平均场对策在金融工程和经济分析中的应用

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英文标题：
《Applications of Mean Field Games in Financial Engineering and Economic
  Theory》
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作者：
Rene Carmona
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This is an expanded version of the lecture given at the AMS Short Course on Mean Field Games, on January 13, 2020 in Denver CO. The assignment was to discuss applications of Mean Field Games in finance and economics. I need to admit upfront that several of the examples reviewed in this chapter were already discussed in book form. Still, they are here accompanied with discussions of, and references to, works which appeared over the last three years. Moreover, several completely new sections are added to show how recent developments in financial engineering and economics can benefit from being viewed through the lens of the Mean Field Game paradigm. The new financial engineering applications deal with bitcoin mining and the energy markets, while the new economic applications concern models offering a smooth transition between macro-economics and finance, and contract theory.
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中文摘要：
这是2020年1月13日在丹佛市举行的AMS平均场游戏短期课程的扩展版本。该课程的任务是讨论平均场游戏在金融和经济中的应用。我需要预先承认，本章中回顾的几个例子已经以书的形式讨论过了。尽管如此，他们在这里讨论和参考了过去三年中出现的作品。此外，还增加了几个全新的章节，展示金融工程和经济学的最新发展如何从平均场博弈范式的视角中获益。新的金融工程应用涉及比特币开采和能源市场，而新的经济应用涉及宏观经济和金融以及合同理论之间的平稳过渡模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Applications_of_Mean_Field_Games_in_Financial_Engineering_and_Economic_Theory.pdf (730.89 KB)

2022-4-26 13:09:55 上传

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关键词：金融工程 经济分析 Applications Quantitative Contribution

平均场博弈在金融工程和经济理论中的应用。这是2020年1月13日在丹佛市举行的平均场游戏AMS短期课程的扩展版。该课程的任务是讨论平均场游戏在金融和经济中的应用。我需要承认，本章中回顾的几个例子已经以书的形式讨论过了。尽管如此，在这里，他们还讨论并提到了过去三年中出现的作品。此外，还增加了几个全新的章节，展示了金融工程和经济学的最新发展如何从平均场博弈范式的视角中受益。新的金融工程应用程序涉及比特币采矿和能源市场，而新的经济应用程序涉及宏观经济和金融以及合同理论之间的平稳过渡模型。内容1。导言12。金融工程应用33。能源与环境游戏模型134。宏观经济增长模型165。从宏观到金融236。道德风险与契约理论参考文献38511。引言本章的目的是回顾金融工程和经济学中的应用，这些应用可以在平均场博弈（在续集中通常被称为MFG）范式的框架内进行铸造和处理。第2、3和4节重新讨论了[21，第1章]中讨论的一些应用程序。在这里，我们试图给出一些背景，并考察自该书出版以来发生的发展。虽然我们不深入研究证据，但我们提供了详细的参考资料，感兴趣的读者可以在这些参考资料中找到有关主题的补充资料。第2节审查金融工程的申请显然就是这样。2000年数学学科分类。

主要的，重要的作者得到了NSF DMS-1716673和ARO W911NF-17-1-0578的部分支持。2勒内卡莫纳经济模型通常涉及对一系列行动、行为和策略的优化。面临类似优化问题的工程师和生物学家可能会将自己局限于有限的行动集，但许多经济学家更喜欢连续行动集，以便能够以微分形式写出一阶最优性条件，希望用显式解来解决它们。此外，他们对使用具有连续代理的模型毫不犹豫。他们解释说，这保证了一个拥有完美竞争和可驯服的均衡行为的环境。然而，这些公式经常让同事们，尤其是数学家们感到惊讶。我们对宏观经济模型的讨论的部分动机是希望将竞争平衡的方法与连续的参与者与平均场博弈的范式相协调。此外，虽然并非所有经济学家都喜欢研究连续时间，但在过去二十年中，有人认为宏观经济、契约理论、金融等领域的模型。，greatlybene从更传统的离散时间模型转换为连续时间。尤利·桑尼科夫无疑是这方面最引人注目的十字军战士之一，我们将跟随他的领导，在本回顾章节中只考虑连续时间模型。与经济学中已发表的文献中经常出现的情况一样，经济体被建模为具有连续参与者的人口，为了捕捉这样一个事实，即任何个体成员对总量的影响都应该非常小，这些个体被建模为具有连续度量的度量空间的元素，比如具有勒贝格度量的unitinterval[0，1]。

这个起点不同于平均场游戏的典型设置，通常从N人游戏开始，并考虑到限制N→ ∞. 我们将使用这两种建模范式，并参考读者[21，第3.7节]来讨论两者之间的联系。我们在本章回顾的宏观经济论文中，没有一篇提到纳什这个名字，也没有使用纳什均衡这个术语。这些论文的作者关注的是一般均衡，而不是纳什均衡。它们首先假设经济体中的所有总量都是给定的，它们让经济体中的参与者彼此独立地优化自己的能力。接下来，他们根据经济理论确定要满足的约束条件，将其汇编成一个他们称之为清算条件集的集合，并检查参与者优化的结果是否与清算条件兼容。只要满足清算条件，同时经济参与者优化其预期效用，就可以说实现了一般均衡。这个过程非常类似于纳什均衡的搜索。确定最佳响应函数相当于让参与者在考虑其他参与者的策略和经济理论约束的情况下优化其预期效用，对最佳响应函数固定点的搜索类似于检查是否满足清算条件。当清算条件可以用总量来表示时，这种平行性更为显著。事实上，这些总量量化了经济参与者之间的相互作用，而且由于这些总量通常只不过是状态变量的经验方法，它们在模型中阐明了平均场相互作用。

因此，将这些一般均衡转化为平均场博弈模型的纳什均衡是合理的，并充分利用已开发的技术来分析这些博弈模型，以更好地理解这些一般均衡。致谢：我要感谢马库斯·布鲁内梅耶（Markus Brunnermeier），感谢他不遗余力地教导我第5节中讨论的经济模型的一些微妙之处。此外，我想感谢一位匿名裁判的有用意见和建议。金融工程与经济学32。金融工程应用2。1.系统性风险。系统性风险研究涉及识别和分析可能引发严重不稳定，甚至导致金融系统和整个经济崩溃的事件或事件序列。在金融领域，系统性风险的处理方式不同于与任何一家机构或投资组合相关的风险。在美国，2001年9月11日袭击事件发生后，纽约联邦储备银行首次将其置于最前沿。见[62]。中央银行率先发起了几项合作研究计划，涉及经济学家和学术研究人员，包括从事电网安全工作的工程师、图论和网络分析领域的数学家、人口生物学家等。但不幸的是，2008年的金融危机让这一领域的研究备受关注，系统风险是这场危机的主要原因。

虽然我们在下面讨论的平均场博弈模型对模型中涉及的各种机构具有相同的重要性，但很明显，系统性金融风险的区域性模型应该区分那些被认为太大而不能倒的公司的角色，这些公司在系统重要性金融机构中被称为SIFI。美国联邦监管机构认为，如果银行、保险公司或其他金融机构倒闭，它们将对经济构成严重风险。有关金融危机后的最新状况，请参见【47】。我们将简要讨论下文所述模型的扩展，这可能解释模型中存在如此重要的参与者。2.1.1. 系统性风险的玩具模型。我们的第一个例子来自[26]。我们认为它的主要优点是教学性。它让我们有机会回顾线性二次型（LQ）有限人博弈模型的一些主要特征，并在此过程中解释如何解决这些问题。此外，尽管它的结构非常简单，但它显示出几个非常有用的特性：对于每个整数N≥ N人版的游戏有一个唯一的闭环平衡，一个唯一的开环平衡，这个开环平衡是闭环形式的，但它不同于闭环平衡。然而，当N→ ∞, 这两种均衡都收敛于平均场博弈的唯一均衡。为了描述这个模型，我们假设N家银行的对数货币储备，sayXit，i=1，N、 满意退出=a（Xt）- 退出它dt+σp1- ρdWit+ρdWt, i=1，也就是说，i=0，1，N是独立的布朗运动，σ>0是常数。符号“XT”代表i=1。

N，a是一个常数，它控制着xit向平均值的平均值逆转，ρ与特质冲击波dwit和普通冲击波dWt相关。所以在这个模型中，借贷是通过漂移进行的。事实上，如果xit很小（相对于经验平均值Xt），那么银行i想要借钱（αit>0）o如果xit很大，那么银行i想要借钱（αit<0）4 REN'Ecarmona自适应随机过程αi=（αit）t≥0是银行i试图最小化数量的控制策略：Ji（α，…，αN）=E（ZT（αit）- qαit（Xt）- （退出）+（Xt）- （退出）dt+（XT）- （XiT））（2.1）我们可以想象，监管机构选择q>0的数量来控制借贷成本。该模型是一个具有平均场相互作用的N人随机微分对策的简单例子，因为相互作用是通过Nstates的经验平均值和一个公共噪声进行的。有限N的显式解。虽然通常很难识别和计算有限人博弈的纳什均衡，尤其是当博弈是随机和动态的时，但该模型非常特殊的线性二次（LQ）性质允许显式解。寻找开环纳什均衡α=（αt）0≤T≤t对于αt=（αt，…，αNt）与布朗运动产生的过滤相适应的博弈，可以使用Pontryagin随机最大值原理。在这个特定的模型中，我们发现（2.2）αit定义了战略=q+（1）-N） ηt（Xt）- Xit）其中确定性函数t7→ ηt求解Riccati方程（2.3）˙ηt=2a+q-Nq]ηt+1.-Nηt+q- 当终端条件ηT=c时，如果我们假设 ≥ q、 是唯一的开环纳什均衡。注意，α是闭环/反馈形式，因为对于确定性函数（2.4）（t，x）7，它的形式是αt=φt（Xt）→ φit（x）=q+（1）-N） ηt（十）- xi），其中x=NNXi=1xi，对于i=1。

注意，在均衡状态下，银行的状态满足：（2.5）dXit=a+q+（1）-N） ηtXt- 退出dt+σρdWt+σp1- ρdWit，对于i=1，N.因此，如果初始条件是高斯的（或确定性的），状态按照类似于Ornstein-Ulhenbeck的过程演化，这是高斯的。寻找闭环纳什均衡β=（βt）0≤T≤Twithβt=ψt（Xt）通常是通过推导参与者价值函数系统的Hamilton-Jacobi-Bellman方程来完成的，但在这个特殊的例子中，也可以使用Pontryagin随机最大值原理来完成。在任何情况下，我们都会发现存在一个唯一的均衡，就像在开环情况下一样，均衡策略文件是由相同公式（2.4）给出的反馈函数ψ=（ψ，…，ψN）给出的，但金融工程与经济5确定性函数t7除外→ ηtnow解出了一个稍有不同的Riccati方程，即：（2.6）˙ηt=2（a+q）ηt+1.-Nηt+q- ,在相同的终端条件下ηT=c。相同的注释适用于平衡态演化的OrnsteinUlhenbeck性质。然而，值得注意的是，开环纳什均衡恰好是闭环形式的，但它仍然不是闭环纳什均衡。这与优化的情况非常不同。事实上，它强化了这样一个信息：寻找纳什均衡与解决优化问题相去甚远。我们要强调的第二点是，两个Riccati方程，以及两个解，在极限N中重合→ ∞. 下面将详细介绍。感兴趣的读者可以在[21，第2.5节]中找到补充和详细的证据。与平均场比赛（MFG）的相关性。平均场比赛被吹捧为当N→ ∞.

然而，除了吸引人的直观论据和严格证明，MFG解决方案可用于构建策略文件，形成N人博弈的近似纳什均衡外，N越大，近似效果越好，证明实际收敛是一个困难的问题。参见示例。本卷中的拉克一章。在目前的情况下，由于fineplayer对策解的显式性质，我们可以取极限N→ ∞ 在状态动力学中，在纳什均衡控制（开环和闭环）中，以及在各层优化的预期成本中，尽管存在公共噪声。事实上，我们可以在极限N内读出常见噪声的影响→ ∞ 其中包括开环和闭环模型。这个极限可以被正式定义为所谓的平均场博弈模型，我们甚至可以从HJB方程组的大N行为中识别主方程。MFG作为系统性风险的模型。上述模型是在连续时间内建立的，本质上是多阶段的。这与大多数现有的系统性风险数学模型形成了鲜明对比，这些模型通常被视为静态单期模型。尽管如此，上述模型最有价值的特征之一是可显式求解。在缺点方面，我需要承认这是一个非常幼稚的银行借贷模式。在其不受欢迎的特性中，该模型没有任何条款允许借款人偿还债务！此外，尽管有明确的解决方案，但它对系统的稳定性只给出了一个很小的评价。尽管如此，该模型还是带来了有趣的挑战，而且似乎可以通过一些数学上易于处理的附加组件使其更现实、更有用。

为了举例说明，我们列举了其中三个在该模型中引入主要和次要参与者将使我们能够理解本节导言中讨论的SIFI所发挥的关键作用。主要参与者和次要参与者的游戏模型最近经历了兴趣的更新，系统性风险似乎是它们实现的完美测试平台为了缓解原始模型的一些不切实际的特征，Carmona、Fouque、Moussavi和Sun在[25]中建议在6 REN'ECARMONAthe控件中引入时间延迟。虽然增加了证据的技术性，排除了明确的解决方案，但该模型的扩展包括借款人在固定时间内偿还债务的规定作为系统性风险是引入和分析新MFG模型的肥沃土壤这一事实的另一个例子，我们提到了Benazzoli、Ciampi和Di Persio[17]最近的一篇论文，其中作者研究了一个简单的非流动性银行间市场模型，在该模型中，银行只能在一些具有共同恒常密度的外生泊松过程的跳跃时间内改变其准备金同样值得注意的是Nadtochyi和Shkolnikov最近的一篇论文[69]，他们研究了通过碰撞时间相互作用的粒子系统的平均场极限。他们的模型是受经济压力时期金融机构违约时间的影响而建立的。将优化组件添加到他们的模型中并研究参与者的内生性决策将是一件有趣的事情最后，引入图形约束应该是量化金融机构之间不同级别交换的好方法。