平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

，m}×A×S×P（A）→ q（t，i，j，α，p，ν）∈ R.我们假设：（i）Q（t，α，p，ν）是一个Q-矩阵。（ii）0<C<q（t，i，j，α，p，ν）<C（iii）对于所有（t，i，j）∈ [0，T]×E，α，α∈ A、 p，p∈ S和ν，ν∈ P（A），我们有：|q（t，i，j，α，P，ν）- q（t，i，j，α，p，ν）|≤ C（kα）- αk+kp- pk+W（ν，ν），其中Wis是P（A）上的1-Wasserstein距离。假设（i）是自然的，因为我们从一个标准过程开始，它是一个连续时间马尔可夫链。假设（ii）的严格正下界在一开始可能看起来是限制性的，但如果我们理解，事实上，满足矩阵的给定幂是足够的，这个假设保证所有状态都可以通过适当的行动实现，这是控制问题可解的一个可取特征。最后，如果人们想到研究这些模型所需的数学分析，则可以预期假设（iii）。现在，金融工程与经济45oα=（αt）0≤T≤T∈ Aop=（pt）0≤T≤概率测度对Eoν=（νt）0的影响≤T≤定义鞅L（α，p，ν）=（L（α，p，ν）t）0的概率度量流≤T≤TbyL（α，p，ν）t:=ZtX*s-· （Q（s，αs，ps，νs）- Q） ·ψ+s·dMs。简单的计算表明L（α，p，ν）t=X*T-· （Q（t，αt，pt，νt）- Q） ·ψ+t·Xt，在时间t没有跳跃时为0，或q（t，i，j，αt，pt，νt）- 1如果状态在时间t从状态i跳到状态j。在任何情况下，L（α，p，ν）t≥ -1.

此外，Doleans指数E（L（α，p，ν））是一致可积的，因此我们可以将Girsanov定理的扩展应用于具有跳跃的过程，并通过其相对于p:dQ（α，p，ν）dP:=E（L（α，p，ν））T的密度定义概率测度Q（α，p，ν），这保证了过程M（α，p，ν）=（M（α，p，ν）T）0≤T≤定义为：（6.4）M（α，p，ν）t:=Mt-Zt（Q）*（s，αs，ps，νs）- Q） ·Xs-ds是一个Q（α，p，ν）-鞅，Xunder Q（α，p，ν）的正则分解为：（6.5）Xt=X+ZtQ*（s，αs，ps，νs）·Xs-dt+M（α，p，ν）t，表明在Q（α，p，ν）下，Xis Q（t，αt，pt，νt）的随机强度率。请注意，Xhas仍然是分布po如果αt=φ（t，Xt-) 对于某些可测函数φ，Xis是一个连续时间马尔可夫链，其跳跃率强度q（t，i，j，φ（t，i），pt，νt）在测度q（α，p，ν）下。正如我们前面提到的弱公式所解释的，代理人控制权的选择不会影响状态过程的轨迹，但它不会影响概率分布Q（α，p，ν），在本例中，它决定了委托人的预期成本和回报。委托人的优化问题。委托人的报酬取决于代理人状态的分配和向代理人支付的款项。我们使用符号oc:[0，T]×S→ R代表运行成本函数oC:S→ R终端成本函数定义委托人的成本。现在，假设所有代理选择α=（αt）0≤T≤他们的控制策略是，由此产生的代理人状态的边际分布流是p=（p（t））t∈[0，T]，委托人提供的合同为（r，ξ），委托人的预期总成本由以下公式给出：Jα，p（r，ξ）：=EQ（α，p）“ZT[c（T，p（T））+rt]dt+c（p（T））+ξ#。

我们假设，对于委托人提出的给定合同（r，ξ），代理人达到纳什均衡，如以下声明中严格定义的。定义6.3。偶（^α，^p）是契约（r，ξ），（^α，^p）的纳什均衡∈ N（r，ξ）在符号中，如果：（i）^α是对其他代理行为的最佳反应，即当代理承诺履行合同时（r，ξ），它使成本最小化，并且所有代理的边际分配流量由以下公式给出：^p:^α=arg infα∈AEQ（α，^p）“ZT[c（t，Xt，αt，^p（t））- u（rt）]dt- U（ξ）#。（ii）（^α，^p）满足定点条件：（6.6）T∈ [0，T]^p（T）=EQ（^α，^p）[Xt]。注意，对于所有的t，这个方程相当于^pi（t）=Q（^α，^p）[Xt=ei]∈ [0，T]安迪∈ {1，…，m}。委托人最优契约问题。正如我们已经解释过的，假设代理达到纳什均衡，原则使他或她的总预期成本最小化。因此，我们只考虑导致至少一个纳什均衡的合约（r，ξ）。我们用C表示所有可容许契约的集合。为了实现参与约束，我们规定了代理人的预期总成本高于给定阈值κ的均衡，即合同理论中代理人的“接受或不接受”行为：如果代理人的预期总成本超过某个阈值，他们应该能够拒绝合同。总之，主体的优化问题是：V（κ）：=inf（r，ξ）∈Cinf（α，p）∈N（r，ξ）Jr，ξ（α，p）≤κEQ（α，p）ZT[c（t，p（t））+rt]dt+c（p（t））+ξ,解决个体Agent优化问题。对于agent的优化问题，我们引入了哈密顿量H:[0，T]×E×Rm×A×s×R→ 定义：H（t，x，z，α，p，R）：=c（t，x，α，p）- r+x*（Q（t，α，p）- Q） 和Hi（t，z，α，p，r）=H（t，ei，z，α，p，r）。

我们假设α存在一个唯一的极小化子^αi（t，z，p）→ Hi（t，z，α，p，r）并且它在z中是一致的Lipschitz，我们使用旋转：^Hi（t，z，p，r）=Hi（t，z，αi（t，z，p，r），p，r）和^H（t，x，z，p，r）=mXi 1^Hi（t，z，p，r）1x=ei表示最大哈密顿量。由马尔可夫链驱动的BSDE。根据随机控制问题弱公式的根本策略，我们介绍了BSDE：（6.7）Yt=-U（ξ）+zth（s，Xs）-, Zs，αs，p（s），u（rt））ds-ZTtZ*sdMs。金融工程与经济47（6.8）Yt=-U（ξ）+ZTt^H（s，Xs）-, Zs，p（s），u（rt））ds-ZTtZ*sdMs。通过检验，我们证明了以下表示定理。请注意，在当前情况下，BSDE由连续时间马尔可夫链驱动。引理6.4。对于每个固定合同（r，ξ），α∈ A和可测映射p:[0，T]→ S、 （i）BSDE（6.7）允许唯一解（Y，Z），我们有jr，ξ（α，p）=EP[Y]。（ii）BSDE（6.8）允许一个唯一的解决方案（Y，Z），并且我们有infα∈AJr，ξ（α，p）=EP[Y]。此外，agent的最优控制为^α（t，Xt）-, Zt，p（t））。作为BSDE解的纳什均衡。设（Y，Z，α，p，Q）为mcken-Vlasov-BSDE系统的解：Yt=- U（ξ）+ZTt^H（s，Xs）-, Zs，p（s），u（rs））ds-ZTtZ*sdMs（6.9）Et=1+ZtEs-十、*s-（Q（s，αs，p（s））- Q） ψ+sdMs，（6.10）αt=^α（t，Xt）-, Zt，p（t）），（6.11）p（t）=EQ[Xt]，dQdP=ET.（6.12）oY是一个自适应的cádlág过程，使得EP[RTYt]<+∞ 尽管如此，t∈ [0，T]，oZ是一个适配的平方可积左连续过程，oα∈ A、 p:[0，T]→ S是可测量的，Q是Ohm以下结果将McKean-Vlasov BSDE（6.9）-（6.12）的解与代理的纳什均衡联系起来。定理6.5。如果BSDE（6.9）-（6.12）允许解（Y，Z，α，p，Q），那么（α，p）是纳什均衡。相反，如果（^α，^p）是纳什均衡，那么BSDE（6.9）（6.12）允许一个解（Y，Z，α，p，Q），使得α=^α，dP dt-a.e。

p（t）=^p（t）dt-a.e.委托人的最优契约问题。回想一下优化问题的原理：V（κ）：=inf（r，ξ）∈Cinf（α，p）∈N（r，ξ）Jr，ξ（α，p）≤κEQ（α，p）“ZT[c（t，p（t））+rt]dt+c（p（t））+ξ，不幸的是，这个问题是完全难以解决的！！！！所以我们把它转化为一个更为熟悉的控制问题。这通常被称为桑尼科夫把戏。它的性质由Cvitanic、Possama"i和Touzi在[39]中清楚地阐明。我们考虑（向前）麦肯-弗拉索夫SDEs系统：Yt=Y-Zt^H（s，Xs）-, Zs，p（s），u（rs）ds+ZtZ*sdMs（6.13）Et=1+ZtEs-十、*s-（Q（s，αs，p（s））- Q） ψ+sdMs，（6.14）αt=^α（t，Xt）-, Zt，p（t）），（6.15）p（t）=EQ[Xt]，dQdP=ET.（6.16）这与之前的方程类型相同，只是我们在时间的前进方向上写Y的动力学。这就完全不同了。事实上，如果我们用（YZ，br，Y），Z（Z，r，Y），α（Z，r，Y），p（Z，r，Y），p（Z，r，Y））来表示它的解，那么期望值低于（Z，r，Y）E（Z，r，Y），如果我们考虑最优控制问题：~V（κ）：=infEP[Y]≤κinfZ∈HXr∈RE（Z，r，Y）ZT[c（t，p（Z，r，Y）（t））+rt]dt+c（p（Z，r，Y）（t））+U-1(-Y（Z，r，Y）T）,然后，作为前一个定理的直接结果，我们得到了V（κ）=V（κ）。一类可解模型。尽管上述结果在理论层面上提供了信息，但如果不能应用于实际问题的解决，其实际价值仍然很小。在这方面，值得一提的是，在一组合理的假设下，可以确定可计算的解决方案。以下是一个例子。

我们o∈ S、 我们假设作用空间是一个有界区间，比如a:=[α，α] R+，在控制条件下，过渡速率是线性的，即：q（t，i，j，α，p）：=\'qi，j（t，p）+λi，j（α）- α） ，对于i6=j，q（t，i，i，α，p）：=-Xj6=iq（t，i，j，α，p），其中oλi，j∈ R+代表所有i 6=j，pj6=iλi，j>0代表所有i，o\'qi，j:[0，T]×S→ R+是所有i6=j的连续映射。此外，我们假设代理运行成本的形式为：c（t，ei，α，p）：=c（t，ei，p）+γiα，其中γi>0，以及映射（t，p）→ c（t，ei，p）对所有i是连续的∈ {1，…，m}。最后，我们假设连续报酬u的效用函数是连续的、凹的和递增的，并且终端报酬的效用是线性的，即u（ξ）=ξ。在这些条件下，可以证明哈密顿量的极小值由以下公式给出：^α（t，ei，z，p）=^α（ei，z）=b-γiXj6=iλi，j（zj- (子),因为我∈ {1，…，m}，其中b（z）：=min{max{z，α}，α}。在这些假设下，onecanFINANCIAL ENGINEERING&ECONOMICS 49o将问题简化为概率度量流的最优控制，并构建最优合同！详见[28]。我们用一个具体的例子来说明这个结果。流行病控制的简单模型。在展示我打算用作说明的模型的血淋淋细节之前，我觉得有必要提供一个免责声明。王佩琦和我在三年多前发明了这个模型，目的是阐明理论的内部运作和[28]中提出的分析计算。在2020年春季，当论文在管理科学中被接受发表时，主编问我们是否可以加一个讨论来强调这种模型与COVID-19流行病的相关性。

我们是有义务的，在这样做的同时，我意识到了这些新工具的潜力，它们可以帮助决策者控制流行病的传播，并在关闭后局部地重新开放经济。考虑到目前我们所处的困境，Aurrell、Dayanikli、Laurière和我开始系统地研究模型的哪些扩展可以带来对监管的健康和经济后果的理解。这一努力导致了[8]。对类似平衡观点在流行病控制中的应用感兴趣的读者也可以参考Elie、Hubert和Turiici最近的工作[44]。下面，我们介绍了最初在[28]中介绍的模型，其中给出了大量的数值说明，说明了模型的各种参数的影响，特别是监管机构提出的合同如何影响代理人从一个城市迁移到另一个城市的倾向。监管机构试图控制病毒在一段时间内的传播[0，T]。监管机构的管辖范围包括两个城市，比如A和B。每个人要么感染（I）要么健康（H），生活在A或B城市。

所以模型的状态空间是E={AI，AH，BI，BH}，我们用πAI，πAH，πBI，πBH来表示每个状态中个体的比例。为了描述每个个体状态的时间演变，我们引入了以下假设：（1）感染病毒的速率取决于城市中受感染个体的比例，因此从AH状态到AI状态的转换速率为θ-A（πAIπAI+πAH）–从BH态到BI态的跃迁速率为θ-B（πBIπBI+πBH）。（2） 恢复率是城市中健康个体比例的函数，因此——从AI状态到AH状态的转换率是θ+a（πAHπAI+πAH）——从BH状态到BI状态的转换率是θ+B（πBHπBI+πBH）。（3） 每个人都可以尝试迁移到另一个城市：我们用νIα表示状态AI和BI之间的转换率，用νHα表示状态AH和BH之间的转换率。（4） 当个人在城市之间移动时，感染状态不会改变。非负函数θ-A、 θ-B、 θ+a和θ+Bare递增，在[0,1]上可微。它们表征了A和B城市的医疗质量。因此，我们可以改变它们的参数，使其对从一个城市搬到另一个城市或留在原地的个人具有或多或少的吸引力。在任何情况下，根据这些简单的公式，系统的Q矩阵为：AI AH BI BH50 REN'ECARMONAQ（t，α，π）：=. . . θ+A（πAHπAI+πAH）νIα0θ-A（πAIπAI+πAH）。0νHανIα0。θ+B（πBHπBI+πBH）0νHαθ-B（π-BIπ-BI+π-BH）。

.AIAHBIBHWe现在介绍成本，首先介绍代理：c（t，AI，π）=c（t，AH，π）：=φAπAIπAI+πAH,（6.17）c（t，BI，π）=c（t，BH，π）：=φBπBIπBI+πBH,（6.18）γAI=γBI:=γI，γAH=γBH:=γH，（6.19），其中φA和φ具有两个递增函数，接下来是调节器（即主调节器），其运行和终端成本的形式为：c（t，π）=exp（σAπAI+σBπBI），（6.20）c（π）=σP·（πAI+πAH）- πA），（6.21），其中πA是城市A在0时的人口。选择参数值σA，σBandσPoffero流行病控制和人口规划之间的权衡尽量降低这两个城市的感染率事实上，σA，σBandσp是监管机构对这些目标的相对重要性。该模型的分析简化为一个显式的正倒向常微分方程组（ODE）的解，该方程组易于数值求解，从而可以计算模型的静力学。[28].6.6中提供了数字说明。与普通纳什均衡的比较。比较从委托代理问题的解计算出的均衡与在没有监管机构的情况下个体达到的平均场博弈的纳什均衡是自然的，也是有启发性的。在这种情况下，个人的状态仍然由相同的转换率控制，但个人从当局获得的奖励或惩罚并不存在于他们优化的目标函数中。换言之，作为常规平均场博弈的一部分，它们会将预期成本（6.22）EQ（α，π）“ZTc（t，Xt，αt，π（t））dt#最小化，并且很容易计算其纳什均衡的一些数字特征。

请注意，此代理预期成本公式不包含付款流r=（rt）0≤T≤作为代理人与委托人之间契约的一部分，向代理人支付费用的终止付款ξ。这种比较在很大程度上符合经典博弈论中所谓的执政代价的计算精神。按照[51]中介绍的有限状态平均场对策的分析方法，可以直接推导出表征灰平衡的前后向常微分方程组。参见[51]或[21，第7.2节]中的颂歌体系（12）-（13）。在本节讨论的金融工程与经济51模型的特殊情况下，该系统的确切形式见[28]附录。参考文献1。Y.Achdou，F.Buera，J.M.Lasry，P.L.Lions和B.Moll，宏观经济学中的偏微分方程模型，皇家学会哲学学报372（2014）。2。Y.Achdou、P.N.Giraud、J.M.Lasry和P.L.Lions，矿业长期数学模型，应用数学与优化74（2016），579–618.3。Y.Achdou、J.Han、J.M.Lasry和B.Moll P.L.Lions，《宏观经济学中的收入和财富分配：连续时间方法》，科技报告，http://www.nber.org/papers/w23732, 2017.4. R.A"id、R.Dumitrescu和P.Tankov，麦肯恩·弗拉索夫的分布式发电开发方法。，运筹学数学方法91（2019），269–310.5，电力市场的进入和退出博弈：平均场博弈方法。，技术报告，arXiv。org/2004.140572020.6。C.Alasseur、I.Ben Tahar和A.Matoussi，《智能电网中存储的扩展平均场游戏》，arXiv:1710.089911917.7。R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，风险杂志3（2001），5D39.8。A.奥雷尔、R.卡莫纳、G.达亚尼克利和M。