡的下一步是阐明所有市场清晰需求所施加的约束，并表明人们可以识别过程（rt）t≥0，（qt）t≥0，（uqt）t≥0，（σqt）t≥0满足这些约束并允许同时优化所有代理。清理最好用总量来表示。给每个人∈ {h，e}，我们用cit表示i型试剂的总消耗量。我们通常写：Cht=ZIh^Chtλh（dh），Cet=ZIe^Cetλe（de）。给定（5.30）和（5.41），我们看到Cht=ρNht和Cet=ρNetwhere Nht和neta分别是家庭和专家人口的综合价值，即Nht=ZIh^Nhtλh（dh）和Net=ZIe^Netλe（de）。如果我们用Kt表示时间t时经济中的总实物资本，即Kt=ZIeketλe（de），经济中的总财富等于qtkT。贷款市场的清算要求在每个时间t时，专家的总债务，比如说Det，等于家庭的总贷款，因此：Det=ZIhnhtλh（dh）=Nht。SoNet=qtKt- Det=qtKt- 这意味着（5.43）qtKt=Nht+Net。可以方便地使用代表专家财富份额的数量：（5.44）ηt=NetNht+Net=netqtkt。

请注意，所有这些聚合量都是随机的，因为它们取决于公共噪声，而公共噪声在聚合计算中并不平均，因为它对所有代理都是公共的。所需商品的市场消费结算T=（a）- ιet）kT换句话说，ρqtKt=（a- ιet（qt））kT，意味着ρqt=a- ιet（qt），这反过来意味着过程（qt）t≥0实际上是一个正常数，比如q。因此，μqt≡ 0和σqt≡ 如果我们使用[15]中提出的函数φ（ι）=（1/κ）log（1+κι），我们得到（5.45）q=1+κa1+κρ和ιe=a- ρ1+κρ34勒内卡莫纳资本市场清算收益率：（5.46）1- θet=qtKtNet=ηt知道qt必须是一个确定性常数，我们可以使用dnetnet=dnetnet=hrt+（1）的事实- θet）σ-cetnetidt+（1）- θet）σdWt（5.47）和dketket=dketket=hrt+（1- θet）σ- ρidt+σdWt（5.48），从它的公式中得出：dηtηt=d净重/千吨净/Kt=h-cetnet+ρ+（θet）σidt- θetσdWt=（θet）σdt- θetσdWt（5.49），我们可以重写为（5.50）dηt=σ（1）- ηt）ηtdt+σ（1）- ηt）dWtif如果我们使用资本市场清算条件（5.46）。理解这是一个开区间（0，1）上的随机微分方程。根据Feller的一维扩散理论，标度函数p（x）和速度测度m（dx）由以下公式给出：p（x）=1.-2xm（dx）=σx（1）- x） dx。Feller的爆炸试验是可以计算出来的，它说如果在区间（0，1）内开始，扩散将永远保持在区间内，实际上是有限的→∞ηt=1几乎可以肯定。还要注意的是，漂移总是正的，当η很小时，漂移非常大，因此直到随机冲击（其大小σ（1））引起的波动- ηt）随着ηt接近1）而减小，人们应该预计ηt会迅速向1增长，当它接近1时，大部分会发生变化。如图1所示。金融工程与经济35图1。

ηt的典型样本路径。从经济角度来看，这意味着专家持有的财富比例迅速增长，接近100%的高值，并最终收敛到100%的水平，让家庭束手无策。最后，重新审视约束（5.42），我们看到在平衡状态下我们必须有：rt=a- ιetqt+φ（ιet）- δ+uqt+σqt- (1 - θet）σ=a- ιetqt+φ（ιet）- δ - (1 - θet）σ=a- ιetqt+φ（ιet）- δ -σηt=ρ+κlog1+κa1+κρ- δ -σηt（5.51），如果我们使用[15]中提出的函数φ（ι）=（1/κ）log（1+κι）。注：对于ηt的较小值，该利率为负值。给定常见的随机冲击过程W，我们通过求解随机微分方程（5.50）找到一个过程（ηt）t≥0将保留在（0，1）中。接下来，我们将介绍短期利率过程（rt）≥0by（5.51）和（5.45）给出的固定资本价格qn，所有代理都可以同时最大化其预期的长期消费折扣效用，所有市场都是透明的。这些都是设计平衡的要素。两种群，有限水平平均场博弈公式。本节中描述的模型是有限视界、两种群平均场博弈（MFG）的缩影，具有公共噪声和无特殊噪声。我们直接在极限平均场极限中明确了这一点，而没有通过对底层模拟的描述来激励它。

由于我们不知道现有文献中处理过的此类例子，我们根据[21]和[22]的精神和符号制定了严格的定义，并考虑了特殊随机冲击的可能性。36 REN'ECarmona随机冲击的来源是三个独立的Rd值Wiener过程SW=（Wt）t≥0，代表第一类玩家的特殊噪音，W=（Wt）t≥0代表第二类玩家的特殊噪音，W=（Wt）t≥0代表所有玩家共有的噪音。对于i=0，1，2，我们用Fi=（拟合）t表示≥0 Wi生成的过滤。MFG问题可以表述为以下两个要点的结合：（1）对于Rd上的任意两个概率度量u和u，以及Rd上的两个随机概率度量u=（ut）t>0和u=（ut）t>0，两者都适用于常见噪声的过滤，解决两个最优控制问题：supαJ1，u，u（α）和supαJ2，u，F值过程α=（αt）t上的u（α）≥0和f可测量的Rk值过程α=（αt）t≥0，其中J1，u，u（α）=EZ∞E-ρtft、 Xt，ut，ut，αtdt,J2，u，u（α）=EZ∞E-ρtft、 Xt，ut，ut，αtdt,当dxt=b时t、 Xt，ut，ut，αtdt+σt、 Xt，ut，ut，αtdWt+σ1,0t、 Xt，ut，ut，αtdWt，dXt=bt、 Xt，ut，ut，αtdt+σt、 Xt，ut，ut，αtdWt+σ2,0t、 Xt，ut，ut，αt对于t>0，且L（X）=u和L（X）=u，则为dWt。（2） 找到F适应的随机流u=（ut）t>0和u=（ut）t>0，这样，在过去的共同噪声条件下，几乎可以肯定，上述随机控制问题的解的边际分布与我们开始的概率流的元素一致。

换句话说：T∈ [0，T]，uT=L^X1，u，ut | Ft, ut=L^X2，u，ut | Ft,如果我们用^X1，u，u和^X2，u，u表示上述最优控制问题的解。在实践中，需要对系数b、σ、σ1,0、b、σ、σ2,0和随机微分方程的运行奖励函数进行特定假设，以确定两个总体的一般状态Xt和Xt，并确定有意义的预期成本。此外，对于满足定点条件（2）的两个测量流的存在，需要更多的限制性假设。我们的目标是解释上一小节中提出的宏观经济模型是如何成为这种平均场博弈的一个例子第一类人口中的个人是家庭，第二类人口中的个人是专家在目前情况下，不存在的特殊噪声可以取σ=σ=0通用州XT和XT是富人的nhtand网络。金融工程与经济学37o因此，对上述MFG解决方案定义第（2）项中的定点条件的解释是，在平衡状态下，（随机）度量u和ut应为过去{Ws；0≤ s≤ t} 常见的噪音事实上，正如我们即将看到的，状态方程和奖励函数的系数形式是这样的，概率度量的平均值（第一时刻）和充分的统计数据。

因此，我们不必使用完整的随机测量值ut和ut，我们可以将自己限制在它们的平均值“ut=Rxut（dx）”和“ut=Rxut（dx）”，它们仍然是过去常见噪声的函数根据上述制造解决方案定义的第（1）项，对于（随机）概率测度u=（ut）t>0和u=（ut）t>0的随机流的每一对，我们需要能够解决两个最优控制问题，然后再解决本定义第（2）项中所述的执行点问题。我想说的是，这正是我们在本节前面研究的宏观经济模型的一般均衡构建的优化步骤中所做的。为了使下面的讨论更加透明，我们应该考虑随机过程（Nht）的“utand”和“utast”的方法≥0和（净）t≥家庭和专家群体中总财富的0%——每次≥ 0，知道平均值“ut”和“ut”，可以计算ηt=”ut/（“ut+”ut），然后计算公式（5.51）中的数量选择控制αt=cht，漂移函数b（t，nh，ut，ut，αt）=rtnht- cht，波动率σ1,0（t，nh，ut，ut，αt）=0，奖励函数f（t，nh，ut，ut，αt）=log-cht，对于家庭的效用，我们看到第（1）项中的第一个最优控制问题正是我们使用庞特里亚金最大值原理解决的家庭优化问题。

注意，在状态动力学中，即在函数b中，随机概率度量u和ut的依赖性隐式地通过过程rt-选择控制αt=（ιt，θt，cet），漂移函数b（t，ne，ut，ut，αt）=θtrtnet- cet+（1）- θt）网A.-ιq+φ（ιt）- δ,挥发性σ2,0（t，ne，ut，ut，αt）=（1- θt）净σ，以及奖励函数f（t，ne，ut，ut，αt）=log Cet我们可以看到，第（1）项中的第二个最优控制问题正是我们所说的专家的优化问题，我们使用最大值原理解决了这个问题。与之前一样，对随机概率的依赖性度量utandutappers隐式地通过processrt制造商定义第（2）项中的定点条件保证了“ut=nh”和“ut=nets”，因此过程（ηt）≥0确实是专家的财富份额，而过程（rt）t≥0确实是短期利率过程，所有清算条件都得到满足。38勒内卡莫纳5。3.结论。因此，两种群平均场博弈的纳什均衡与前面小节中构造的一般均衡一致。但我们得到了什么？我们不是在让事情变得更糟吗？约翰·沃尔夫冈·冯·歌德曾说过：“数学家就像法国人：无论你对他们说什么，他们都会翻译成自己的语言，然后就完全不同了。”我想补充一点，如果数学家是法国人，情况就更糟了！尽管如此，一旦宏观经济一般均衡模型被重新表述为一个平均场博弈，过去15年中开发的分析这些模型的技术就可以用来理解这些宏观经济模型。

其中，1）计算解和静力学的数值方法，2）有限总体模型的收敛性和有限规模效应的量化，3）平衡点的唯一性分析，4）集中优化对应物的分析和全球福利的比较（例如，无政府状态价格的计算）。6.道德风险与契约理论在回顾了契约理论的一些主要历史发展，并解释了模型的基础之后，我们集中讨论了最近两篇使用平均场博弈的论文，目的是将该理论的可能应用扩展到更大的代理人群体。由于本书[21,22]并未将这一主题作为平均场游戏的可能应用进行讨论，因此我们花了大量时间回顾经济理论的基础，以及最近涉及平均场模型的一些应用。用外行的话说，经济契约理论的目的是解决这类问题：a）政府应该如何通过鼓励公民接种疫苗来控制流感暴发？b） 税收应该如何影响人们的消费、储蓄和投资决策？c） 为了提高生产力，雇主应该如何激励和补偿员工？虽然这些都是平凡的目标，但它们应该对合同理论可以包含的问题类型有一些初步的了解。

我们将使用并试图阐明的经济术语包括相似性问题、契约理论、道德风险和信息不对称代理问题是指当一方的行为符合另一方的最佳利益时，双方之间的利益冲突合同理论的目的是研究一个经济代理人如何设计和构建一个合同协议，以激励另一个代理人以其最佳利益行事。当两个代理可获得的信息不相同时，通常会出现此问题在经济学和金融学中，道德风险指的是一种情况，即代理人有动机承担过度风险，因为他们没有承担该风险的全部后果在合同理论和经济学中，信息不对称是指研究一方比另一方拥有更多或更好信息的交易中的决策当一个代理人对另一个人或被称为委托人的实体的行为做出决定时，就会出现委托代理问题。金融工程与经济学这一重要经济学领域最早的贡献集中在静态单周期模型上。它们附在米尔莱斯[67]和霍姆斯特罗姆[58,59]的名字后面。第一个动态模型是由Holmstr"om和Milgrom[60,61]引入的，桑尼科夫的突破[72,73]需要等待近20年。通过关注连续时间的马尔科夫扩散模型，并利用随机控制问题的弱公式来捕捉道德风险，桑尼洛夫创造了一股新的兴趣浪潮，尤其是金融数学家。